1．（5分）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（4x﹣2，1），B（2，﹣3）的直線的傾斜角為，則x＝（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．
2．（5分）已知直線l1：ax﹣2y+1＝0，l2：x+（a﹣1）y﹣1＝0，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．1B．C．D．2
3．（5分）當(dāng)圓C：x2+y2﹣2y﹣80＝0截直線l：mx﹣2y﹣m+6＝0所得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)m＝（ ）
A．B．﹣1C．D．1
4．（5分）若拋物線C：y2＝4px（p＞0）上的一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為10，則p＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．（5分）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°，且與橢圓有相等的焦距，則C的方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）已知圓與圓，若圓C1與圓C2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a等于（ ）
A．﹣7B．9C．﹣7或9D．7或﹣9
7．（5分）明朝的一個(gè)葡萄紋橢圓盤(pán)如圖（1）所示，清朝的一個(gè)青花山水樓閣紋飾橢圓盤(pán)如圖（2）所示，北宋的一個(gè)汝窯橢圓盤(pán)如圖（3）所示，這三個(gè)橢圓盤(pán)的外輪廓均為橢圓．已知圖（1）、（2）、（3）中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值分別、、，設(shè)圖（1）、（2）、（3）中橢圓的離心率分別為e1、e2、e3，則（ ）
A．e1＜e3＜e2B．e2＜e3＜e1C．e1＜e2＜e3D．e2＜e1＜e3
8．（5分）橢圓C：＝1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）
（多選）9．（5分）下列四個(gè)命題中真命題有（ ）
A．直線y＝x﹣2在y軸上的截距為2
B．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，2）的直線都可以用方程y＝kx+2表示
C．直線6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）必過(guò)定點(diǎn)
D．已知直線3x+4y﹣1＝0與直線6x+my﹣12＝0平行，則平行線間的距離是1
（多選）10．（5分）已知過(guò)點(diǎn)P（4，﹣2）的直線l與圓C：（x﹣3）2+（y+3）2＝9交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．|AB|的最大值為6
B．|AB|的最小值為
C．點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為
D．△POC的面積為3
（多選）11．（5分）對(duì)于曲線C：+＝1，下面四個(gè)說(shuō)法正確的是（ ）
A．曲線C不可能是橢圓
B．“1＜k＜4”是“曲線C是橢圓”的充分不必要條件
C．“曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”是“3＜k＜4”的必要不充分條件
D．“曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”是“1＜k＜2.5”的充要條件
（多選）12．（5分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．△ABF2的周長(zhǎng)為4
B．△ABF2的周長(zhǎng)為8
C．橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1
D．橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為3
三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）
13．（5分）已知平面上點(diǎn)P（3，3）和直線l：2y+3＝0，點(diǎn)P到直線l的距離為d，則d＝ ．
14．（5分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝3，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
15．（5分）已知兩條直線a1x+b1y+4＝0和a2x+b2y+4＝0都過(guò)點(diǎn)A（2，3），則過(guò)兩點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直線的方程為 ．
16．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與坐標(biāo)軸x、y分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上一動(dòng)點(diǎn)，直線在x和y軸上的截距之和為 ，三角形PAB面積的最小值為 ．
四、解答題：（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。）
17．（10分）寫(xiě)出適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）兩個(gè)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)的橢圓方程；
（2）過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)雙曲線方程．
