TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc1705" 【考點(diǎn)1 全等三角形的概念及其性質(zhì)】 PAGEREF _Tc1705 \h 1
\l "_Tc25618" 【考點(diǎn)2 一次證明全等三角形】 PAGEREF _Tc25618 \h 3
\l "_Tc29671" 【考點(diǎn)3 多次證明全等三角形】 PAGEREF _Tc29671 \h 4
\l "_Tc4457" 【考點(diǎn)4 網(wǎng)格中的全等三角形】 PAGEREF _Tc4457 \h 6
\l "_Tc16976" 【考點(diǎn)5 尺規(guī)作圖與全等三角形】 PAGEREF _Tc16976 \h 7
\l "_Tc520" 【考點(diǎn)6 利用倍長中線模型證明全等三角形】 PAGEREF _Tc520 \h 9
\l "_Tc16268" 【考點(diǎn)7 利用垂線模型證明全等三角形】 PAGEREF _Tc16268 \h 11
\l "_Tc29997" 【考點(diǎn)8 利用旋轉(zhuǎn)模型證明全等三角形】 PAGEREF _Tc29997 \h 12
\l "_Tc7470" 【考點(diǎn)9 連接兩點(diǎn)作輔助線證明全等三角形】 PAGEREF _Tc7470 \h 14
\l "_Tc20524" 【考點(diǎn)10 全等三角形的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc20524 \h 15
【要點(diǎn)1 全等圖形的概念】
能完全重合的圖形叫做全等圖形.
【要點(diǎn)2 全等圖形的性質(zhì)】
兩個(gè)圖形全等，它們的形狀相同，大小相同.
【要點(diǎn)3 全等三角形的性質(zhì)】
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.（另外全等三角形的周長、面積相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線、角平分線、
高線均相等）
【考點(diǎn)1 全等三角形的概念及其性質(zhì)】
【例1】（2022·廣東揭陽·?？既＃┤鐖D是小明用七巧板拼成的一個(gè)機(jī)器人，其中全等三角形有（ ）
A．1 對(duì)B．2 對(duì)C．3 對(duì)D．4 對(duì)
【變式1-1】（2022·廣西·校聯(lián)考一模）下列說法正確的是（ ）
A．兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等形B．兩個(gè)等邊三角形是全等形
C．若兩個(gè)圖形的周長相等，則它們一定是全等形D．兩個(gè)全等圖形的面積一定相等
【變式1-2】（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，小強(qiáng)利用全等三角形的知識(shí)測量池塘兩端M、N的距離，如果△PQO≌△NMO，則只需測出其長度的線段是（ ）
A．POB．PQC．MOD．MQ
【變式1-3】（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考模擬）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C=______．
【要點(diǎn)4 全等圖形的判定】
【考點(diǎn)2 一次證明全等三角形】
【例2】（2022·浙江杭州·?？寄M預(yù)測）如圖，正五邊形ABCDE中，AF⊥CD，則∠BAF的度數(shù)是（ ）
A．50°B．54°C．60°D．72°
【變式2-1】（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于點(diǎn)E，且CE＝AB．求證：△CED≌△ABC．
【變式2-2】（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為B，D．
(1)求證：△ABC≌△ADC；
(2)若AB=4，CD=3，求四邊形ABCD的面積．
【變式2-3】（2022·江蘇連云港·校聯(lián)考中考模擬）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AB上，點(diǎn)M在BA的延長線上，且CE=BF=AM，過點(diǎn)M，E分別作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，連接NF．
（1）求證：DE⊥DM；
（2）猜想并寫出四邊形CENF是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．
【考點(diǎn)3 多次證明全等三角形】
【例3】（2022·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐
問題情境：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖1，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB，以AE為一邊在AE的下方作正方形AEFG，連接ED，試判斷線段AH與DE的位置關(guān)系及線段 EH與DH的數(shù)量關(guān)系．
（1）圖1中線段AH與DE的位置關(guān)系是 ，線段 EH與 DH的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）勤奮小組受到老師的啟發(fā)，在老師提出問題的基礎(chǔ)上將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，點(diǎn)D仍在正方形AEFG內(nèi)部，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）①創(chuàng)新小組在勤奮小組研究的基礎(chǔ)上延長線段ED交FG于點(diǎn)M，如圖3所示，發(fā)現(xiàn)DH=FM，請(qǐng)證明；
②若圖3中線段GM是線段 FM的2倍，請(qǐng)直接寫出線段ED與AH的長度的比值．
【變式3-1】（2022·廣西百色·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于點(diǎn)O，OA＝OD．
(1)AB＝DC；
(2)△ABC≌△DCB．
【變式3-2】（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，線段EF交CD于點(diǎn)M．過點(diǎn)F作FG⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)G．
(1)求證：BE=FG；
(2)如果AB?DM=EC?AE，連接AM、DE，求證：AM垂直平分DE．
【變式3-3】（2022·河北·一模）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的結(jié)論有（ ）
A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④
【考點(diǎn)4 網(wǎng)格中的全等三角形】
【例4】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，求α+β=______度．
【變式4-1】（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱為格點(diǎn)圖形，圖中△ABC為格點(diǎn)三角形．請(qǐng)按要求作圖，不需證明．
(1)在圖1中，作出與△ABC全等的所有格點(diǎn)三角形，要求所作格點(diǎn)三角形與△ABC有一條公共邊，且不與△ABC重疊；
(2)在圖2中，作出以BC為對(duì)角線的所有格點(diǎn)菱形．
【變式4-2】（2022·浙江金華·校聯(lián)考二模）如圖，△ABC是正方形網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在格點(diǎn)上），請(qǐng)用無刻度直尺按要求分別作圖：
(1)在圖1中，過點(diǎn)C作與AB平行的線段CE（點(diǎn)E在格點(diǎn)上）；
(2)在圖2中，以BC為邊作一個(gè)△BCE（點(diǎn)E在格點(diǎn)上），使它與△ABC全等；
(3)在圖3中，在AB，BC邊上分別取點(diǎn)G，H，將△ABC沿著GH折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，畫出線段AH．
【變式4-3】（2022·江蘇蘇州·校聯(lián)考中考模擬）如圖，在方格紙中，△PQR的三個(gè)頂點(diǎn)及A,B,C,D,E五個(gè)點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，現(xiàn)以A,B,C,D,E中的三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，
（1）在圖甲中畫出一個(gè)三角形與△PQR全等；
（2）在圖乙中畫出一個(gè)三角形與△PQR面積相等 但不全等.
