高三備課組
本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知是關(guān)于的方程的一個根，則實數(shù)的值為（ ）
A．8B．C．4D．
3．已知，為單位向量，若，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
4．在三角形中，內(nèi)角的對邊分別為，，，已知，，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
5．若數(shù)列的前項積為，且滿足，，則（ ）
A．B．C．D．7
6．已知雙曲線()，以雙曲線C的右頂點A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
7．在三棱錐中，平面，，，，點為棱上一點，過點作三棱錐的截面，使截面平行于直線和，當(dāng)該截面面積取得最大值時，（ ）
A．B．C．D．
8．若實數(shù)a，b，，且滿足，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．c>b>aB．b>a>cC．a(chǎn)>b>cD．b>c>a
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9．若，且，，則（ ）
A．B．
C．D．
10．設(shè)A，B是一次隨機(jī)試驗中的兩個事件，且，，，則（ ）
A．A，B相互獨立B．C． D．
11．已知P為拋物線C：上的動點，在拋物線C上，過拋物線C的焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，，，則（ ）
A．的最小值為4
B．若線段AB的中點為M，則的面積為
C．若，則直線l的斜率為2
D．過點作兩條直線與拋物線C分別交于點G，H，且滿足EF平分，則直線GH的斜率為定值
12．已知函數(shù)，，其中且．若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時，有且只有一個零點
B．當(dāng)時，有兩個零點
C．當(dāng)時，曲線與曲線有且只有兩條公切線
D．若為單調(diào)函數(shù)，則
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．設(shè)為數(shù)列的前項和，若，，則 .
14．的展開式中的系數(shù)為 .（用數(shù)字作答）
15．蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，所以這個圓又被叫做“蒙日圓”，已知點A、B為橢圓（）上任意兩個動點，動點P在直線上，若恒為銳角，則根據(jù)蒙日圓的相關(guān)知識，可知橢圓C的離心率的取值范圍為
16．函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且當(dāng)時，，則不等式的解集為 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本題10分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，且的周長為，求的面積．
18．（本題12分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列，的前n項和分別為．
(1)求，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)當(dāng)時，有恒成立，求正整數(shù)m的最小值．
19．（本題12分）如圖，已知四邊形為平行四邊形，為的中點，，.將沿折起，使點到達(dá)點的位置，使平面平面.
(1)求證：；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
20．（本題12分）某人從地到地有路程接近的2條路線可以選擇，其中第一條路線上有個路口，第二條路線上有個路口.
(1)若，，第一條路線的每個路口遇到紅燈的概率均為；第二條路線的第一個路口遇到紅燈的概率為，第二個路口遇到紅燈的概率為，從“遇到紅燈次數(shù)的期望”考慮，哪條路線更好？請說明理由.
(2)已知；隨機(jī)變量服從兩點分布，且，.則，且.若第一條路線的第個路口遇到紅燈的概率為，當(dāng)選擇第一條路線時，求遇到紅燈次數(shù)的方差.
21．（本題12分）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，且，的一條漸近線與直線：垂直.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)點為上一動點，直線，分別交于不同的兩點，（均異于點），且，，問：是否為定值？若為定值，求出該定值，請說明理由.
22．（本題12分）已知.
(1)若過點作曲線的切線，切線的斜率為2，求的值；
(2)當(dāng)時，討論函數(shù)的零點個數(shù).
參考答案：
1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D
7．C
【詳解】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點作，交于點；
在平面內(nèi)，過點作，交于點；
在平面內(nèi)，過點作，交于點，連接，如圖所示，