18．（12分）已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（3，3），M是AC邊上的中點(diǎn)．
（1）求AC邊所在的直線方程；
（2）求中線BM的長(zhǎng)；
（3）求AB邊的高所在直線方程．
19．（12分）已知圓C：x2+y2﹣2x+4y＝0和直線l：x﹣y+5＝0．
（1）求圓C：x2+y2﹣2x+4y＝0關(guān)于直線l：x﹣y+5＝0對(duì)稱(chēng)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）圓C有一動(dòng)點(diǎn)P，直線l上有一動(dòng)點(diǎn)Q，求PQ的最小值．
20．（12分）已知圓C1方程：x2+y2＝4，圓C2：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0相交點(diǎn)A、B．
（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程．
（2）求三角形C1AB的面積．
21．（12分）雙曲線，右焦點(diǎn)為F（c，0）．
（1）若雙曲線C為等軸雙曲線，且過(guò)點(diǎn)，求雙曲線C的方程；
（2）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O傾斜角為45°的直線l與雙曲線C的右支交于點(diǎn)M，△OMF是以線段OF為底邊的等腰三角形，求雙曲線C的離心率．
22．（12分）已知定點(diǎn)A（0，4），B（0，1），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線l：y＝kx﹣4．
（1）求曲線E的軌跡方程．
（2）若k＝1，Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作曲線E的兩條切線QM，QN，切點(diǎn)分別為M，N，判斷直線MN是否過(guò)定點(diǎn)．若過(guò)定點(diǎn)，寫(xiě)出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2022-2023學(xué)年江蘇省淮安市淮安區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）
1．（5分）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（4x﹣2，1），B（2，﹣3）的直線的傾斜角為，則x＝（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．
【分析】根據(jù)給定條件，可得AB⊥x軸，再列式計(jì)算作答．
【解答】解：因?yàn)橹本€AB傾斜角為，則AB⊥x軸，
而點(diǎn)A（4x﹣2，1），B（2，﹣3），
故4x﹣2＝2，解得x＝1．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知直線l1：ax﹣2y+1＝0，l2：x+（a﹣1）y﹣1＝0，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線互相垂直列式計(jì)算作答．
【解答】解：直線l1：ax﹣2y+1＝0，l2：x+（a﹣1）y﹣1＝0，l1⊥l2，
因此a?1+（﹣2）?（a﹣1）＝0，解得a＝2，
所以實(shí)數(shù)a的值為2．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線垂直條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）當(dāng)圓C：x2+y2﹣2y﹣80＝0截直線l：mx﹣2y﹣m+6＝0所得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)m＝（ ）
A．B．﹣1C．D．1
【分析】求出直線l所過(guò)定點(diǎn)A的坐標(biāo)，分析可知，當(dāng)AC⊥l時(shí)，直線l截圓C所得弦長(zhǎng)最短，根據(jù)兩直線垂直時(shí)，斜率的關(guān)系可求得實(shí)數(shù)m的值．
【解答】解：將直線l的方程變形為m（x﹣1）﹣2（y﹣3）＝0，由可得，
所以直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（1，3），
圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y﹣1）2＝81，圓心為C（0，1），
因?yàn)?2+（3﹣1）2＜81，即點(diǎn)A在圓C內(nèi)，
故當(dāng)AC⊥l時(shí)，圓心C到直線l的距離取最大值，此時(shí)，直線l截圓C所得弦長(zhǎng)最短，
，直線l的斜率為，所以，，解得m＝﹣1．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）若拋物線C：y2＝4px（p＞0）上的一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為10，則p＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根據(jù)拋物線的定義，建立方程，可得答案．
【解答】解：由題意如圖所示：
由拋物線上點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為10，
由拋物線C：y2＝4px（p＞0），則其準(zhǔn)線直線為：x＝﹣p，
由拋物線的性質(zhì)可得：，解得p＝8．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為120°，且與橢圓有相等的焦距，則C的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的漸近線方程、橢圓的半焦距，再列式求出a2，b2作答．
【解答】解：由橢圓得其半焦距為，依題意，，
雙曲線的漸近線方程為，于是，即，
由，解得a2＝2，b2＝6，
