命題人：劉魁（永州四中）劉廣奇（祁陽一中）石宇（江華一中）鄧謹(jǐn)（道縣一中）
審題人：胡元緊（永州市教科院）
注意事項：
1．本試卷共150分，考試時量120分鐘．
2．全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效．
3．考試結(jié)束后，只交答題卡．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．正項等比數(shù)列，，則
A．8B．4C．2D．1
2．直線l的方程為，則l的傾斜角是
A．30°B．45°C．60°D．90°
3．橢圓的焦點在x軸上，長軸長等于4，離心率，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
A．B．C．D．
4．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點，點C是點關(guān)于z軸的對稱點，則
A．B．C．D．
5．拋物線C：（）上的點與焦點F的距離是2，則
A．1B．C．D．2
6．如圖，正三棱柱中，點E為正方形的中心，點F為棱的中點，則異面直線BF與CE所成角的正切值為
（第6題圖）
A．B．C．D．2
7．雙曲線C：（，）的左焦點為，點，直線與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，且，則C的漸近線方程為
A．B．C．D．
8．各項均不為零的數(shù)列的前n項和為，，，，且，則的最小值等于
A．B．C．D．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．
9．已知平面與平面平行，若平面的一個法向量為，則平面的法向量可以是
A．B．C．D．
10．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀诺男螤?，把數(shù)分成許多類，如圖1，圖形中黑色小點個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，如圖2，圖形中黑色小點個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)為數(shù)列，正方形數(shù)為數(shù)列，則
（圖1）（圖2）
A．B．C．D．
11．在長方體中，，，點E是正方形內(nèi)部或邊界上異于C的一點，則下列說法正確的是
A．若平面，則
B．不存在點E，使得
C．若，則存在的值為
D．若直線與平面所成角的正切值為2，則點E的軌跡長度為
12．已知雙曲線E：（，），過其右焦點的直線l與它的右支交于P、Q兩點，與y軸相交于點A，的內(nèi)切圓與邊相切于點B﹐設(shè)，則下列說法正確的是
A．的最小值為定值
B．若，則
C．若，過點且斜率為k的直線l與E有2個交點，則
D．若，則的內(nèi)切圓與的內(nèi)切圓的面積之和的最小值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知，，則 ．
14．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，則 ．
15．已知點，，若在直線l：上至少存在3個不同的點P，使得△PAB為直角三角形，則實數(shù)a的取值范圍為 ．
16．表示以點為中心的橢圓，如圖所示，為橢圓C：的左焦點，Q為直線上的一點，P為橢圓C上的一點，以FP為邊作正方形FPAB（F，P，A，B按逆時針排列），當(dāng)P在橢圓上運動時，的最小值為 ．
（第16題圖）
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本題滿分10分）
△ABC的頂點是，，．
（1）求邊AB上的高所在直線的方程；
（2）求過點A，B，C的圓方程．
18．（本題滿分12分）
如圖，在多面體ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD⊥DC，AF∥DE，AB∥DC，，，，H為CE的中點．
（第18題圖）
（1）求證：BH∥平行ADEF；
（2）求點B到平面CEF的距離．
19．（本題滿分12分）
已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，是與的等比中項，
（1）求的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前n項和．
20．（本題滿分12分）
如圖，矩形是圓柱的一個軸截面，、O分別為上下底面的圓心，E為的中點，，．
（第20題圖）
（1）當(dāng)點A為弧BC的中點時，求證：AO⊥平面；
（2）若點A為弧BC的靠近C點的三等分點，求直線AE與平面所成角的正弦值．
21．（本題滿分12分）
已知正項數(shù)列前n項和為，滿足，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項和為．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求滿足不等式的正整數(shù)n的最大值．
22．（本題滿分12分）
已知點A，B關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱，，圓M過點A，B且與直線相切，記圓心M的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）過曲線上的動點P作圓G：的切線，，交曲線于C，D兩點，對任意的動點P，都有直線CD與圓G相切，求t的值．
永州市2023年下期高二期末質(zhì)量監(jiān)測試卷
數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、單項選擇題
二、多項選擇題
三、填空題
13．14．315．16．
小題部分解析：
8．由題知：
①
②
②－①得
∵
∴
∵
∴
①中當(dāng)時，，
∵
∴，
16．將橢圓C逆時針旋轉(zhuǎn)得到：為動點B的軌跡方程
設(shè)與已知直線的平行直線為：
得
相切時滿足：，
兩條平行直線最短距離為所求
四、解答題
17．（本題滿分10分）
解：
（1）由題可知，，
設(shè)邊AB上的高所在直線的斜率k
所以邊AB上的高所在直線的為：
即為，
（2）設(shè)圓的方程為
將點，，代入圓方程
解得
圓方程為：
18．（本題滿分12分）
解：
（1）作DE的中點，記為點G，連接AG，HG
∵HG∥DC，且
又∵AB∥DC，且
∴AB∥HG，且，則四邊形ABHG為平行四邊形
即BH∥AG
又∵平面ADEF，平面ADEF
∴BH∥平面ADEF
（2）以D為原點，DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，
，
設(shè)平面CEF的法向量為，由，得：
，令，得，，即
又∵
∴設(shè)點B到平面CEF的距離為d
則
19．（本題滿分12分）
解：
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題知
得
化簡得
又因為，得
所以
（2）由題
則
所以
20．（本題滿分12分）
解：
（1）∵A是圓弧BC上的中點
∴AO⊥BC
又∵平面是圓柱的軸截面
∴
又∵，且平面，平面
∴AO⊥平面
（2）連接，以O(shè)為原點，OA、OB、分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
，
設(shè)平面的法向量為，由OA⊥n，得：
，令，得，，即
又∵
∴設(shè)直線AE與平面所成的角為
則
21．（本題滿分12分）
解：
（1）由題，得，即
又，得
當(dāng)，得且
得即
得或
所以是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列
所以
（2）由題
又
由得即
即記
得
所以，單調(diào)遞減，又，
所以的正整數(shù)n的最大值為6．
22．（本題滿分12分）
解：
（1）設(shè)圓M半徑為r，圓心
∵圓M過A，B兩點，連接圓心
∴
∵圓M與直線相切
∴，
∴
即曲線的方程
（2）當(dāng)時，設(shè)，
切線：，切線：
由對稱性可知CD：
由：，解得
下面證明在任意情況下結(jié)論成立。
設(shè)，，
由對稱性將切線，統(tǒng)一為
則G到直線的距離為1
由得，
，
另一方面，聯(lián)立，得
a，是方程的兩個根
，
同理a，是方程的兩個根
，
直線CD方程：
化簡為
，
將上式代入直線CD方程中，得到
圓心到直線距離為：
綜上，時，對任意的動點P，都有直線CD與圓G相切
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
C
D
D
B
D
題號
9
10
11
12
答案
AC
ACD
AD
BCD

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