導(dǎo)向一　用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界
素養(yǎng)1數(shù)學(xué)抽象“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的考查重點(diǎn)是學(xué)生在各種情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系的能力，在日常生活和實(shí)踐中善于一般性思考問題，把握事物的本質(zhì)、以簡(jiǎn)馭繁，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的思維品質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)抽象的具體表現(xiàn)包括：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系．
例1. [2022·新高考Ⅰ卷]一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組)，得到如下數(shù)據(jù)：
價(jià)值引領(lǐng)[素養(yǎng)]　數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理．[五育]　培養(yǎng)學(xué)生尊重知識(shí)，熱愛科學(xué)，用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題．
?[說明]　主要考查了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理的素養(yǎng)，培養(yǎng)了學(xué)生尊重科學(xué)、熱愛科學(xué)、用所學(xué)知識(shí)解決問題．
素養(yǎng)2直觀想象“直觀想象”素養(yǎng)的考查重點(diǎn)是學(xué)生運(yùn)用圖形和空間想象思考問題、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力；通過幾何直觀洞察表面現(xiàn)象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，抓住事物的本質(zhì)的思維品質(zhì)．直觀想象素養(yǎng)的具體表現(xiàn)包括：建立形與數(shù)的聯(lián)系、利用幾何圖形描述問題、借助幾何直觀理解問題、運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物．
價(jià)值引領(lǐng)[素養(yǎng)]　直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算．[五育]　引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)主義建設(shè)的成果，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感．
真題互鑒2．[2020·新高考Ⅰ卷]日晷是中國(guó)古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面．在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為(　　)A．20° B．40°C．50° D．90°
解析：過球心O、點(diǎn)A以及晷針的軸截面如圖所示，其中CD為晷面，GF為晷針?biāo)谥本€，EF為點(diǎn)A處的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故選B.
3．[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷改編]下列物體中，不能被整體放入棱長(zhǎng)為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有(　　)A．直徑為0.99 m的球體B．所有棱長(zhǎng)均為1.4 m的四面體C．底面直徑為0.01 m，高為1.8 m的圓柱體D．底面直徑為1.2 m，高為0.01 m的圓柱體
[說明]　此兩題展現(xiàn)了我國(guó)古代文明，歷史上的輝煌成就，提倡文化自信及生活之美教育．
導(dǎo)向二　用數(shù)學(xué)的思維分析世界
素養(yǎng)3邏輯推理“邏輯推理”素養(yǎng)的考查重點(diǎn)是學(xué)生運(yùn)用邏輯推理的基本形式，提出和論證命題、理解事物之間的關(guān)聯(lián)、把握知識(shí)結(jié)構(gòu)的能力；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)．邏輯推理素養(yǎng)涉及的行為表現(xiàn)包括：發(fā)現(xiàn)問題和提出命題、掌握推理的基本形式和規(guī)則、探索和表述論證過程、理解命題體系、有邏輯地進(jìn)行表達(dá)與交流．
例3. [2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答).
價(jià)值引領(lǐng)[素養(yǎng)]　邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算．[五育]　全面發(fā)展，提升綜合素質(zhì)．?
真題互鑒4.[2023·全國(guó)甲卷(理)]現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有(　　)A．120種 B．60種C．30種 D．20種
素養(yǎng)4 數(shù)學(xué)運(yùn)算“數(shù)學(xué)運(yùn)算”雖然是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)三大能力之一，但作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅要考查學(xué)生的運(yùn)算基本功，更重要的是考查學(xué)生有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題的能力．通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成程序化思考問題的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，其具體表現(xiàn)包括：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、形成程序化思維．
價(jià)值引領(lǐng)[素養(yǎng)]　數(shù)學(xué)運(yùn)算．[五育]　熱愛學(xué)習(xí)，提升基本運(yùn)算能力．
[說明]　此兩題是用數(shù)學(xué)基本知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，解決數(shù)學(xué)問題．
導(dǎo)向三　用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界
素養(yǎng)5 數(shù)學(xué)建?！皵?shù)學(xué)建?！钡目疾橹攸c(diǎn)是學(xué)生用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，其中涉及數(shù)學(xué)建模的完整過程，即在實(shí)際情境中，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題．由于在常規(guī)的紙筆測(cè)試中較難反映數(shù)學(xué)建模的完整過程，因此，在編制考查數(shù)學(xué)建模的測(cè)試題時(shí)，通常依據(jù)數(shù)學(xué)建模的各個(gè)環(huán)節(jié)來命題．如設(shè)置一個(gè)實(shí)際情境，重點(diǎn)考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出合適的數(shù)學(xué)問題的能力，或者給定一個(gè)初步的數(shù)學(xué)模型，要求學(xué)生依據(jù)實(shí)際情況對(duì)模型進(jìn)行修正等．
價(jià)值引領(lǐng)[素養(yǎng)]　數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算．[五育]　感受中國(guó)古代文化，讓學(xué)生領(lǐng)略中華民族的智慧，增強(qiáng)民族自信心和自豪感，培育愛國(guó)主義情感．
8．[2020·新高考Ⅰ卷]基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln 2≈0.69)(　　)A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天
[說明]　此兩題旨在用數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實(shí)生活問題．
素養(yǎng)6 數(shù)據(jù)分析“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)的考查重點(diǎn)是學(xué)生基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題、運(yùn)用合適的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行推斷和決策的能力，形成通過數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物的思維品質(zhì)．其具體表現(xiàn)包括：收集和整理數(shù)據(jù)、理解和處理數(shù)據(jù)、獲得和解釋結(jié)論、概括和形成知識(shí)．
例6 [2023·全國(guó)甲卷(文)]一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量(單位：g).試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5．2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8　26.5　27.5　30.132．6　34.3　34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?．8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.219．8　20.2　21.6　22.8　23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5(1)計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；?(2)(ⅰ)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表(ⅱ)根據(jù)(ⅰ)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？
價(jià)值引領(lǐng)[素養(yǎng)]　數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算．[五育]　熱愛科學(xué)，保護(hù)環(huán)境．使用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題．
真題互鑒9.[2021·全國(guó)甲卷]為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是(　　)A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
解析：對(duì)于A，根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率約為(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率約為(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值約為3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(萬元)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)頻率分布直方圖可知，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農(nóng)戶比率約為(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，故D正確．

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