所以雙曲線C的方程為．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線、橢圓的幾何性質(zhì)，注意分析雙曲線的焦點(diǎn)位置，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．
6．（5分）已知圓與圓，若圓C1與圓C2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a等于（ ）
A．﹣7B．9C．﹣7或9D．7或﹣9
【分析】根據(jù)兩圓半徑大小關(guān)系結(jié)合圓與圓位置關(guān)系判斷，即可列方程求解實(shí)數(shù)a的值．
【解答】解：圓整理得：（x﹣1）2+（y+1）2＝25，
圓心C1（1，﹣1），半徑r1＝5，
圓的圓心C2（﹣a，5），半徑r2＝5，
由于兩圓半徑相同，故若圓C1與圓C2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切，
所以，整理得a2+2a﹣63＝0，解得a＝7或﹣9．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）明朝的一個(gè)葡萄紋橢圓盤(pán)如圖（1）所示，清朝的一個(gè)青花山水樓閣紋飾橢圓盤(pán)如圖（2）所示，北宋的一個(gè)汝窯橢圓盤(pán)如圖（3）所示，這三個(gè)橢圓盤(pán)的外輪廓均為橢圓．已知圖（1）、（2）、（3）中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值分別、、，設(shè)圖（1）、（2）、（3）中橢圓的離心率分別為e1、e2、e3，則（ ）
A．e1＜e3＜e2B．e2＜e3＜e1C．e1＜e2＜e3D．e2＜e1＜e3
【分析】根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的定義，結(jié)合a，b，c的等量關(guān)系以及離心率的計(jì)算公式，通過(guò)比較大小，可得答案．
【解答】解：設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則c2＝a2﹣b2，
可知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值為，
故離心率，
則，，，
又，
則e1＜e2＜e3．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了橢圓離心率的求法，屬中檔題．
8．（5分）橢圓C：＝1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【分析】設(shè)P（m，n），則Q（m，﹣n），根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得：kAP?kAQ＝，再結(jié)合橢圓方程，整理可得離心率．
【解答】解：已知A（0，a），設(shè)P（m，n），則Q（m，﹣n），
kAP＝，
kAQ＝，
故kAP?kAQ＝?＝＝①，
∵＝1，②，
②①整理得：，
e＝＝＝．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，離心率的求法，是基礎(chǔ)題．
二、選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）
（多選）9．（5分）下列四個(gè)命題中真命題有（ ）
A．直線y＝x﹣2在y軸上的截距為2
B．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，2）的直線都可以用方程y＝kx+2表示
C．直線6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）必過(guò)定點(diǎn)
D．已知直線3x+4y﹣1＝0與直線6x+my﹣12＝0平行，則平行線間的距離是1
【分析】利用截距的定義可判斷A選項(xiàng)；取點(diǎn)A（0，2）且垂直于x軸的直線，可判斷B選項(xiàng)；求出直線6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷C選項(xiàng)；利用兩直線平行求出m的值，結(jié)合平行線間的距離公式可判斷D選項(xiàng)．
【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，直線y＝x﹣2在y軸上的截距為﹣2，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)A（0，2）且垂直于x軸的直線方程為x＝0，不能用方程y＝kx+2表示，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，將直線方程6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）變形為6（x﹣2）+m（y+4）＝0，
由可得，故直線6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）過(guò)定點(diǎn)（2，﹣4），C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若直線3x+4y﹣1＝0與直線6x+my﹣12＝0平行，則，解得m＝8，
直線方程6x+my﹣12＝0可化為3x+4y﹣6＝0，
故兩平行直線間的距離為，D對(duì)．
故選：CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．（5分）已知過(guò)點(diǎn)P（4，﹣2）的直線l與圓C：（x﹣3）2+（y+3）2＝9交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．|AB|的最大值為6
B．|AB|的最小值為
C．點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為
D．△POC的面積為3
