1.甲盒中有3個紅球，3個白球，乙盒中有4個球，2個白球，現(xiàn)從甲盒中取出一球放入乙盒中，再從乙盒中取出一球，記事件A：甲盒中取出的球是紅球，事件B：在乙盒中取出的球是紅球，則P(B|A)等于( )
A. 57B. 56C. 23D. 12
2.設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1,σ12)(σ1>0)和(μ2,σ22)(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示.則有( )
A. μ1σ2
3.2023年5月28日國產(chǎn)大飛機(jī)C919由上海飛抵北京，這標(biāo)志著C919商飛成功，開創(chuàng)了中國商業(yè)航空的新紀(jì)元.某媒體甲、乙等四名記者去上海虹橋機(jī)場、北京首都機(jī)場和中國商飛總部進(jìn)行現(xiàn)場報(bào)道，若每個地方至少有一名記者，每個記者只去一個地方，則甲、乙同去上海虹橋機(jī)場的概率為( )
A. 118B. 16C. 14D. 13
4.已知曲線y=axsinx在x=π2處的切線方程為y=2x+b，則a+b等于( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.直上九天問蒼穹，天宮六人繪新篇.2023年5月30日神州十六號發(fā)射成功，神十五與神十六乘組航天員在太空性利會師，6名航天員分兩排合影留念，若從神十五和神十六每組的3名航天員中各選1人站在前排，后排的4人要求同組的2人必須相鄰，則不同的站法有( )
A. 72種
B. 144種
C. 180種
D. 288種
6.一個盒中有10個球，其中紅球7個，黃球3個，隨機(jī)抽取兩個，則至少有一個黃球的概率為( )
A. 35B. 115C. 715D. 815
7.2022年卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊(duì)與法國隊(duì)在120分鐘比賽中3：3戰(zhàn)平，經(jīng)過四輪點(diǎn)球大戰(zhàn)阿根廷隊(duì)以總分7：5戰(zhàn)勝法國隊(duì)，第三次獲得世界杯冠軍.其中門將馬丁內(nèi)斯撲出法國隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇，撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有12的可能性撲不到球.若不考慮其他因素，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中，門將在前四次撲出點(diǎn)球的個數(shù)X的期望為( )
A. 16B. 12C. 23D. 2
8.已知拋物線C：x2=8y的焦點(diǎn)為F，C的準(zhǔn)線與對稱軸交于D，過D的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且AB=2BD，若FB為∠DFA的平分線，則|AF|+|BF|等于( )
A. 83B. 8C. 10D. 323
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9.設(shè)X，Y為隨機(jī)變量，且Y=3X?1，若E(Y)=5，D(Y)=9，則( )
A. E(X)=2B. E(X)=4C. D(X)=1D. D(X)=83
10.(3x2?2 x)6展開式的有理項(xiàng)為( )
A. 64x3B. 80C. 160xD. x4
11.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為“鱉臑”.若三棱錐P?ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=BC=2，則( )
A. BC⊥平面PAB
B. 直線PA與平面PBC所成角的正弦值為2 1313
C. 二面角A?PB?C的余弦值為3 2626
D. 三棱錐P?ABC外接球的表面積為17π
12.隨機(jī)變量ζ的分布列如表，
則下列選項(xiàng)正確的是( )
A. 2a+b=1B. Eζ=2b
C. Dζ=4a?b2D. Dζ的最大值為3625
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知平面α的法向量a=(1,?2,m)，直線l的方向向量n=(3,1,?2)，若l//α，則m=______.
14.某校高二年級1200人，期末統(tǒng)測的數(shù)學(xué)成績X～N(85,25)，則這次統(tǒng)測數(shù)學(xué)及格的人數(shù)約為(滿分150分，不低于90分為及格)______.
(附：P(μ?σ≤X≤μ+σ)=0.6827，P(μ?2σ≤X≤π+2σ)=0.9545)
15.已知雙曲線x22a2?y2=1與橢圓x225+y216=1有相同的焦點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為______.
16.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1，2，…，n，且P(X=i)=pi>0(i=1,2,?,n)，i=1npi=1，定義M(X)=i=1npipn+1?i.若p1pn=1n2，則當(dāng)n=3時，M(X)的最大值為______.
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
某?！碍h(huán)境”社團(tuán)隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天空氣中的PM2.5和當(dāng)天到街心公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：
若某天的空氣中的PM2.5不高于75，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣中的PM2.5高于75，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.
