1.向高為H的水瓶中注水，注滿為止．如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系如圖，那么水瓶的形狀是圖中的( )
A.
B.
C.
D.
2.若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6cm，若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是( )
A. 6 3cmB. 6cmC. 2318cmD. 3312cm
3.如圖所示的幾何體EF?ABCD，底面ABCD是矩形，AB/?/EF，AB=4，AD=3，EF=2，直線EF到底面ABCD的距離h=1，則該幾何體EF?ABCD的體積是( )
A. 5
B. 10
C. 15
D. 52
二、多選題：本題共1小題，共3分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
4.已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，其中正確的命題為( )
A. α//β?l⊥mB. α⊥β?l//mC. l//m?α⊥βD. l⊥m?α//β
三、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分。
5.空間中兩條直線的位置關(guān)系有______．
6.直線3x+(a+1)y+1=0的斜率為?2，則實(shí)數(shù)a的值為______．
7.若橢圓的長軸長為12，一個焦點(diǎn)是(2,0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．
8.如圖是梯形ABCD按照斜二測畫出的直觀圖A′B′C′D′，其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，則原梯形ABCD的面積為______．
9.等軸雙曲線C與橢圓x210+y26=1有公共的焦點(diǎn)，則雙曲線C的方程為______．
10.已知直線l1：(k?3)x+(4?k)y+1=0與l2：2x?2(k?3)y+3=0垂直，則k的值是______．
11.若棱錐底面面積為150cm2，平行于底面的截面面積是54cm2，底面和這個截面的距離是12cm，則棱錐的高為______．
12.一個四面體的所有棱長都是 2，四個頂點(diǎn)在同一個球面上，則此球的表面積為______．
13.若一個圓柱的側(cè)面展開圖是正方形，則這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是______．
14.正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，A1E與C1F所成的角是θ，則θ= ______．
15.如圖，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為2cm，高為5cm，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長為______cm．
16.如圖，在底面半徑為1，高為6的圓柱內(nèi)放置兩個球，使得兩個球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個橢圓.則該橢圓的離心率為______．
四、解答題：本題共5小題，共52分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題8分)
已知圓C：x2+y2?2x+4y=5，點(diǎn)A(4,?1)；
(1)求圓C的圓心C的坐標(biāo)、及半徑大??；
(2)求過點(diǎn)A與圓C相切的直線方程．
18.(本小題10分)
ABCD為直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面ABCD，PA=a，
(1)求證：PC⊥CD；
(2)求點(diǎn)B到直線PC的距離．
19.(本小題10分)
如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面邊長為2 2，側(cè)棱長為4，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，EF∩BD=G．
(1)求證：EF⊥平面BDD1B1；
(2)以D為原點(diǎn)，射線DA、DC、DD1為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．
(i)求平面EFD1的一個法向量；
(ii)求三棱錐B1?EFD1的體積V．
20.(本小題12分)
已知點(diǎn)A(2,8)，B(x1,y1)，C(x2,y2)在拋物線y2=2px，(p>0)上，△ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合(如圖)
(1)寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
(2)求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)求BC所在直線的方程．
21.(本小題12分)
已知m>1，直線l：x?my?m22=0，橢圓C：x2m2+y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)．
