時(shí)量：120分鐘滿分150
一、單選題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，每個(gè)小題只有一個(gè)正確答案）
1.（ ）
A.B.C.D.
2.以下五個(gè)式子中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（ ）
①；②；③；④；⑤.
A.5B.2C.3D.4
3.設(shè)，定義符號(hào)函數(shù)則函數(shù)的圖象大致是（ ）
A.B.C.D.
4.一塊電路板的線段之間有60個(gè)串聯(lián)的焊接點(diǎn)，知道電路不通的原因是焊口脫落造成的，要想用二分法的思想檢測(cè)出哪處焊口脫落，至少需要檢測(cè)（ ）
A.4次B.6次C.8次D.30次
5.下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A.
B.若是第二象限角，則是第一象限角
C.“”的充分不必要條件是“”
D.命題：，的否定是：，
6.若函數(shù)是奇函數(shù)，且函數(shù)在上有最大值8，則函數(shù)在上有（ ）
A.最大值B.最小值C.最小值D.最小值
7.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則等于（ ）
A.B.0C.D.
8.已知定義在上的非常數(shù)函數(shù)滿足：對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)，都有，則的周期為（ ）
A.B.C.D.
二、多選題（本題共4個(gè)小題，每小題5分。共20分，每小題有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分。選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得2分）
9.以下關(guān)于數(shù)的大小的結(jié)論中正確的是（ ）
A.B.C.D.
10.空曠的田野上兩根電線桿之間的電線有相似的曲線形態(tài).這些曲線在數(shù)學(xué)上稱為懸鏈線.懸鏈線在工程上有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為（其中，為非零常數(shù)），則對(duì)于函數(shù)以下結(jié)論正確的是（ ）
A.若，則為偶函數(shù)
B.若，則為單調(diào)函數(shù)
C.若，，則函數(shù)的零點(diǎn)為0和
D.若，則函數(shù)的最小值為2
11.函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A.若的最小正周期為，則
B.若，且，則
C.當(dāng)，時(shí)，在單調(diào)且在不單調(diào)，則
D.當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的有成立，則的最小值為
12.設(shè)函數(shù)，則（ ）
A.是的一個(gè)周期B.是偶函數(shù)
C.函數(shù)存在無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)D.存在，使得
三、填空題（本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分）
13.計(jì)算：______.
14.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______.
15.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則______.
16.給定函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在使得，則稱為“函數(shù)”，為該函數(shù)的一個(gè)“點(diǎn)”.設(shè)函數(shù)，若是的一個(gè)“點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的值為______；若為“函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟。）
17.（本小題10分）
已知函數(shù)，
（1）求的定義域；
（2）判斷的奇偶性并證明.
18.（本小題12分）
當(dāng)解關(guān)于的不等式
19.（本小題12分）
已知，.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
20.（本小題12分）
已知函數(shù)的最小值為1，最小正周期為，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
（1）求的解析式；
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)，求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.
21.（本小題12分）
勒洛三角形是由19世紀(jì)工程師勒洛在研究機(jī)械分類時(shí)發(fā)現(xiàn)的.如圖1，以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心、邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.受此啟發(fā)，某數(shù)學(xué)興趣小組繪制了勒洛五邊形.如圖2，分別以正五邊形的頂點(diǎn)為圓心、對(duì)角線長(zhǎng)為半徑，在距離該頂點(diǎn)較遠(yuǎn)的另外兩個(gè)頂點(diǎn)間畫一段圓弧，五段圓弧圍成的曲邊五邊形就是勒洛五邊形.設(shè)正五邊形的邊長(zhǎng)為1.
圖1圖2
（1）求勒洛五邊形的周長(zhǎng)；
（2）設(shè)正五邊形外接圓周長(zhǎng)為，試比較與大小，并說(shuō)明理由.（注：）
22.（本小題12分）
定義在區(qū)間上的函數(shù)（，且）為奇函數(shù).