【考點(diǎn)5 尺規(guī)作圖與全等三角形】
【例5】（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)矩形的過程中，小明遇到了一個(gè)問題：在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點(diǎn)，試說明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關(guān)系．他的思路是：首先過點(diǎn)E作BC的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問題得到解決．請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：
證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)E作BC的垂線EF，垂足為F（只保留作圖?跡）．
在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB=90°．
又∠A=90°，
∴__________________①
∵AD∥BC，
∴__________________②
又__________________③
∴△BAE≌△EFBAAS．
同理可得__________________④
∴S△BCE=S△EFB+S△EFC=12S矩形ABFE+12S矩形EFCD=12S矩形ABCD．
【變式5-1】（2022·河南焦作·統(tǒng)考二模）已知銳角∠AOB，如圖，（1）在射線OA上取點(diǎn)C，E，分別以點(diǎn)O為圓心，OC，OE長為半徑作弧，交射線OB于點(diǎn)D，F(xiàn)；（2）連接CF，DE交于點(diǎn)P．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．CE=DFB．PE=PF
C．若∠AOB=60°，則∠CPD=120°D．點(diǎn)P在∠AOB的平分線上
【變式5-2】（2022·福建三明·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)．
(1)在CD邊上求作一點(diǎn)F，使得∠CFB＝2∠ABE；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在（1）的條件下，若AB＝BC＝4，求BF的長．
【變式5-3】（2022·福建·統(tǒng)考一模）求證：全等三角形對(duì)應(yīng)中線相等.
要求：①根據(jù)給出的△ABC及線段A′B′，已知A′B′=AB，以線段A′B′為一邊，在給出的圖形上用尺規(guī)作出△A′B′C′?△ABC，不寫作法，保留作圖痕跡；
②若點(diǎn)D、D′分別是兩個(gè)三角形的邊AC、A′C′上的中點(diǎn)連接BD、B′D′，據(jù)此寫出已知、求證和證明過程.
【考點(diǎn)6 利用倍長中線模型證明全等三角形】
【例6】（2022·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=4，∠BAC=135°，D為邊BC的中點(diǎn)，若AD=1.5，則AC的長度為______．
【變式6-1】（2022·全國·一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CE．
(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的長；
(2)求證：BC2﹣AC2＝2DE?AB；
(3)求證：CE＝12AB．
【變式6-2】（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）（1）方法呈現(xiàn)：
如圖①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE=AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；
（2）探究應(yīng)用：
如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB//CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【變式6-3】（2022·山東日照·?？家荒＃┪覀兌x：如圖1，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°0）的圖象恰好經(jīng)過正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，則k的值是_______．
【變式7-2】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，BC交l2于D點(diǎn)．
（1）求AB的長．
（2）求sin∠BAD的值．
【變式7-3】（2022·浙江杭州·校聯(lián)考一模）老師在上課時(shí)，在黑板上寫了一道題：
“如圖，ABCD是正方形，點(diǎn)E在BC上，DF⊥AE于F，請(qǐng)問圖中是否存在一組全等三角形？”
小杰同學(xué)經(jīng)過思考發(fā)現(xiàn)：△ADF≌△EAB．
理由如下：因?yàn)锳BCD是正方形（已知）
所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC
又因?yàn)镈F⊥AE（已知）
即∠DFA＝90°（垂直的意義）
所以∠DFA＝∠B（等量代換）
又AD∥BC
所以∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
在△ADF和△EAB中
∠DFA=∠B∠1=∠2AD=AB
所以△ADF≌△EAB（AAS）
小胖卻說這題是錯(cuò)誤的，這兩個(gè)三角形根本不全等．
你知道小杰的錯(cuò)誤原因是什么嗎？我們?cè)偬砑右粭l線段，就能找到與△ADF全等的三角形，請(qǐng)能說出此線段的做法嗎？并說明理由．
【考點(diǎn)8 利用旋轉(zhuǎn)模型證明全等三角形】
【例8】（2022·山東日照·?？级＃┤鐖D，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5．將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．點(diǎn)O與O′的距離為4B．∠AOB=150°
C．S四邊形AOBO′=6+43D．S△AOB+S△AOC=3+43
【變式8-1】（2022·福建南平·一模）如圖，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接BE．
（1）點(diǎn)C到AB的最短距離是 _____；
（2）BE的最小值是 _____．
【變式8-2】（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）如圖，在直角坐標(biāo)系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB與CD交于點(diǎn)P，若∠APC=45°，則A點(diǎn)坐標(biāo)為______ .
【變式8-3】（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°

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