(1)估計(jì)該市一天“空氣質(zhì)量好”的概率；
(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？
附：K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
18.(本小題12分)
我國元代數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中研究過高階等差數(shù)列問題，如數(shù)列{an}滿足{an+1?an}為等差數(shù)列，稱{an}為二階等差數(shù)列.已知二階等差數(shù)列1，2，4，7，…….
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn=an+1?an2n，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
19.(本小題12分)
2022年6月的某一周，“東方甄選”直播間的交易額共計(jì)3.5億元，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：
(1)通過分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)(系數(shù)精確到0.01)加以說明；
(2)利用最小二乘法建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.1)，并預(yù)測下一周的第一天(即第8天)的交易額．
參考數(shù)據(jù)：i=17(ti?t?)(yi?y?)=42.1， i=17(yi?y?)2=8.1， 7≈2.65.
參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=1n(ti?t?)(yi?y?) i=1n(ti?t?)2i=1n(yi?y?)2.
在回歸方程y =b t+a 中，斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為b =i=1ntiyi?nt?y?i=1nt12?nt?2=i=1n(ti?t?)(yi?y?)i=1n(ti?t?)2，a =y??b t?.
20.(本小題12分)
芯片是二十一世紀(jì)最核心的科技產(chǎn)品，我們一直被美國卡脖子，隨著中國科技的不斷發(fā)展，我們在芯片技術(shù)上取得了重大突破.有些型號的芯片已經(jīng)批量生產(chǎn).某芯片代工公司有3臺機(jī)器生產(chǎn)同一型號的芯片，第1，2臺生產(chǎn)的次品率均為1%，第3臺生產(chǎn)的次品率為2%，生產(chǎn)出來的芯片混放在一起.已知第1，2，3臺機(jī)器生產(chǎn)的芯片數(shù)分別占總數(shù)的30%，40%，30%.
(1)求任取一個芯片是正品的概率；
(2)如果取到的芯片是次品，分別求出是第1臺機(jī)器，第2臺機(jī)器，第3臺機(jī)器生產(chǎn)的概率.
21.(本小題12分)
已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(diǎn)M( 3,12)，點(diǎn)A為下頂點(diǎn)，且AM的斜率為 32.
(1)求橢圓E的方程；
(2)如圖，過點(diǎn)B(0,4)作一條與y軸不重合的直線，該直線交橢圓E于C、D兩點(diǎn)，直線AD，AC分別交x軸于H，G兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).求證：|OH||OG|為定值，并求出該定值.
22.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=lnx?ax有兩個零點(diǎn).
(1)求a的取值范圍；
(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個零點(diǎn)，證明：a(x1+x2)>2.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根據(jù)題意，甲盒中有3個紅球，3個白球，乙盒中有4個球，2個白球，
若事件A發(fā)生，即在甲盒中取出一個紅球，放入乙盒中，則乙盒中共有7個球，其中紅球5個，
故P(B|A)=57.
故選：A.
根據(jù)題意，分析事件A發(fā)生時，B盒子中球的數(shù)目，由古典概型公式計(jì)算可得答案．
本題考查條件概率的計(jì)算，注意條件概率的定義，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】B
【解析】解：由兩個正態(tài)分布N(μ1,σ12)(σ1>0)和(μ2,σ22)(σ2>0)的密度函數(shù)圖象可知，
μ1σ2.
故選：B.
根據(jù)圖象，以及μ，σ的幾何意義，即可求解．
本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】A
【解析】解：根據(jù)題意，甲、乙等四名記者去上海虹橋機(jī)場、北京首都機(jī)場和中國商飛總部進(jìn)行現(xiàn)場報(bào)道，若每個地方至少有一名記者，每個記者只去一個地方，
則甲、乙同去上海虹橋機(jī)場的概率為P=A22C12A33=118.
故選：A.
根據(jù)古典概型以及排列組合相關(guān)知識可解．
本題考查古典概型以及排列組合相關(guān)知，屬于基礎(chǔ)題．
4.【答案】A
【解析】解：令y=f(x)=axsinx，則f′(x)=a(sinx?xcsx)sin2x，
∵曲線y=axsinx在x=π2處的切線方程為y=2x+b，∴f′(π2)=a=2，即a=2；
又f(π2)=π2a=2×π2+b，∴b=0，
故a+b=2.
故選：A.