(Ⅰ)當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時，求直線l的方程；
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
(ⅰ)求線段AB長度的最大值；
(ⅱ)△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本題主要考查知識點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺)等簡單幾何體和函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．本題還可從注水一半時的狀況進(jìn)行分析求解．
本題利用排除法解．從所給函數(shù)的圖象看出，V不是h的正比例函數(shù)，由體積公式可排除一些選項；從函數(shù)圖象的單調(diào)性及切線的斜率的變化情況看，又可排除一些選項，從而得出正確選項．
【解答】
解：如果水瓶形狀是圓柱，V=πr2h，r不變，V是h的正比例函數(shù)，
其圖象應(yīng)該是過原點(diǎn)的直線，與已知圖象不符．故D錯；
由已知函數(shù)圖可以看出，隨著高度h的增加V也增加，但隨h變大，每單位高度的增加，體積V的增加量變小，圖象上升趨勢變緩，
其原因只能是瓶子平行與底的截面的半徑由底到頂逐漸變?。蔄、C錯．
故選：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查圓錐、圓柱的體積，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．
先求出圓柱中水的體積，設(shè)出圓錐中水的底面半徑，利用體積相等，求出圓錐的高．
【解答】
解：由題意知圓柱中水的體積是：24πcm3，
設(shè)圓錐中水的底面半徑為rcm，
將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，
水的體積為：13πr2? 3r=24π，r=2 3cm，
水面的高度是： 3×2 3=6cm，
故選B．
3.【答案】A
【解析】解：過點(diǎn)E分別作EG⊥AB，EJ⊥CD于點(diǎn)G，J，同理作出FH⊥AB，F(xiàn)K⊥CD于H，K，
因?yàn)锳B/?/EF，故將幾何體EF?ABCD分為四棱錐E?AGJD，F(xiàn)?HBCK和三棱柱EGJ?FHK，
因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以AB/?/CD，故EJ⊥AB，
因?yàn)镋G∩EJ=E，EG，EJ?平面EGJ，
所以AB⊥平面EGJ，同理可得AB⊥平面FHK，
故三棱柱EGJ?FHK為直三棱柱，
因?yàn)锳B=4，AD=3，EF=2，
所以GH=EF=2，AG+HB=2，
其中GJ=HK=3，故S△EGJ=12GJ?h=32，
則VEGJ?FHK=S△EGJ?EF=3，
設(shè)四邊形AGJD和四邊形HBCK的面積分別為S1，S2，
可得VE?AGJD+VF?HBCK=13(S1+S2)?h=13×(2×3)×1=2，
故該幾何體EF?ABCD的體積為VEGJ?FHK+VE?AGJD+VF?HBCK=3+2=5．
故選：A．
作出輔助線，將幾何體EF?ABCD分為三棱錐E?AGJD，F(xiàn)?HBCK和三棱柱EGJ?FHK，求出三個圖形的體積相加后得到答案．
本題考查了空間幾何體的體積計算，考查了數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
4.【答案】AC
【解析】解：由于直線l⊥平面α，直線m?平面β，
對于選項A：當(dāng)α/?/β，且l⊥平面α，所以l⊥平面β，由于直線m?平面β，所以l⊥m．
對于選項B：α⊥β不能推出l/?/m，故錯誤．
對于選項C：由于l/?/m，直線l⊥平面α，所以直線m⊥平面α，又因?yàn)橹本€m?平面β，所以α⊥β，
對于選項D：l⊥m，不能推出α/?/β，故錯誤．
故選：AC．
直接利用立體幾何中相關(guān)的垂直和平行問題的應(yīng)用求出結(jié)果．
本題考查的知識要點(diǎn)：立體幾何中相關(guān)的定理的應(yīng)用，垂直和平行問題的應(yīng)用，主要考查學(xué)生對定義知識的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
5.【答案】相交、平行和異面
【解析】解：空間中兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行和異面，
故答案為：相交、平行和異面．
根據(jù)空間中兩直線的位置關(guān)系的定義即可求解．
本題考查了空間中兩直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】12
【解析】解：直線3x+(a+1)y+1=0化成斜截式，可得y=?3a+1x?1a+1，
因?yàn)橹本€的斜率為?2，所以?3a+1=?2，解得a=12．
故答案為：12．
根據(jù)題意可得a+1≠0，將直線化簡為斜截式，繼而根據(jù)斜率為?2列式算出a的值．
本題主要考查直線的方程與直線的斜率等知識，考查了概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】x236+y232=1
【解析】解：由題意可得2a=12，c=2，且焦點(diǎn)在x軸上，
即a=6，所以b= a2?c2= 36?4= 32，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x236+y232=1．
