1．（3分）tan45°的值等于（ ）
A．12B．22C．32D．1
2．（3分）如圖所示的幾何體，其俯視圖是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于點E，若線段DE＝5，則線段BC的長為（ ）
A．7.5B．10C．15D．20
4．（3分）若一個反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A（3，﹣6），B（m+1，﹣3）兩點，則m的值為（ ）
A．6B．﹣6C．5D．﹣5
5．（3分）在一個不透明的盒子中裝有紅球、白球、黑球共40個，這些球除顏色外無其他差別，在看不見球的條件下，隨機(jī)從盒子中摸出一個球記錄顏色后放回．經(jīng)過多次試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在30%左右，則盒子中紅球的個數(shù)約為（ ）
A．12B．15C．18D．22
6．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點E（﹣4，2），F(xiàn)（﹣2，﹣2），以原點O為位似中心，相似比為12，把△EFO縮小，則點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1）D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
7．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC和CD上的兩點，若AB＝1，△AEF為等邊三角形，則CE＝（ ）
A．32B．33C．22D．3-1
8．（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L：y＝x2﹣4x+m關(guān)于y軸對稱的拋物線記為L'，且它們的頂點與原點的連線組成等邊三角形，已知L的頂點在第四象限，則m的值為（ ）
A．23B．4+23C．4D．4-23
9．（3分）如果兩點A（1，y1）和B（2，y2）都在反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上，有下列幾種選項：y2＜y1＜0，y1＜y2＜0，y1＞y2＞0，y2＞y1＞0，其中可能正確的選項有（ ）種．
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）如表中列出的是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中x與y的幾組對應(yīng)值：
下列各選項中，正確的是（ ）
A．這個函數(shù)的圖象開口向下
B．這個函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，且都在y軸同側(cè)
C．當(dāng)x＞1時，y的值隨x值的增大而增大
D．方程ax2+（b+2）x+c＝﹣4的解為x1＝0，x2＝1
二、填空題（共8小題，每小題3分，計24分）
11．（3分）拋物線y＝（x+2）2﹣5的頂點坐標(biāo)是 ．
12．（3分）已知ab=35，那么a-bb= ．
13．（3分）已知∠A是銳角，csA=35，則tanA的值為 ．
14．（3分）在一個不透明的口袋中有20個球，這些球除顏色外均相同，其中白球x個，綠球2x個，其余為黑球．?dāng)噭蚝?，甲從袋中任意摸出一個球，若為綠球則甲獲勝，甲摸出的球放回袋中攪勻，乙從袋中任意摸出一個球，若為黑球則乙獲勝，若游戲?qū)?、乙雙方都公平，則x的值應(yīng)為 ．
15．（3分）已知兩個相似三角形的周長比為2：3，它們的面積之差為40，那么它們的面積之和為 ．
16．（3分）如圖，菱形OABC的頂點C坐標(biāo)為（8，6），頂點A在x軸的正半軸上．反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過頂點B，則k的值為 ．
17．（3分）如圖，在?ABCD中，點E在BC上，AE與BD相交于點F，若BE：EC＝2：3，則BF：FD的值為 ．
18．（3分）如圖，菱形ABCD的周長為8厘米，∠D＝120°，點M為AB的中點，點N是邊AD上任一點，把∠A沿直線MN折疊，點A落在圖中的點E處，當(dāng)AN＝ 厘米時，△BCE是直角三角形．
三、解答題（共7小題，計66分．解答應(yīng)寫出過程）
19．（4分）計算：2sin45°+4cs230°﹣tan260°．
20．（8分）如圖，四邊形ABCD是正方形，點G為邊CD上一點，連接AG并延長，交BC的延長線于點F，連接BD交AF于點E，連接EC．
求證：
（1）∠DAE＝∠DCE；
（2）△EGC∽△ECF．
21．（8分）甲、乙兩人進(jìn)行摸牌游戲：現(xiàn)有三張形狀大小完全相同的牌，正面分別標(biāo)有數(shù)字1，3，6．將三張牌背面朝上，洗勻后放在桌子上，甲從中隨機(jī)抽取一張牌，記錄數(shù)字后放回洗勻，乙再從中隨機(jī)抽取一張，記錄數(shù)字．
（1）甲從中隨機(jī)抽取一張牌，抽取的數(shù)字為奇數(shù)的概率為 ；
（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法，求兩人抽取的數(shù)字相同的概率．
