1. 的相反數(shù)是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的數(shù)是相反數(shù)，即可進(jìn)行解答．
解：的相反數(shù)是2，
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了求相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的數(shù)是相反數(shù)．
2. 如圖所示的幾何體是由5個(gè)大小相同的立方塊搭成的，它的左視圖是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形判定則可．
解：從左邊看，該幾何體有2層，從上到下，第一層有1個(gè)正方形，第2層有3個(gè)正方形，
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查簡單組合體的三視圖，找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在左視圖中．
3. 在下列計(jì)算中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則、分母有理化及特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可．
解：A.，正確，本選項(xiàng)符合題意；
B.，原計(jì)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；
C.，原計(jì)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；
D.，原計(jì)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查的是分母有理化及有理數(shù)的混合運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
4. 某中學(xué)甲、乙兩支國旗護(hù)衛(wèi)隊(duì)的隊(duì)員身高（單位：）數(shù)據(jù)如下：
甲隊(duì)：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179；
乙隊(duì)：178，177，177，176，178，175，177，181，180，181．
若要判斷哪支護(hù)衛(wèi)隊(duì)隊(duì)員身高更為整齊，應(yīng)該比較兩組數(shù)據(jù)的（ ）
A. 平均數(shù)B. 眾數(shù)C. 中位數(shù)D. 方差
【答案】D
【解析】
根據(jù)方差的意義求解即可．
解：若要判斷哪支護(hù)衛(wèi)隊(duì)隊(duì)員身高更為整齊，應(yīng)該比較兩組數(shù)據(jù)方差．
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題主要考查統(tǒng)計(jì)量的選擇，解題的關(guān)鍵是掌握方差的意義：方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．
5. 某中學(xué)舉辦“傳承紅色精神，講好阜新故事”演講比賽，共設(shè)置“海州礦精神”“三溝精神”“治沙精神”三個(gè)主題，每位選手隨機(jī)選取一個(gè)主題參賽．如果小明和小宇都參加比賽，他們同時(shí)選中主題“海州礦精神”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
用1.2.3分別表示“海州礦精神”“三溝精神”“治沙精神”三個(gè)主題，畫樹數(shù)狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果，再找出他們同時(shí)選中主題“海州礦精神”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．
解：用1.2.3分別表示“海州礦精神”“三溝精神”“治沙精神”三個(gè)主題，
畫樹數(shù)狀圖為：

共有9種等可能的結(jié)果，其中他們同時(shí)選中主題“海州礦精神”的結(jié)果數(shù)為1，
所以他們同時(shí)選中主題“海州礦精神”的概率．
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．
6. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
先移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，然后再將未知數(shù)的系數(shù)化為1即可．
解：，
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，
未知數(shù)系數(shù)化為1得：，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了解一元一次不等式，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式的一般步驟，準(zhǔn)確計(jì)算．
7. 如圖，A，B，C是上三點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
先利用圓周角定理求出，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
8. 近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷商紛紛開展降價(jià)促銷活動(dòng)．某款燃油汽車今年3月份售價(jià)為23萬元，5月份售價(jià)為16萬元．設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月均下降率是x，則所列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月均下降率是x，根據(jù)“今年3月份售價(jià)為23萬元，5月份售價(jià)為16萬元”即可列出方程．
解：設(shè)該款汽車這兩月售價(jià)的月均下降率是x，由題意可得
，
故選：B
【點(diǎn)撥】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，對(duì)稱軸是直線，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D. 點(diǎn)在函數(shù)圖象上
【答案】B
【解析】
利用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可得出，A.B.c的正負(fù)，進(jìn)而得出的正負(fù)；利用對(duì)稱軸為直線，可得出與0的關(guān)系；由拋物線與x軸的交點(diǎn)情況，可得出與的大小關(guān)系；由拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，再結(jié)合對(duì)稱軸為直線，可得出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)．
解：A.由二次函數(shù)的圖形可知：，所以．故本選項(xiàng)不符合題意；
B.因?yàn)槎魏瘮?shù)對(duì)稱軸是直線，則，即．故本選項(xiàng)符合題意；
C.因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即．故本選項(xiàng)不符合題意；
D.因?yàn)閽佄锞€與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，且對(duì)稱軸為直線，所以它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為．故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，正確求得a，b，c的正負(fù)以及巧妙利用拋物線的對(duì)稱軸是解決問題的關(guān)鍵．
10. 如圖，四邊形是正方形，曲線叫作“正方形的漸開線”，其中，，，，…的圓心依次按O，A，B，循環(huán)．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由題得點(diǎn)的位置每4個(gè)一循環(huán)，經(jīng)計(jì)算得出在第三象限，與，，，…符合同一規(guī)律，探究出，，，...的規(guī)律即可．
解：由圖得，，…
點(diǎn)C的位置每4個(gè)一循環(huán)，
，
∴在第三象限，與，，，…
符合規(guī)律，
∴坐標(biāo)為．
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律的探究，理解題意求出坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
二、填空題（本題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11. 計(jì)算：______．
【答案】3
【解析】
根據(jù)立方根和零指數(shù)冪計(jì)算即可．
解：，
故答案為：3
【點(diǎn)撥】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握立方根和零指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．
12. 將一個(gè)三角尺按如圖所示的位置擺放，直線，若，則的度數(shù)是______．