【分析】求得圓C的圓心坐標(biāo)為C（3，﹣3），半徑為r＝3，結(jié)合圓的性質(zhì)和圓的弦長(zhǎng)公式，三角形面積公式，即可分別求解．
【解答】解：由題意，圓C：（x﹣3）2+（y+3）2＝9的圓心坐標(biāo)為C（3，﹣3），半徑為r＝3，
又，點(diǎn)P（4，﹣2）在圓C內(nèi)部，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（4，﹣2）的直線l與圓C：（x﹣3）2+（y+3）2＝9交于A，B兩點(diǎn)，
所以|AB|的最大值為2r＝6，所以A正確；
因?yàn)椋?br>當(dāng)直線l與PC垂直時(shí)，此時(shí)弦|AB|取得最小值，
最小值為，所以B錯(cuò)誤；
當(dāng)直線l與OP垂直時(shí)，點(diǎn)O到直線l的距離有最大值，
且最大值為，所以C錯(cuò)誤；
由，可得kOC?kPC＝﹣1，即OC⊥PC，
所以△POC的面積為，所以D正確．
故選：AD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到線的距離，屬中檔題．
（多選）11．（5分）對(duì)于曲線C：+＝1，下面四個(gè)說(shuō)法正確的是（ ）
A．曲線C不可能是橢圓
B．“1＜k＜4”是“曲線C是橢圓”的充分不必要條件
C．“曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”是“3＜k＜4”的必要不充分條件
D．“曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”是“1＜k＜2.5”的充要條件
【分析】根據(jù)曲線方程的特點(diǎn)，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別判斷即可．
【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)，即k∈（1，）∪（，4）時(shí)，曲線C表示橢圓，∴A不正確；
對(duì)于B，k∈（1，）∪（，4）時(shí)，曲線C表示橢圓，∴B不正確；
對(duì)于C，若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則0＜4﹣k＜k﹣1，解得＜k＜4，∴C正確；
對(duì)于D，當(dāng)k∈（1，）時(shí)，4﹣k＞k﹣1，此時(shí)曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，∴D正確．
故選：CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐曲線的方程，熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義是解決本題的關(guān)鍵．
（多選）12．（5分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．△ABF2的周長(zhǎng)為4
B．△ABF2的周長(zhǎng)為8
C．橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1
D．橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為3
【分析】根據(jù)橢圓的定義和橢圓的幾何性質(zhì)，即可求得三角形的周長(zhǎng)和最短距離，得到答案．
【解答】解：由題意，橢圓，可得，則，
則△ABF2的周長(zhǎng)為l＝|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝2a+2a＝8，
又由橢圓的幾何性質(zhì)，可得橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為a﹣c＝1．
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓方程及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中等題．
三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）
13．（5分）已知平面上點(diǎn)P（3，3）和直線l：2y+3＝0，點(diǎn)P到直線l的距離為d，則d＝ ．
【分析】根據(jù)直線l的特征，直接列式計(jì)算作答．
【解答】解：依題意，直線，而點(diǎn)P（3，3），
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：平行線間的距離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
14．（5分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝3，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2＝﹣12y ．
【分析】根據(jù)題意，根據(jù)拋物線準(zhǔn)線位置確定拋物線開(kāi)口方向，設(shè)拋物線方程為x2＝﹣2py，由準(zhǔn)線方程求解p的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，若拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝3，則拋物線開(kāi)口向下，
設(shè)拋物線方程為x2＝﹣2py，p＞0，則，故p＝6，
所以拋物線方程為x2＝﹣12y．
故答案為：x2＝﹣12y．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意拋物線準(zhǔn)線的方程形式，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）已知兩條直線a1x+b1y+4＝0和a2x+b2y+4＝0都過(guò)點(diǎn)A（2，3），則過(guò)兩點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直線的方程為 2x+3y+4＝0 ．
