名師點(diǎn)題本題考查了新定義的函數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，題目新穎，解題時(shí)應(yīng)深刻理解新定義的概念，從而解答問(wèn)題．
例 2 [2023·湖南岳陽(yáng)一中一模]定義集合A，B的一種運(yùn)算：A?B＝{x|x＝a2－b，a∈A，b∈B}，若A＝{－1，0}，B＝{1，2}，則A?B中的元素個(gè)數(shù)為(　　)A．1　　　 B．2C．3 D．4
解析：因?yàn)锳?B＝{x|x＝a2－b，a∈A，b∈B}，A＝{－1，0}，B＝{1，2}，所以A?B＝{0，－1，－2}，故集合A?B中的元素個(gè)數(shù)為3，故選C.
名師點(diǎn)題本題考查了新定義的集合的運(yùn)算，解題時(shí)應(yīng)深刻理解新運(yùn)算的概念，從而解答問(wèn)題．
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.[2023·湖南雅禮中學(xué)一模]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則A⊕B中元素的個(gè)數(shù)為(　　)A．77 B．49C．45 D．30
解析：因?yàn)榧螦＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5個(gè)元素(即5個(gè)點(diǎn))，即圖中圓中的整點(diǎn)，集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25個(gè)元素(即25個(gè)點(diǎn))：即圖中正方形ABCD中的整點(diǎn)，集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整點(diǎn)(除去四個(gè)頂點(diǎn))，即7×7－4＝45個(gè)．
角度1 材料型例 3 據(jù)《北京日?qǐng)?bào)》報(bào)道，北京9月啟動(dòng)學(xué)生體質(zhì)健康調(diào)查，全市約2.5萬(wàn)名學(xué)生參加“體檢”．北京市普通大、中、小學(xué)校的6至22歲京籍、漢族學(xué)生均為此次調(diào)查對(duì)象．全市按城、鄉(xiāng)、男、女分為四類，每歲一組．各高校19至22歲學(xué)生每校每類每個(gè)年齡組樣本容量均為102.每所高校應(yīng)上報(bào)有效卡片________張．若其中石景山區(qū)和門頭溝區(qū)減半，則這兩個(gè)區(qū)的每所高校應(yīng)上報(bào)有效卡片________張．
名師點(diǎn)題對(duì)于日常在網(wǎng)絡(luò)、電視或雜志中遇到的關(guān)于數(shù)據(jù)的報(bào)道，利用所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并得出相應(yīng)的結(jié)論，是數(shù)學(xué)在日常生活中的重要應(yīng)用．本題以學(xué)生體質(zhì)健康調(diào)查為背景，考查考生的閱讀理解能力和對(duì)給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的能力，滲透了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．
名師點(diǎn)題逐一以其中的兩個(gè)論斷為條件，看能否推出正確結(jié)論．
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4.[2021·全國(guó)乙卷]以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_(kāi)_________(寫出符合要求的一組答案即可)．
解析：根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”及圖中數(shù)據(jù)，可知圖②③只能是側(cè)視圖，圖④⑤只能是俯視圖，則組成某個(gè)三棱錐的三視圖，所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次是③④或②⑤.若是③④，則原幾何體如圖1所示；若是②⑤，則原幾何體如圖2所示．
名師點(diǎn)題求解探索型問(wèn)題的基本方法通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，則說(shuō)明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在．提醒　對(duì)于立體幾何中的探索性問(wèn)題可利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問(wèn)題處理．
名師點(diǎn)題對(duì)于結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，只需從給出的條件中選擇一個(gè)進(jìn)行求解即可，一般來(lái)說(shuō)，給出的選擇難度都是相同的，都包括邏輯推理與計(jì)算兩個(gè)方面，所以不要過(guò)多地考慮條件之間的差異性．解題時(shí)將選出的條件融合到已知條件中，然后處理相關(guān)的問(wèn)題即可．其基本步驟如下：①定條件：即從給出的條件中選取一個(gè)相對(duì)熟悉的條件，如三角形中的邊角關(guān)系，數(shù)列中項(xiàng)之間的關(guān)系，立體幾何中的線面關(guān)系等．②構(gòu)模型：把選取的條件融合到已知條件中，然后構(gòu)建解決問(wèn)題的模型．③解模型：即求解所構(gòu)建的模型，如求解相關(guān)的量等．
角度1 與社會(huì)熱點(diǎn)的結(jié)合例 7 2020年既是全面建成小康社會(huì)之年，又是脫貧攻堅(jiān)收官之年，某地為鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，選派了5名工作人員到A，B，C三個(gè)村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃情況，每個(gè)村至少去1人，則不同的選派方法有(　　)A．25種 B．60種C．90種 D．150種?
