（滿分 150分， 考試時間 120 分鐘） 2024 年 1月
一、 選擇題：本題共8小題， 每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的．
1. 已知全集為U，集合M，N滿足，則下列運算結(jié)果一定為U的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的虛部為iB. C. D.
3. 設(shè)，是兩個不共線的向量，已知，，，若三點A，B，D共線，則的值為（ ）
A. －8B. 8C. 6D. －6
4. 已知，則 的值為 （ ）
A B. C. 1D.
5. 甲、 乙、丙等5名同學(xué)參加政史地三科知識競賽，每人隨機選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為（ ）
A. B. C. D.
6. 函數(shù)恒有，且在上單調(diào)遞增，則的值為（ ）
A. B. C. D. 或
7 設(shè)則（ ）
A. B.
C. D.
8. 如圖，正方體的棱長為3，點P是平面內(nèi)的動點，M，N分別為，的中點，若直線BP與MN所成的角為，且，則動點P的軌跡所圍成的圖形的面積為（ ）

A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多小個合題最需求．全的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 己知一組樣本數(shù)據(jù) ，其中為正實數(shù).滿足，下列說法正確的是（ ）
A. 樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為
B. 去掉樣本的一個數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的極差可能不變
C. 若數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在左邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于中位數(shù)
D. 樣本數(shù)據(jù)的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于80
10. 已知拋物線C：的焦點為F，直線l過點F且與拋物線C交于，兩點，其中，且，則（ ）
A. 直線l的斜率為B.
C. D. △MON（點O為坐標(biāo)原點）的面積為6
11. 設(shè)數(shù)列前項和為，滿足，且，則下列選項正確是（ ）
A.
B. 數(shù)列等差數(shù)列
C. 當(dāng)時有最大值
D. 設(shè)，則當(dāng)或時數(shù)列的前項和取最大值
12. 函數(shù)和有相同的最大值，直線與兩曲線和恰好有三個交點，從左到右三個交點橫坐標(biāo)依次為，則下列說法正確的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知的展開式中． 的系數(shù)為80， 則m的值為______．
14. 過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，為的右焦點，若，且，則雙曲線的方程為________.
15. 如圖， 在圓臺 中，，點C是底面圓周上異于A、B的一點，, 點D是的中點， 為平面與平面的交線， 則交線與平面所成角的大小為_________．
16. 第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵英麗的雪花————“科赫雪花”． 它的繪制規(guī)則是：任意畫一個正三角形，并把每一條邊三等分， 以三等分后的每邊的中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線，重復(fù)上述兩步， 畫出更小的三角形，一直重復(fù)，直到無窮，形成雪花曲線
設(shè)雪花曲線周長為，面積為，若 的邊長為1，則=_______，_______
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 為了響應(yīng)教育部門疫情期間“停課不停學(xué)”的號召，某校實施網(wǎng)絡(luò)授課，為了檢驗學(xué)生上網(wǎng)課的效果，在高三年級進行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試，從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖求學(xué)生成績在區(qū)間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)
（2）若將頻率視為概率，從全校高三年級學(xué)生中隨機抽取3個人，記抽取的3人成績在[100，130）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
18. 已知數(shù)列滿足.
（1）求證：是等差數(shù)列；
（2）設(shè)(表示不超過x的最大整數(shù))，求使得成立的最大整數(shù)n的值．
19. 如圖，在中，，，點在線段上．
（1）若，求的長；
（2）若，的面積為，求的值．
20. 已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為短軸長的2倍，點在上運動，且面積的最大值為8．
（1）求的方程；
（2）若直線經(jīng)過點，交于兩點，直線分別交直線于，兩點，試問與面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．
21. 如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.
（1）證明：平面；
（2）若，設(shè)為棱的中點，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時與所成角的正切值.
22. 已知函數(shù)
（1）當(dāng)時， 求曲線在處的切線方程；
（2）若存在兩個極值點，
①求a的取值范圍；
②當(dāng)取得最小時，求a的值．

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