【分析】由于兩條直線a1x+b1y+4＝0和a2x+b2y+4＝0都過(guò)點(diǎn)A（2，3），可得2a1+3b1+4＝0，2a2+3b2+4＝0，即可得出．
【解答】解：∵兩條直線a1x+b1y+4＝0和a2x+b2y+4＝0都過(guò)點(diǎn)A（2，3），
∴2a1+3b1+4＝0，2a2+3b2+4＝0，
因此過(guò)兩點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直線的方程為2x+3y+4＝0．
故答案為：2x+3y+4＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線方程，屬于基礎(chǔ)題．
16．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與坐標(biāo)軸x、y分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上一動(dòng)點(diǎn)，直線在x和y軸上的截距之和為 ﹣1 ，三角形PAB面積的最小值為 ．
【分析】利用給定條件，結(jié)合直線在坐標(biāo)軸上的截距的意義計(jì)算即可；求出|AB|及點(diǎn)P到直線AB的距離最小值即可作答．
【解答】解：因?yàn)橹本€交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)B（0，﹣4），
所以直線在x和y軸上的截距之和為3+（﹣4）＝﹣1，
因?yàn)閳A可化為的圓心坐標(biāo)為（﹣1，0），半徑為，
所以點(diǎn)（﹣1，0）到直線AB：4x﹣3y﹣12＝0的距離，
所以圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB的距離最小值為，
所以△PAB面積的最小值為．
故答案為：﹣1；．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題．
四、解答題：（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。）
17．（10分）寫(xiě)出適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）兩個(gè)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)的橢圓方程；
（2）過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)雙曲線方程．
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2＝1，將A、B的坐標(biāo)代入，求出m、n的值，即可得答案；
（2）利用橢圓可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程代入點(diǎn)，即可求得其標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2＝1，
將和兩點(diǎn)代入可得，解方程組可得；
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題意可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；
所以可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中a2+b2＝5；
代入點(diǎn)可得，聯(lián)立解得a2＝1，b2＝4；
所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及橢圓、雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
18．（12分）已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（3，3），M是AC邊上的中點(diǎn)．
（1）求AC邊所在的直線方程；
（2）求中線BM的長(zhǎng)；
（3）求AB邊的高所在直線方程．
【分析】（1）求出直線AC的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出AC邊所在的直線方程；
（2）求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可求得|BM|的值；
（3）求出AB邊的高所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出AB邊的高所在直線的方程．
【解答】解：（1）直線AC的斜率為，
所以，直線AC的方程為，即x+2y﹣9＝0．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（3，3），M是AC邊上的中點(diǎn)，則M（1，4），
所以，中線BM的長(zhǎng)為．
（3）因?yàn)橹本€AB的斜率為，所以，AB邊的高所在直線的斜率為，
因此，AB邊的高所在直線方程為，即x+6y﹣21＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
19．（12分）已知圓C：x2+y2﹣2x+4y＝0和直線l：x﹣y+5＝0．
（1）求圓C：x2+y2﹣2x+4y＝0關(guān)于直線l：x﹣y+5＝0對(duì)稱(chēng)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）圓C有一動(dòng)點(diǎn)P，直線l上有一動(dòng)點(diǎn)Q，求PQ的最小值．
【分析】（1）設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C1（a，b），根據(jù)對(duì)稱(chēng)求解a，b，即可得對(duì)稱(chēng)圓心，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用圓的幾何性質(zhì)即可判斷PQ的最小值．