求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值為2求解a，再由函數(shù)在x=π2處的函數(shù)值相等列式求解b，則答案可求．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
5.【答案】B
【解析】解：根據(jù)題意可知，第一排的站法有C31C31A22=18種，
第二排的站法有A22A22A22=8種，
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有站法18×8=144種．
故選：B.
分別計(jì)算第一排的站法和第二排的站法，再結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可．
本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】D
【解析】解：根據(jù)題意，一個盒中有10個球，從中任取2個，有C102的取法，
其中沒有黃球，即全部為紅球的取法有C72種，
則至少有一個黃球的取法有C102?C72種，
故至少有一個黃球的概率P=1?C72C102=1?715815.
故選：D.
根據(jù)題意，先由組合數(shù)公式可得“從中任取2個”和“沒有黃球，即全部為紅球”的取法數(shù)目，進(jìn)而可得“至少有一個黃球”的取法數(shù)目，由古典概型公式計(jì)算可得答案．
本題考查古典概型的計(jì)算，涉及組合數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
7.【答案】C
【解析】解析：因?yàn)殚T將也會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有12的可能性撲不到球，
所以門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率P=13×12=16，
而X的所有取值為0，1，2，3，4，且X～B(4,16)，
則E(X)=4×16=23.
故選：C.
由題意，得到門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率，易得其服從二項(xiàng)分布，代入期望公式中即可求解．
本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望公式，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．
8.【答案】D
【解析】解：拋物線C：x2=8y的焦點(diǎn)為F，F(xiàn)(0,2)，C的準(zhǔn)線與對稱軸交于D，D(0,?2)，
所以|DF|=4.過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1，則AA1//BB1.如圖：
因?yàn)镕B為∠DFA的平分線．則|AB||BD|=|AF||DF|，
又AB=2BD，∴|AF|=|AA1|=2|DF|=8，
又|BB1|=|AA1|=|DB||DA|=13，
∴|BF|=|BB1|=13|AA1|=83.
又|AF|=8，
∴|AF|+|BF|=8+83=323.
故選：D.
畫出圖形，結(jié)合已知條件，轉(zhuǎn)化求解|AF|+|BF|即可．
本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．
9.【答案】AC
【解析】解：因?yàn)閄，Y為隨機(jī)變量，且Y=3X?1，
可得X=Y3+13，
又E(Y)=5，
所以E(X)=E(Y)3+13=2，排除選項(xiàng)B；
又D(Y)=1，
所以D(X)=(13)2D(Y)=1，排除選項(xiàng)D.
故選：AC.
由題意，根據(jù)期望公式和方差公式進(jìn)行求解即可．
本題考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．
10.【答案】AD
【解析】解：(3x2?2 x)6的展開式的通項(xiàng)Tk+1=C6k(x23)6?k(?2 x)k=(?2)kC6kx24?7k6，
由24?7k6∈Z，得k=0或k=6.
當(dāng)k=0時，T1=(?2)0C60x4=x4，
當(dāng)k=6時，T7=(?2)6C66x?3=64x?3.
∴(3x2?2 x)6的展開式的有理項(xiàng)為64x3或x4.
故選：AD.
寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由x的指數(shù)為有理數(shù)求得k值，則答案可求．
本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
11.【答案】BCD
【解析】解：由題意可知該幾何體可以看成是從一個長方體中截出來的一個三棱錐P?ABC，
所以可以建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，
CB=(2,0,0)，BP=(?2,?2,3)，
∵CB?BP=?4≠0，
∴CB與BP不垂直，
所以BC與平面PAB不垂直，所以A錯誤；
設(shè)平面PBC的一個法向量為n=(x,y,z)，
則CB?n=0,BP?n=0,，整理得到2x=0,?2x?2y+3z=0,
令y=3，得n=(0,3,2)，
又AP=(0,0,3)，設(shè)直線PA與平面PBC所成角為θ，
則sinθ=|cs?AP,n?|=63× 13=2 1313，所以B正確；
設(shè)平面PAB的一個法向量為m=(x1,y1,z1)，
AP=(0,0,3)，AB=(2,2,0)，
則AP?m=0,AB?m=0,，整理得到3z1=0,2x1+2y1=0,，
令x1=1，得m=(1,?1,0)，所以|cs?m,n?|=|?3 13× 2|=3 2626，所以C正確；
正方體的對角線為三棱錐P?ABC外接球的直徑，
2R=PB= PA2+AC2+BC2= 17，
故球的表面積為S=4πR2=17π，所以D正確，
故選：BCD.