22．（10分）你當(dāng)個需要貸款的購房者，購買一套商品房，首付45萬元，剩余部分需貸款并按“等額本金”的形式償還，所謂等額本金，就是在客戶還款的時候，在還款期內(nèi)把貸款總額進(jìn)行等分，然后每月償還同等數(shù)額的本金和剩余貸款在該月所產(chǎn)生的利息．若每月償還貸款金額y萬元，x個月還清，且y是x的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）你購買的商品房的總價是 萬元；
（3）若你計劃每月償還貸款不超邊3000元，則至少需要多少個月還清？
23．（12分）如圖，操場上有一根旗桿AH，為測量它的高度，在B和D處各立一根高1.5米的標(biāo)桿BC、DE，兩桿相距30米，測得視線AC與地面的交點為F，視線AE與地面的交點為G，并且H、B、F、D、G都在同一直線上，測得BF為3米，DG為5米，求旗桿AH的高度？
24．（12分）已知點A為反比例函數(shù)y=5x(x＞0)圖象上任意一點，連接OA并延長至點B，使AB＝OA，過點B作BC∥x軸交函數(shù)圖象于點C，連接OC．
（1）如圖1，若點A的坐標(biāo)為（5，a），求點B的坐標(biāo)；
（2）如圖2，過點A作AD⊥BC，垂足為D，若設(shè)A點坐標(biāo)為(m，5m)，求四邊形OCDA的面積．
25．（12分）已知拋物線C：y＝2x2+bx+c（a≠0）與x軸交于O（0，0）、A（5，0）．
（1）求拋物線C的表達(dá)式；
（2）將拋物線C平移得到拋物線C'，其中A點平移后的對應(yīng)點記為A'，O點平移后的對應(yīng)的點記為O'，當(dāng)以A、O、A'、O'為頂點的四邊形為面積為20的菱形，且拋物線C'頂點在y軸的右側(cè)時，求平移后得到的拋物線C'的表達(dá)式．
2023-2024學(xué)年陜西省西安市長安區(qū)六校聯(lián)考九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共10小題，每小題3分，計30分．每小題只有一個選項是符合題意的）
1．（3分）tan45°的值等于（ ）
A．12B．22C．32D．1
【解答】解：tan45°＝1．
故選：D．
2．（3分）如圖所示的幾何體，其俯視圖是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：從上面看是一個矩形，矩形的中間處有兩條縱向的實線，實線的兩旁有兩條縱向的虛線．
故選：A．
3．（3分）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于點E，若線段DE＝5，則線段BC的長為（ ）
A．7.5B．10C．15D．20
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
∵BD＝2AD，
∴ADAB=13，
∵DE＝5，
∴5BC=13，
∴BC＝15．
故選：C．
4．（3分）若一個反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A（3，﹣6），B（m+1，﹣3）兩點，則m的值為（ ）
A．6B．﹣6C．5D．﹣5
【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=kx（k≠0），
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A（3，﹣6），B（m+1，﹣3）兩點，
∴k＝3×（﹣6）＝（m+1）×（﹣3），
解得m＝5，
故選：C．
5．（3分）在一個不透明的盒子中裝有紅球、白球、黑球共40個，這些球除顏色外無其他差別，在看不見球的條件下，隨機(jī)從盒子中摸出一個球記錄顏色后放回．經(jīng)過多次試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在30%左右，則盒子中紅球的個數(shù)約為（ ）
A．12B．15C．18D．22
【解答】解：根據(jù)題意，紅球的個數(shù)約為40×30%＝12（個），
故選：A．
6．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點E（﹣4，2），F(xiàn)（﹣2，﹣2），以原點O為位似中心，相似比為12，把△EFO縮小，則點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo)是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1）D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
【解答】解：∵點E（﹣4，2），以原點O為位似中心，相似比為12，把△EFO縮小，
∴點E的對應(yīng)點E′的坐標(biāo)是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故選：C．
7．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC和CD上的兩點，若AB＝1，△AEF為等邊三角形，則CE＝（ ）
A．32B．33C．22D．3-1
【解答】解：∵四邊形正方形ABCD，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