【答案】##50度
【解析】
根據(jù)三角形的外角定理求出的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可解答．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的外角定理，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角之和；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
13. 如圖，與是位似圖形，位似比為，則與的面積比為 ________

【答案】
【解析】
由與是關(guān)于點(diǎn)的位似圖形，且位似比為，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得與的面積比．
解：∵與是關(guān)于點(diǎn)的位似圖形，與的位似比為，
∴與的相似比為，
∴與的面積比為．
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查位似圖形，如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行或在一條直線上，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比．位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對(duì)應(yīng)的面積比等于相似比的平方．掌握位似圖形的的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．也考查了相似三角形的性質(zhì)．
14. 正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，垂足為點(diǎn)C，連接，則的面積是______．
【答案】5
【解析】
根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義直接求解即可得到答案；
解：∵正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，垂足為點(diǎn)C，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義：反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線和到坐標(biāo)軸垂線圍成的三角形面積是．
15. 如圖，在矩形中，．連接，在和上分別截取，使．分別以點(diǎn)E和點(diǎn)F為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G．作射線交于點(diǎn)H，則線段的長是______．

【答案】##
【解析】
過H作于Q，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理列方程求解．
解：設(shè)，

過H作于Q，
矩形中，，
∴，
由作圖得：平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，有，
即：，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了基本作圖，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
16. 德力格爾草原位于彰武縣境內(nèi)，以草場(chǎng)資源豐富，景色優(yōu)美著稱．今年5月在此舉辦的“漠上草原歡樂跑”首屆馬拉松比賽，吸引了千余名國內(nèi)外選手參加．甲、乙兩名選手同時(shí)參加了往返（單程）的業(yè)余組比賽，如果全程保持勻速，甲、乙之間的距離s（）與甲所用的時(shí)間（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，那么當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，乙距離終點(diǎn)______．