（1）求實(shí)數(shù)的值，并且根據(jù)定義研究函數(shù)的單調(diào)性；
（2）不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
明德中學(xué)2023年下學(xué)期期末考試
高一年級(jí)數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、單選題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，每個(gè)小題只有一個(gè)正確答案）
1.A2.C3.C4.B5.D6.D
7.B解析由的圖象可知，，，
故，又且，則可得出，故.
又根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可知，，，
所以，
所以
8.C解：根據(jù)題意，，
則有，
變形可得，
則有，
聯(lián)立可得：，
又由，故，
則有，即，
即的周期為.故選C.
二、多選題（本題共4個(gè)小題，每小題5分。共20分，每小題有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分。選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得2分）
9.略
10.ABC【解答】解：若，，則，
所以，所以是偶函數(shù)，正確；
若，，，
若，則為單調(diào)遞增函數(shù)；若，則為單調(diào)遞減函數(shù)，B正確；
由得或，
所以函數(shù)的零點(diǎn)為0和，C正確；
若，設(shè)時(shí)，顯然，D錯(cuò)誤；
11.ABD【解答】解：A選項(xiàng)，，解得：，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，若，且，則的最小正周期為，
則，解得：，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趩握{(diào)，
則，則，
又，所以，則，
則在單調(diào)且在不單調(diào)，故C正確；
D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閷?duì)任意的有成立，
所以，，所以，，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值，故D錯(cuò)誤.
12.BC【解析】解：對(duì)于A，，
所以不是的一個(gè)周期，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，定義域?yàn)椋?br>又，
所以是偶函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)闀r(shí)，有，又，
所以有無(wú)數(shù)多個(gè)解，所以函數(shù)存在無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，有，所以，
所以有在上恒成立，
又，是偶函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，有恒成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.
三、填空題（本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分）
13.214.15.
16.3；
【解答】解：因?yàn)槭堑囊粋€(gè)“點(diǎn)”，且，
所以，解得，，
因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為，若為“函數(shù)”，
則在其定義域內(nèi)存在，使得有解，
即方程有解，所以有解，即有解，
因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以.
四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟。）
17.解：（1）由且，得或
的定義域?yàn)?br>（2）是奇函數(shù)
證明：的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
，所以為奇函數(shù).
18.解：當(dāng)時(shí)，代入不等式可得，解得；
當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)不等式可得，由解不等式可得，
當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)不等式可得，解不等式可得或，
綜上可知，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，
當(dāng)時(shí)，不等式解集為，
當(dāng)時(shí)，不等式解集為.
19.解：（1），，
，解得，
；
（2），且，，.
，
又，.
20.解：（1）依題意得，解得，，
又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱等價(jià)于當(dāng)時(shí)，取到最值，
則有，，即，，
又，得，所以.
（2），
由，，
得，，
所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，.
故在上的單調(diào)遞減區(qū)間和
21.解：（1）因?yàn)檎暹呅危裕?br>因?yàn)闉榈妊切?，所以?br>所以，又因?yàn)椋?br>所以的長(zhǎng)度，勒洛五邊形的周長(zhǎng)，
又因?yàn)椋?br>（2）設(shè)正五邊形的中心為，連接，，，設(shè)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，
則，所以，
所以
，
所以.
22.解：（1）由題意得：，即，解得，
此時(shí)，
又，則為奇函數(shù)，
實(shí)數(shù)的值為1；
取，，且，
，
，，，
當(dāng)時(shí)，，即，
，則，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即，，則，
在上單調(diào)遞減，
綜上，實(shí)數(shù)的值為1；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
（2）不等式，
可化為，
即，對(duì)恒成立，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，，
化簡(jiǎn)整理得，
則，對(duì)恒成立，
，則，，
的最大值為3；的最小值為1，則，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
即，對(duì)恒成立，
，則，，
的最大值為；的最小值為，則，
當(dāng)時(shí)，，
綜上，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為；

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