該幾何體可以看成是長方體中截出來的三棱錐P?ABC，建立直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量對選項(xiàng)ABC逐個分析判斷；
對于D，由長方體的對角線為三棱錐P?ABC外接球的直徑，可求出外接球的半徑，從而可求出外接球的表面積．
本題主要考查直線與平面所成的角以及二面角的平面角，屬于中檔題．
12.【答案】BD
【解析】解：根據(jù)題意，由分布列的性質(zhì)可得：2a+a+2a+b=1，變形可得a=15(1?b)，
依次分析選項(xiàng)：
對于A，2a+b=1?3a≠1，A錯誤；
對于B，Eζ=?1×2a+0+1×2a+2b=2b，B正確；
對于C和D，Dζ=2a(2b+1)2+a(2b)2+2a(2b?1)2+b(2b?2)2=4(a+b?b2)=?4(b2?4b5?15)=?4(b?25)2+3625，則C錯誤，
同時可得：則當(dāng)且僅當(dāng)b=25時，Dζ的最大值為3625，D正確；
故選：BD.
根據(jù)題意，由分布列的性質(zhì)分析可得A錯誤，求出Eζ的值，可得B正確，再分析Dζ的值和最值，可得C錯誤，D正確，綜合可得答案．
本題考查隨機(jī)變量的分布列、期望和方差的計(jì)算，涉及二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．
13.【答案】12
【解析】解：因?yàn)閘//α，所以n⊥a，
所以n?a=1×3?2×1?2m=0，
解得m=12.
故答案為：12.
根據(jù)l//α?xí)rn⊥a，利用n?a=0列方程求出m的值．
本題考查了空間向量的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
14.【答案】190
【解析】解：因?yàn)槟承８叨昙?200人，期末統(tǒng)測的數(shù)學(xué)成績X～N(85,25)，
則μ=85，σ=5，
P(80≤X≤90)=0.6827，P(85≤X≤90)=12×0.6827=0.34135，
P(X≥90)=0.5?0.34135=0.15865，
則這次統(tǒng)測數(shù)學(xué)及格的人數(shù)約為1200×0.15865=190.
答案：190.
根據(jù)正態(tài)分布曲線的定義以及性質(zhì)可解．
本題考查正態(tài)分布曲線的定義與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
15.【答案】3 24
【解析】解：橢圓x225+y216=1的焦點(diǎn)為(?3,0)，(3,0)，
而雙曲線的方程為x22a2?y2=1，
可得2a2+1=9，
解得a2=4，即a=±2，
所以雙曲線的離心率e= 1+2a2 2a2=3 8=3 24.
故答案為：3 24.
求得橢圓的焦點(diǎn)，進(jìn)而得到2a2+1=9，解方程可得a，再由雙曲線的離心率公式計(jì)算可得所求值．
本題考查橢圓與雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
16.【答案】13
【解析】解：當(dāng)n=3時，p1p3=19，
此時M(X)=i=13pip4?i=p1p3+p2p2+p3p1=2p1p3+p22=29+[1?(p1+p3)]2，
因?yàn)镻(X=i)=pi>0(i=1,2,?,n)，
所以p1>0，p3>0，
又p1p3=19，
所以p1+p3≥2 p1p3=23，當(dāng)且僅當(dāng)p1=p3=13時，等號成立，
此時23≤p1+p30，得|k|> 152.
因?yàn)锳(0,?1)，直線AD的方程為y=y1+1x1x?1，令y=0，解得x=x1y1+1，
則H(x1y1+1,0)，同理可得G(x2y2+1,0)，
∴|OH||OG|=|x1y1+1||x2y2+1|=|x1x2(kx1+5)(kx2+5)|=|x1x2k2x1x2+5k(x1+x2)+25|
=|601+4k2k2?601+4k2+5k(?32k1+4k2)+25|=|6060k2?160k2+25(1+4k2)|=125.(定值)
【解析】(1)代入點(diǎn)M坐標(biāo)，利用斜率公式組成方程組即可；(2)將H，G點(diǎn)坐標(biāo)表示出來，相乘化簡即得．
本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，定值問題，屬于中檔題．
22.【答案】解：(1)f′(x)=1x?a=1?axx，(x>0)，
當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上遞增，f(x)至多一個零點(diǎn)；
所以a>0，且x∈(0,1a)時，f′(x)>0；x∈(1a,+∞)時，f′(x)0，∴0

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2022-2023學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含詳細(xì)答案解析）：

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