【解答】解：（1）圓C：x2+y2﹣2x+4y＝0整理得：（x﹣1）2+（y+2）2＝5，圓心C（1，﹣2），半徑，
設(shè)圓心C（1，﹣2）關(guān)于直線l：x﹣y+5＝0對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C1（a，b），
所以，解得，
則圓C關(guān)于直線l：x﹣y+5＝0對(duì)稱(chēng)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+7）2+（y﹣6）2＝5．
（2）
圓心C（1，﹣2）到直線l：x﹣y+5＝0的距離，
P在圓上，直線l上有一動(dòng)點(diǎn)Q，根據(jù)圓的性質(zhì)可得．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．
20．（12分）已知圓C1方程：x2+y2＝4，圓C2：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0相交點(diǎn)A、B．
（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程．
（2）求三角形C1AB的面積．
【分析】（1）直接把兩圓方程相減即可求解經(jīng)過(guò)A，B的直線方程；
（2）結(jié)合直線與圓相交的性質(zhì)，先求出|AB|，然后求出C1到AB的距離，即可求解．
【解答】解：（1）把x2+y2＝4與圓C2：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0相減得2x﹣4y﹣5＝0，
即過(guò)AB的直線方程為2x+4y﹣5＝0；
（2）因?yàn)镃1（0，0）到直線AB：2x+4y﹣5＝0的距離d＝＝，
圓C1：x2+y2＝4的半徑r＝2，
故|AB|＝2＝，
所以三角形C1AB的面積S＝＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩相交圓公共弦的求解，直線與圓相交性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
21．（12分）雙曲線，右焦點(diǎn)為F（c，0）．
（1）若雙曲線C為等軸雙曲線，且過(guò)點(diǎn)，求雙曲線C的方程；
（2）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O傾斜角為45°的直線l與雙曲線C的右支交于點(diǎn)M，△OMF是以線段OF為底邊的等腰三角形，求雙曲線C的離心率．
【分析】（1）先根據(jù)題意設(shè)雙曲線C的方程為x2﹣y2＝λ，（λ＞0），再通過(guò)雙曲線C過(guò)點(diǎn)，建立方程方程即可求解；
（2）根據(jù)題意可得：△OMF為等腰直角三角形，且漸近線的斜率大于OM的斜率，從而建立方程和不等式即可求解．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可得雙曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線，
∴設(shè)雙曲線C的方程為x2﹣y2＝λ，（λ＞0），
又雙曲線C過(guò)點(diǎn)，
∴4﹣3＝λ，∴λ＝1，
∴雙曲線C的方程為x2﹣y2＝1；
（2）根據(jù)題意可得：
△OMF為等腰直角三角形，且漸近線的斜率大于OM的斜率，
∴M的坐標(biāo)為（，），且，
∴，∴，
∴，又e2＞1，
解得，
∴e＝．
∴雙曲線C的離心率為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等軸雙曲線的概念，雙曲線的離心率的求解，方程思想，不等式思想，屬中檔題．
22．（12分）已知定點(diǎn)A（0，4），B（0，1），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線l：y＝kx﹣4．
（1）求曲線E的軌跡方程．
（2）若k＝1，Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作曲線E的兩條切線QM，QN，切點(diǎn)分別為M，N，判斷直線MN是否過(guò)定點(diǎn)．若過(guò)定點(diǎn)，寫(xiě)出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由題意，設(shè)點(diǎn)P（x，y），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)Q（t，t﹣4），由題可得以線段OQ為直徑的圓的方程，得到直線MN的方程，進(jìn)而即可求解．
【解答】解：（1）不妨設(shè)P（x，y），
因?yàn)閨PA|＝2|PB|，
所以，
整理得x2+y2＝4，
所以曲線E的軌跡方程為x2+y2＝4；
（2）易知ON⊥QN，OM⊥QM，
所以點(diǎn)M，N都在以線段OQ為直徑的圓上，
又Q是直線l：y＝x﹣4上的動(dòng)點(diǎn)，
不妨設(shè)Q（t，t﹣4），
所以以線段OQ為直徑的圓心為，
則圓的方程為，
即x2+y2﹣tx﹣（t﹣4）y＝0，
因?yàn)辄c(diǎn)M，N在曲線E：x2+y2＝4上，
所以，可得tx+（t﹣4）y﹣4＝0，
所以直線MN的方程為tx+（t﹣4）y﹣4＝0，
即t（x+y）﹣4y﹣4＝0，
由，
解得，
故直線MN過(guò)定點(diǎn)（1，﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程和圓與圓的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/10/31 9:11:03；用戶：高中數(shù)學(xué)朱老師；郵箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；學(xué)號(hào)：37103942

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