設(shè)BE＝x，那么DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
在Rt△EFC中，F(xiàn)E2＝CF2+CE2，
∴AB2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+1＝2（1﹣x）2，
∴x2﹣4x+1＝0，
∴x＝2±3，而x＜1，
∴x＝2-3，
即BE的長為＝2-3，
∴CE＝BC﹣BE＝1﹣（2-3）=3-1，
故選：D．
8．（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L：y＝x2﹣4x+m關(guān)于y軸對稱的拋物線記為L'，且它們的頂點與原點的連線組成等邊三角形，已知L的頂點在第四象限，則m的值為（ ）
A．23B．4+23C．4D．4-23
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4．
∴這條拋物線L的頂點為（2，m﹣4），
∴關(guān)于y軸對稱的拋物線L′的頂點（﹣2，m﹣4），
∵兩個頂點和原點的連線組成等邊三角形，
∴4+(m-4)2=4，
解得m1＝23+4，x2＝4﹣23，
∵L的頂點在第四象限，
∴m﹣4＜0，即m＜4，
∴m＝4﹣23．
故選：D．
9．（3分）如果兩點A（1，y1）和B（2，y2）都在反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上，有下列幾種選項：y2＜y1＜0，y1＜y2＜0，y1＞y2＞0，y2＞y1＞0，其中可能正確的選項有（ ）種．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵點A（1，y1）和B（2，y2）都在反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象上，
∴y1＝k，y2=k2，
當(dāng)k＞0時，
∴0＜k2＜k，
∴y1＞y2＞0，
當(dāng)k＜0時，
∴0＞k2＞k，
∴y1＜y2＜0，
∴B正確，
故選：B．
10．（3分）如表中列出的是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中x與y的幾組對應(yīng)值：
下列各選項中，正確的是（ ）
A．這個函數(shù)的圖象開口向下
B．這個函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，且都在y軸同側(cè)
C．當(dāng)x＞1時，y的值隨x值的增大而增大
D．方程ax2+（b+2）x+c＝﹣4的解為x1＝0，x2＝1
【解答】解：∵拋物線經(jīng)過點（0，﹣4），（3，﹣4），
∴拋物線的對稱軸為直線x=32，
而x＝1時，y＝﹣6＜﹣4，
∴拋物線的開口向上，與x軸有兩個交點，且在y軸兩側(cè)，所以A、B選項都不符合題意；
∵拋物線的對稱軸為直線x=32，
∴當(dāng)x＞32時，y的值隨x值的增大而增大，所以C選項不符合題意；
∵點（0，﹣4），（1，﹣6）在拋物線上，也在直線y＝﹣2x﹣4上，
即y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣2x﹣4的交點坐標(biāo)為（0，﹣4），（1，﹣6），
∴方程ax2+bx+c＝﹣2x﹣4的解為x1＝0，x2＝1，
即方程ax2+（b+2）x+c＝﹣4的解為x1＝0，x2＝1，所以D選項符合題意．
故選：D．
二、填空題（共8小題，每小題3分，計24分）
11．（3分）拋物線y＝（x+2）2﹣5的頂點坐標(biāo)是 （﹣2，﹣5） ．
【解答】解：∵y＝（x+2）2﹣5為拋物線的頂點式，∴根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣2，﹣5），
故答案為：（﹣2，﹣5）
12．（3分）已知ab=35，那么a-bb= -25 ．
【解答】解：∵ab=35，
∴設(shè)a＝3x，b＝5x，
∴a-bb=3x-5x5x=-25．
故答案為：-25．
13．（3分）已知∠A是銳角，csA=35，則tanA的值為 43 ．
【解答】解：如圖，∠C＝90°，
∵csA=ACAB=35，
∴令A(yù)C＝3x，AB＝5x，
∴BC=BA2-AC2=4x，
∴tanA=BCAC=4x3x=43．
故答案為：43．
14．（3分）在一個不透明的口袋中有20個球，這些球除顏色外均相同，其中白球x個，綠球2x個，其余為黑球．?dāng)噭蚝?，甲從袋中任意摸出一個球，若為綠球則甲獲勝，甲摸出的球放回袋中攪勻，乙從袋中任意摸出一個球，若為黑球則乙獲勝，若游戲?qū)?、乙雙方都公平，則x的值應(yīng)為 4 ．
【解答】解：∵游戲?qū)?、乙雙方都公平，
∴口袋中綠球和黑球的個數(shù)相等，
∴黑球的個數(shù)為2x個，
∴x+2x+2x＝20，
解得x＝4．
故答案為：4．
15．（3分）已知兩個相似三角形的周長比為2：3，它們的面積之差為40，那么它們的面積之和為 104 ．
【解答】解：∵兩個相似三角形的周長是2：3，
∴它們的相似比為2：3，
∴它們的面積的比為4：9，
設(shè)兩個三角形的面積分別為4k，9k，
由題意得，9k﹣4k＝40，
解得k＝8，
∴兩個三角形的面積分別為32，72，
∴它們的面積之和是32+72＝104．
故答案為：104．