名師點(diǎn)題 本題以2020年脫貧攻堅(jiān)收官為背景，考查了計(jì)數(shù)原理與古典概型的概率，體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)原理、統(tǒng)計(jì)方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位，突出了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查．
名師點(diǎn)題 本題以嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星為背景，考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)列、函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8.5G時(shí)代已經(jīng)到來(lái)，5G的發(fā)展將直接帶動(dòng)包括運(yùn)營(yíng)、制造、服務(wù)在內(nèi)的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進(jìn)而對(duì)GDP增長(zhǎng)產(chǎn)生直接貢獻(xiàn)，并通過(guò)產(chǎn)業(yè)間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)和波及效應(yīng)，間接帶動(dòng)國(guó)民經(jīng)濟(jì)各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造出更多的經(jīng)濟(jì)價(jià)值．如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖是某單位結(jié)合近幾年的數(shù)據(jù)，對(duì)今后幾年的5G直接經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出做出的預(yù)測(cè)．
由上圖提供的信息可知下列說(shuō)法不正確的是(　　)A．運(yùn)營(yíng)商的5G直接經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出逐年增加B．設(shè)備制造商的5G直接經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出前期增長(zhǎng)較快，后期放緩C．設(shè)備制造商在各年的5G直接經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出中一直處于領(lǐng)先地位D．信息服務(wù)商與運(yùn)營(yíng)商的5G直接經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢(shì)
解析：根據(jù)已知統(tǒng)計(jì)圖，觀察白色矩形，可得運(yùn)營(yíng)商的5G直接經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出逐年增加，A正確．觀察黑色矩形和灰色矩形，可得設(shè)備制造商的5G直接經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出前期增長(zhǎng)較快，后期放緩，到2029年被信息服務(wù)商超過(guò)，B正確，C錯(cuò)誤．觀察灰色矩形和白色矩形，可得信息服務(wù)商與運(yùn)營(yíng)商的5G直接經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢(shì)，D正確．
角度3 與生產(chǎn)生活的結(jié)合例 9 [2022·全國(guó)甲卷]某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：
則(　　)A．講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
名師點(diǎn)題 本題以垃圾分類為背景，考查了統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用，考查了數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9.[2023·長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)模擬]習(xí)近平總書記深刻指出，倡導(dǎo)環(huán)保意識(shí)、生態(tài)意識(shí)，構(gòu)建全社會(huì)共同參與的環(huán)境治理體系，讓生態(tài)環(huán)保思想成為社會(huì)生活中的主流文化．為使排放的廢氣中含有的污染物量減少，某化工企業(yè)探索改良工藝，已知改良前所排放的廢氣中含有的污染物量為2 mg/cm3，首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物量為1.94 mg/cm3.設(shè)改良前所排放的廢氣中含有的污染物量為r0(單位：mg/cm3)，首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物量為r1(單位：mg/cm3)，則第n次改良后所排放的廢氣中的污染物量rn(單位：mg/cm3)滿足函數(shù)模型rn＝r0－(r0－r1)×50.5n＋p(p∈R，n∈N*)．(1)試求rn的函數(shù)模型；(2)依據(jù)當(dāng)?shù)丨h(huán)保要求，企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物量不能超過(guò)0.08 mg/cm3.試問(wèn)：至少進(jìn)行多少次改良才能使該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物量達(dá)標(biāo)？(參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.3)
角度4 與其他學(xué)科的融合例 10 [2022·全國(guó)甲卷]甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．
(2)由題意得，X的所有可能取值為0，10，20，30.易知乙學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.6，0.2，則P(X＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，P(X＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，所以X的分布列為則E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
名師點(diǎn)題 本題以學(xué)校體育比賽為背景，考查了概率的基礎(chǔ)知識(shí)和求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的方法，體現(xiàn)了對(duì)高考數(shù)學(xué)的應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求．
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10.(與物理學(xué)科的融合)汽車智能輔助駕駛自動(dòng)剎車的工作原理是用雷達(dá)測(cè)出車輛與前方障礙物之間的距離(并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間)，當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開(kāi)始報(bào)警提醒，等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車，某種算法(如圖所示)將報(bào)警時(shí)間(單位：秒)劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時(shí)間t0、人的反應(yīng)時(shí)間t1、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間t2、制動(dòng)時(shí)間t3，相應(yīng)的距離(單位：米)分別為d0，d1，d2，d3，當(dāng)車速為v(單位：米/秒)，且v∈(0，33.3]時(shí)，通過(guò)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到表中所給的數(shù)據(jù)(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，k∈[0.5，0.9])．
若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均小于80米，則汽車的行駛速度不應(yīng)超過(guò)(　　)A．65千米/時(shí) B．72千米/時(shí)C．81千米/時(shí) D．90千米/時(shí)

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