【答案】4
【解析】
先根據(jù)圖象得甲乙的速度差為4，再根據(jù)相遇時(shí)用了小時(shí)，列方程求解．
解：設(shè)甲的速度為x千米/小時(shí)，則乙的速度為千米/小時(shí)，
則：，
解得：，
∴，
∴，
故答案為：4．
【點(diǎn)撥】本題考查了從函數(shù)圖象中獲取信息，正確提取圖象中的信息是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共8個(gè)小題，17.18題每題6分，19.20題每題8分，21.22題每題10分，23.24題每題12分，共72分）
17. 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
先將分子分母因式分解，除法改寫為乘法，括號(hào)里面通分計(jì)算，再根據(jù)分式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序進(jìn)行化簡，最后將a的值代入計(jì)算即可．
解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)撥】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握因式分解的方法，以及分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
18. 某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們，對(duì)函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的性質(zhì)進(jìn)行了初步探究，部分過程如下，請(qǐng)你將其補(bǔ)充完整．
（1）當(dāng)，時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)化簡為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)化簡為______．
（2）當(dāng)，，時(shí)，即．
①該函數(shù)自變量x和函數(shù)值y的若干組對(duì)應(yīng)值如下表：
其中______．
②在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．
（3）當(dāng)時(shí)，即．
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)化簡為______．
②在圖2所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．
（4）請(qǐng)寫出函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的一條性質(zhì)：______．（若所列性質(zhì)多于一條，則僅以第一條為準(zhǔn)）
【答案】（1）
（2）4，圖像見詳解；
（3），圖像見詳解；
（4）答案見詳解；
【解析】
（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)直接求解即可得到答案；
（2）將代入解析式即可得到答案，根據(jù)表格描點(diǎn)用直線連接起來即可得到答案；
（3）根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)化簡即可得到答案，根據(jù)解析式找點(diǎn)，描點(diǎn)用直線連接即可得到答案；
（4）根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)化簡函數(shù)解析式，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)直接寫即可得到答案；
（1）
解：當(dāng)時(shí)，
，
故答案為：；
（2）
解：①當(dāng)時(shí)，
，
故答案為：4；
②根據(jù)表格描點(diǎn)再連接起來，如圖所示，
；
（3）
解：①當(dāng)時(shí)，
，
故答案為：；
②當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
描點(diǎn)如圖所示，
；
（4）
解：由解析式得，當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而增大，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而減小，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而增大，
故答案為：當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而增大，當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而增大（寫其中任意一條即可）．
【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡出解析式．
19. 如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D是上異側(cè)的兩點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)E，且平分．

（1）求證：是的切線．
（2）若，，求圖中陰影部分的面積．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
（1）連接，根據(jù)，得出．根據(jù)平分，得出，則．根據(jù)得出，進(jìn)而得出，即可求證；
（3）連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，通過證明為等邊三角形，得出，．求出．最后根據(jù)即可求解．
（1）
解：連接，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切線．
（2）
解：連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)F，
∵，
∴．
∵，，
∴為等邊三角形，
∴，．
∵，，，
∴．
∴．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了切線的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，求扇形面積，解題的關(guān)鍵是掌握經(jīng)過半徑外端切垂直于半徑的直線是圓的切線；扇形面積公式．
20. 端午節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，節(jié)日里吃粽子是傳統(tǒng)習(xí)俗．為了了解附近居民對(duì)A（肉粽子），B（蛋黃粽子）．C（紅棗粽子），D（葡萄干粽子）四種口味粽子的喜愛情況，某商場(chǎng)隨機(jī)抽取了某小區(qū)的部分居民進(jìn)行問卷調(diào)查（每人只能選一種口味），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）參加此次問卷調(diào)查的居民共有______人．
（2）通過計(jì)算將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．
（3）若該小區(qū)共有2000名居民，請(qǐng)估計(jì)喜愛A（肉粽子）的居民約有多少人．
【答案】（1）50 （2）見解析
（3）400
【解析】
（1）用喜愛紅棗粽子的人數(shù)除以其所占百分比，即可求解；
（2）用總?cè)藬?shù)分別減去A.C.D的人數(shù)，即可求出B的人數(shù)；
（3）先計(jì)算喜愛A（肉粽子）的人數(shù)所占百分比，再用小區(qū)總?cè)藬?shù)乘以喜愛A（肉粽子）的人數(shù)所占百分比即可求解．
（1）
解：（人），
故答案為：50；
（2）
解：喜愛蛋黃粽子人數(shù)：（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

（3）
解：（人），
答：喜愛A（肉粽子）的居民約有400人．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖信息關(guān)聯(lián)，用樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是正確識(shí)圖，從圖中獲取需要數(shù)據(jù)，掌握用樣本估計(jì)總體的方法和步驟．
21. 如圖，小穎家所在居民樓高為，從樓頂A處測(cè)得另一座大廈頂部C的仰角是，而大廈底部D的俯角是．

（1）求兩樓之間的距離．
（2）求大廈的高度．
（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】（1）兩樓之間的距離約為
（2）大廈的高度為
【解析】
（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，易得，根據(jù)，即可求解：
（2）易證四邊形為矩形，則，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，最后根據(jù)，即可求解．
（1）
解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，
根據(jù)題意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：，
答：兩樓之間的距離約為．