故答案為：x236+y232=1．
由題意可得a，c的值，進(jìn)而求出b的大小，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
本題考查橢圓的方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．
8.【答案】6
【解析】解：如圖，還原梯形，BC=4，AB=2，AD=2，梯形為直角梯形，
所以原梯形ABCD的面積S=12×(2+4)×2=6．
故答案為：6．
根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，還原幾何圖形，即可求原梯形的面積．
本題考查斜二測畫法、梯形等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
9.【答案】x22?y22=1
【解析】解：設(shè)雙曲線的方程為x2a2?y2a2=1，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(?2,0)，F(xiàn)2(2,0)．
∵等軸雙曲線C與橢圓x210+y26=1有公共的焦點(diǎn)，
∴a2+a2=22=4，所以a2=2．
所以雙曲線C的方程為x22?y22=1．
故答案為：x22?y22=1
設(shè)出雙曲線的方程，求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用等軸雙曲線C與橢圓x210+y26=1有公共的焦點(diǎn)，即可求得雙曲線C的方程．
本題考查橢圓的性質(zhì)，考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定幾何量之間的關(guān)系是關(guān)鍵．
10.【答案】3
【解析】解：直線l1：(k?3)x+(4?k)y+1=0與l2：2x?2(k?3)y+3=0垂直，
則2(k?3)?2(k?3)(4?k)=0，解得k=3．
故答案為：3．
根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解．
本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
11.【答案】30cm
【解析】解：設(shè)棱錐的高為x，
∵棱錐底面面積為150cm2，平行于底面的截面面積是54cm2，底面和這個截面的距離是12cm，
∴15054=(xx?12)2，即xx?12=53，
∴3x=5x?60，
解得x=30．
所以棱錐的高為30cm．
故答案為：30cm．
原來的棱錐與以截面為底的棱錐相似，兩者底面面積之比是兩者高之比的平方．由此能求出棱錐的高．
本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，相似形的性質(zhì)，其中根據(jù)棱錐的幾何特征判斷出棱錐的中截面與棱錐的底面是相似圖形，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解答本題的關(guān)鍵．
12.【答案】3π
【解析】解：如圖，將四面體補(bǔ)成正方體，則正方體的棱長是1，正方體的對角線長為： 3，
則此球的表面積為：4π×( 32)2=3π
故答案為3π．
把四面體補(bǔ)成正方體，兩者的外接球是同一個，求出正方體的棱長，然后求出正方體的對角線長，就是球的直徑，即可求出球的表面積．
本題是基礎(chǔ)題，考查空間想象能力，正四面體的外接球轉(zhuǎn)化為正方體外接球，使得問題的難度得到降低，問題得到解決，注意正方體的對角線就是球的直徑，也是比較重要的．
13.【答案】1+2π2π
【解析】解：可以設(shè)該側(cè)面的正方形邊長為A，
則S側(cè)面積=A2
全面積S=A2+2π(A2π)2
則圓柱的全面積與側(cè)面積的比
S全面積S側(cè)面積=(1+2π2π)A2A2=1+2π2π
故答案：1+2π2π
由圓柱的側(cè)面展開圖是正方形，我們易得圓柱的高與底面周長相等，設(shè)側(cè)面的正方形邊長為A后，易分別計算出側(cè)面積和全面積，代入計算后，易得結(jié)果．
本題考查的是圓柱的表面積與側(cè)面積，利用已知分別求出全面積和側(cè)面積是解答本題的關(guān)鍵，另外全面積=側(cè)面積+底面積×2，中易解為全面積=側(cè)面積+底面積．
14.【答案】arccs25
【解析】解：設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，
以向量AB,AD,AA1為基底，則AB?AD=AB?AA1=AD?AA1=0，
可得A1E=AE?AA1=12AB?AA1，C1F=C1B1+B1F=?AD?12AA1，
所以A1E?C1F=(12AB?AA1)?(?AD?12AA1)=?12AB?AD?14AB?AA1+AA1?AD+12AA12=12AA12=12，
因?yàn)閨A1E|=|C1F|= 12+(12)2= 52，
所以cs=A1E?C1F|A1E|?|C1F|=12 52? 52=25，
結(jié)合異面直線所成角的大小為銳角或直角，可知A1E與C1F所成的角θ=arccs25．
故答案為：arccs25．
根據(jù)題意，以向量AB,AD,AA1為基底，表示出向量A1E,C1F，然后利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)與空間向量的夾角公式，算出答案．