因為，則，設(shè)其相似比為，即，
則；
又因為，，，
由余弦定理得，，則，
即.
又平面，，平面，所以，.
又，則，.
因為，則，則，
因為，所以，即，
同理可得，即，
因為，，則，
故四邊形為平行四邊形；而平面，平面，
故平面，同理平面，
即四邊形為截面圖形；
又平面，平面，則，
又，所以.
故平行四邊形為矩形，則，
所以當(dāng)時，有最大值，則，
在中，.
故選：C.
8．B
【詳解】由，，，
得，，，令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，
在上是減函數(shù)，于是，即，
又b，，所以；
，
因為，所以，，，
因此，于是，又a，，所以；
令，則，所以在上是增函數(shù)，，，即，，，
于是，又a，，所以；
綜上.
故選：.
9．BD
【詳解】由題意可得，
所以，故A錯誤；
，
因為，
所以，所以，故B正確；
因為，所以，
所以
，故C錯誤：
即，
因為，所以，
故，所以，故D正確.
故選：BD
10．ABD
【詳解】由題意可知，
事件互斥，且，
所以，
即，故A正確；
則
，故B正確；
由條件概率公式可知：，故C錯誤；
，
即，故D正確.
故選：ABD
11．ACD
【詳解】由在拋物線C上，得，拋物線C的方程為，．
對于A，過點P作拋物線的準(zhǔn)線的垂線PD，垂足為D，
由拋物線的定義知，
即M，P，D三點共線時，取得最小值，為，故A正確．
對于B，因為為AB的中點，所以，，
求得直線l的方程為，則點N到直線l的距離，
則，故B錯誤；
對于C，易知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，代入，
得，設(shè)，，則，，，同理可得，
所以，
解得，所以直線l的斜率為，故C正確．
對于D，易知點在拋物線上且軸．設(shè)，．
易知直線EG，EH的斜率存在，，同理．
因為EF平分，軸，所以，即，
直線，所以，
直線GH的斜率為定值，故D正確．
故選：ACD
12．BCD
【詳解】對A，令，
令或都成立，有兩個零點，故A錯誤；
對B， 令
，（）.考慮
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
.
考慮
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，,所以當(dāng)時，有兩個零點.
此時，故B正確；
對C，設(shè)，.
設(shè)切點
所以.
①
②
,
,
設(shè)，
所以，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，因為，
所以
所以有兩解，所以當(dāng)時，曲線與曲線有且只有兩條公切線，所以該選項正確；
對D，若單調(diào)遞增，則.
.考慮不滿足.
若單調(diào)遞減，則.
所以考慮不滿足.
當(dāng)時，不滿足.
當(dāng)時，
，∴.故D正確.
故選：BCD
13．27
14．
15．
【詳解】依題意，直線都與橢圓相切，
因此直線所圍成矩形的外接圓即為橢圓的蒙日圓，
由點A、B為橢圓上任意兩個動點，動點P滿足為銳角，得點在圓外，
又動點P在直線上，因此直線與圓相離，
于是，解得，則，解得，
所以橢圓C的離心率的取值范圍為.
故答案為：
16．
【詳解】令，則，
又，所以得，
即，所以為上的偶函數(shù)，
又時，，所以在上單調(diào)遞增，
又為上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，
由，得，
所以，
即，所以得，解得：，
所以不等式的解集為．
故答案為：.
17．
【詳解】（1）由題設(shè)，則，
所以，而，故，又，
所以.
（2）由（1）及已知，有，可得，
又，即，
所以，故.
18．
【詳解】（1）因為，
令，則，，
令得，
則，
由得，由，
所以數(shù)列為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知：，
同理：數(shù)列是以3為首相，2為公比的等比數(shù)列，
即，
則，
，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
又，則當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
，
綜上知：正整數(shù)m的最小值為11．
19．
【詳解】（1）因為四邊形為平行四邊形，由為的中點，
，，則為等邊三角形，所以.
則，所以為等腰三角形，
可得，，
即，因為平面平面，平面平面，
平面，
則平面，且平面，所以.
（2）作，過作，
由面面得面
則兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
，，，，
設(shè)平面的一個法向量為
由知可取，
同理得平面的一個法向量.
設(shè)平面與平面的夾角為.
則.
面與面夾角的余弦值為.
20．
【詳解】（1）應(yīng)選擇第一條路線，
理由如下：設(shè)走第一、第二條路線遇到的紅燈次數(shù)分別為隨機(jī)變量、，
則，，
，，，
所以；
又，，，
所以；
因為，所以應(yīng)選擇第一條路線.
（2）設(shè)選擇第一條路線時遇到的紅燈次數(shù)為，
所以；，
設(shè)隨機(jī)變量，取值為，其概率分別為，且，
所以
，
又因為，所以.
21．
【詳解】（1）因為，所以，
因為雙曲線的漸近線與直線：垂直，
所以，②
又，③
解得，，
所以雙曲線的方程為.
（2）設(shè)，則，，
設(shè)，，
所以，，
因為，所以，所以，
同理可得，所以，
直線的方程為，
聯(lián)立雙曲線的方程可得，
所以，所以，所以，
因為，即，所以
同理，
，
所以是定值，定值為.

22．
【詳解】（1）由題意可得：，
設(shè)切點坐標(biāo)為，
則切線斜率為，即，
可得切線方程為，
將，代入可得，
整理得，
因為在內(nèi)單調(diào)遞增，
則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，
可知關(guān)于的方程的根為1，即，
所以.
（2）因為，
則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，
且，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，
且，
（i）若，即時，則在內(nèi)恒成立，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以在內(nèi)有且僅有1個零點；
（ⅱ）若，即時，則在內(nèi)恒成立，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以在內(nèi)有且僅有1個零點；
（ⅲ）若，即時，則在內(nèi)存在唯一零點，
可知當(dāng)時，；當(dāng)時，；
則在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
且，可知，可知在內(nèi)有且僅有1個零點，
且，
①當(dāng)，即時，則在內(nèi)有且僅有1個零點；
②當(dāng)，即時，則在內(nèi)沒有零點；
綜上所述：若時，在內(nèi)有且僅有1個零點；
若時，在內(nèi)有且僅有2個零點.

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