（2）
解：根據(jù)題意可得：，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：大廈的高度為．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，掌握解直角三角形的方法和步驟．
22. 為了進(jìn)一步豐富校園文體活動(dòng)，某中學(xué)準(zhǔn)備一次性購買若干個(gè)足球和排球，用480元購買足球的數(shù)量和用390元購買排球的數(shù)量相同，已知足球的單價(jià)比排球的單價(jià)多15元．
（1）求：足球和排球的單價(jià)各是多少元？
（2）根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況，需一次性購買足球和排球共100個(gè)，但要求其總費(fèi)用不超過7550元，那么學(xué)校最多可以購買多少個(gè)足球？
【答案】（1）足球的單價(jià)是80元，排球的單價(jià)是65元；
（2）學(xué)校最多可以購買70個(gè)足球．
【解析】
（1）設(shè)足球的單價(jià)是x元，則排球的單價(jià)是元，根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用480元購買足球的數(shù)量和用390元購買排球的數(shù)量相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)學(xué)?？梢再徺Im個(gè)足球，則可以購買個(gè)足球，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合購買足球和排球的總費(fèi)用不超過7550元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．
（1）
解：設(shè)足球的單價(jià)是x元，則排球的單價(jià)是元，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
∴．
答：足球的單價(jià)是80元，排球的單價(jià)是65元；
（2）
解：設(shè)學(xué)?？梢再徺Im個(gè)足球，則可以購買個(gè)排球，
依題意得：，
解得：．
又∵m為正整數(shù)，
∴m可以取的最大值為70．
答：學(xué)校最多可以購買70個(gè)足球．
【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
23. 如圖，在正方形中，線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到處，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)F在直線上，且，連接．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，
①求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?br>②求證：．
（2）如圖2，取線段的中點(diǎn)G，連接，已知，請(qǐng)直接寫出在線段旋轉(zhuǎn)過程中（）面積的最大值．
【答案】（1）①；②見解析；
（2）面積的最大值為．
【解析】
（1）①利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得到，據(jù)此求解即可；②連接，計(jì)算得到，利用證明，推出是等腰直角三角形，據(jù)此即可證明；
（2）過點(diǎn)G作的垂直，交直線于點(diǎn)H，連接相交于點(diǎn)O，連接，利用直角三角形的性質(zhì)推出點(diǎn)G在以點(diǎn)O為圓心，為半徑的一段弧上，得到當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，有最大值，則面積的最大值，據(jù)此求解即可．
（1）
解：①∵四邊形是正方形，
∴，，
由題意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②連接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）
解：過點(diǎn)G作的垂直，交直線于點(diǎn)H，連接相交于點(diǎn)O，連接，

由（1）得是等腰直角三角形，又點(diǎn)G為斜邊的中點(diǎn)，
∴，即，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴點(diǎn)G在以點(diǎn)O為圓心，為半徑的一段弧上，
當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，有最大值，則面積的最大值，
∴，
∴面積的最大值為．
【點(diǎn)撥】本題考查的是正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）如圖1，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．
（3）如圖2，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與平行，則在直線上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解析】
（1）根據(jù)拋物線的交點(diǎn)式直接得出結(jié)果；
（2）作于，作于，交于，先求出拋物線的對(duì)稱軸，進(jìn)而求得，坐標(biāo)及的長，從而得出過的直線與拋物線相切時(shí)，的面積最大，根據(jù)的△求得的值，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得上的高的值，進(jìn)一步得出結(jié)果；
（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，交于，設(shè)，根據(jù)求得的值，可推出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，同樣方法得出結(jié)果．
(1)
解：由題意得，
；
(2)
解：如圖1，
作于，作于，交于，
，，
，
，
拋物線的對(duì)稱軸是直線：，
，
，
，
，
故只需的邊上的高最大時(shí)，的面積最大，
設(shè)過點(diǎn)與平行的直線的解析式為：，
當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，的面積最大，
由得，
，
由△得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
(3)
解：如圖2，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，交于，
點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
，
設(shè)，
由得，，
，（舍去），
，
∵，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
∴；
如圖3，
當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，由上可知：，
同理可得：，
綜上所述：或．
【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是分類討論．…
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