本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、異面直線所成角的定義與求法等知識，考查了計算能力、圖形的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．
15.【答案】13
【解析】解：將正三棱柱ABC?A1B1C1沿側(cè)棱展開，再拼接一次，其側(cè)面展開圖如圖所示，
在展開圖中，最短距離是六個矩形對角線的連線的長度，也即為三棱柱的側(cè)面上所求距離的最小值．
由已知求得矩形的長等于6×2=12，寬等于5，由勾股定理d= 122+52=13
故答案為：13．
將三棱柱展開兩次如圖，不難發(fā)現(xiàn)最短距離是六個矩形對角線的連線，正好相當(dāng)于繞三棱柱轉(zhuǎn)兩次的最短路徑．
本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，空間想象能力，幾何體的展開與折疊，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化(空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，化曲為直)的思想方法．
16.【答案】 32
【解析】解：在底面半徑為1，高為6的圓柱內(nèi)放置兩個球，使得兩個球與圓柱側(cè)面相切，且分別與圓柱的上下底面相切．一個與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個橢圓，
則由圖可知：|BF|=1，|BO|=2，
所以sin∠BOF=12，
又因?yàn)閟in∠ODM=|OM||OD|=1|OD|，
結(jié)合∠BOF=∠ODM可知：sin∠ODM=|OM||OD|=1|OD|=12=sin∠BOF，
所以|OD|=a=2，
而2b=2，
即b=1，
所以c= a2?b2= 22?12= 3，
所以離心率e=ca= 32．
故答案為： 32．
結(jié)合題意，由球的半徑可求得|BF|，|BO|的值，進(jìn)而可得∠BOF=∠ODM的正弦值，所以可求出|OD|的值，即可以求出a的值，由圓柱的底面半徑可以求出b的值，進(jìn)而可以求出離心率．
本題考查了橢圓的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了橢圓離心率的求法，屬中檔題．
17.【答案】解：(1)圓C：x2+y2?2x+4y=5，化成標(biāo)準(zhǔn)方程得(x?1)2+(y+2)2=10，
所以圓心為C(1,?2)，半徑r= 10；
(2)當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(4,?1)且斜率不存在時，直線方程為x=4，
圓心C到直線的距離d=|1?4|=30)上，
∴64=4p，解得p=16，
∴拋物線方程為y2=32x，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(8,0)．
(2)如圖，∵F(8,0)是△ABC的重心，M是BC中點(diǎn)，
∴F是線段AM的定比分點(diǎn)，且AFFM=2，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x3,y3)，
則2+2x3 1+2=8，8+2y31+2=0，
解得x3=11，y3=?4，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(11,?4)．
(3)∵線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，
∴BC所在的直線不垂直于x軸，設(shè)BC的直線為：y+4=k(x?11)，(k≠0)，
由y+4=k(x?11)y2=32x，得ky2?32y?32(11k+4)=0，
∴y1+y2=32k，
由(2)的結(jié)論得y1+y22=?4，解得k=?4．
∴BC所在的直線方程為4x+y?40=0．
【解析】(1)由點(diǎn)A(2,8)在拋物線y2=2px，(p>0)上，利用待定系數(shù)法能求出拋物線方程．
(2)由已知條件知F(8,0)是線段AM的定比分點(diǎn)，且AFFM=2，由此能求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
(3)設(shè)BC的直線為：y+4=k(x?11)，(k≠0)，由y+4=k(x?11)y2=32x，得ky2?32y?32(11k+4)=0，由此能求出BC所在的直線方程．
本題考查拋物線方程的求法，考查線段中點(diǎn)坐標(biāo)的求不法，考查直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意定比分點(diǎn)公式的合理運(yùn)用．
21.【答案】解：(I)因?yàn)橹本€l：x?my?m22=0，經(jīng)過F2( m2?1,0)，
所以 m2?1=m22，得m2=2，
又因?yàn)閙>1，所以m= 2，
故直線l的方程為x? 2y?1=0；
(Ⅱ)(i)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x=my+m22x2m2+y2=1，消去x得2y2+my+m24?1=0，
則y1+y2=?m2，y1y2=m28?12，
由Δ=m2?8(m24?1)=?m2+8>0，得m21，
則1

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