16．（3分）如圖，菱形OABC的頂點C坐標(biāo)為（8，6），頂點A在x軸的正半軸上．反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過頂點B，則k的值為 108 ．
【解答】解：∵C（8，6），
∴OC=82+62=10，
∴CB＝OC＝10，
則點B的橫坐標(biāo)為8+10＝18，
故B的坐標(biāo)為：（18，6），
將點B的坐標(biāo)代入y=kx得，
6=k18，
解得：k＝108．
故答案為：108．
17．（3分）如圖，在?ABCD中，點E在BC上，AE與BD相交于點F，若BE：EC＝2：3，則BF：FD的值為 49 ．
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BE，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠EBF，
又∵∠AFD＝∠EFB，
∴△ADF∽△EBF，
∴BFFD=BEAD，
∵BEEC=23，
∴BEBC=25，
∴BFFD=25，
故答案為：25．
18．（3分）如圖，菱形ABCD的周長為8厘米，∠D＝120°，點M為AB的中點，點N是邊AD上任一點，把∠A沿直線MN折疊，點A落在圖中的點E處，當(dāng)AN＝ 12或1 厘米時，△BCE是直角三角形．
【解答】解：∵菱形ABCD周長為8厘米，
∴邊長為2厘米，
∵點M為AB的中點，
∴AM＝BM＝1厘米，
由翻折可知：
EM＝AM＝BM，
∴∠MBE＝∠MEB，
①當(dāng)∠EBC＝90°時，
∵∠D＝120°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠MBE＝∠MEB＝30°，
∴∠BME＝120°，
∴∠AMN＝∠EMN＝30°，
∴∠MNA＝90°，
∴AN=12AM=12厘米；
②當(dāng)∠BEC＝90°時，
點E落在菱形對角線AC上，
∵點M為AB的中點，MN為折痕，
此時BD⊥AC于點E，
∴點N為AD的中點，
∴AN=12AD＝1厘米．
所以當(dāng)AN＝1或12厘米時，△BCE是直角三角形．
故答案為：1或12．
三、解答題（共7小題，計66分．解答應(yīng)寫出過程）
19．（4分）計算：2sin45°+4cs230°﹣tan260°．
【解答】解：原式＝2×22+4×（32）2﹣（3）2
=2+3﹣3
=2．
20．（8分）如圖，四邊形ABCD是正方形，點G為邊CD上一點，連接AG并延長，交BC的延長線于點F，連接BD交AF于點E，連接EC．
求證：
（1）∠DAE＝∠DCE；
（2）△EGC∽△ECF．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠CDE＝45°，AD∥BC，
在△ADE和△CDE中，
AD=CD∠ADE=∠CDEDE=DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE，
（2）∵AD∥CF，
∴∠DAE＝∠F，
∴∠DCE＝∠F，
又∵∠CEG＝∠FEC，
∴△EGC∽△ECF．
21．（8分）甲、乙兩人進(jìn)行摸牌游戲：現(xiàn)有三張形狀大小完全相同的牌，正面分別標(biāo)有數(shù)字1，3，6．將三張牌背面朝上，洗勻后放在桌子上，甲從中隨機(jī)抽取一張牌，記錄數(shù)字后放回洗勻，乙再從中隨機(jī)抽取一張，記錄數(shù)字．
（1）甲從中隨機(jī)抽取一張牌，抽取的數(shù)字為奇數(shù)的概率為 23 ；
（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法，求兩人抽取的數(shù)字相同的概率．
【解答】解：（1）數(shù)字1，3，6中，是奇數(shù)的有1和3，
∴甲從中隨機(jī)抽取一張牌，抽取的數(shù)字為奇數(shù)的概率為23．
故答案為：23．
（2）列表如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中兩人抽取的數(shù)字相同的結(jié)果有3種，
∴兩人抽取的數(shù)字相同的概率為39=13．
22．（10分）你當(dāng)個需要貸款的購房者，購買一套商品房，首付45萬元，剩余部分需貸款并按“等額本金”的形式償還，所謂等額本金，就是在客戶還款的時候，在還款期內(nèi)把貸款總額進(jìn)行等分，然后每月償還同等數(shù)額的本金和剩余貸款在該月所產(chǎn)生的利息．若每月償還貸款金額y萬元，x個月還清，且y是x的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）你購買的商品房的總價是 105 萬元；
（3）若你計劃每月償還貸款不超邊3000元，則至少需要多少個月還清？
【解答】解：（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=kx，
∵點（120，0.5）在反比例函數(shù)圖象上，
∴k＝120×0.5＝60，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=60x；
（2）由（1）可知，還款總數(shù)為60萬元，
∴購買的商品房的總價是：45+60＝105（萬元）．
故答案為：105．
（3）當(dāng)y≤3000＝0.3萬元時，
即60x≤0.3，解得x≥200．
答：計劃每月償還貸款不超邊3000元，則至少需要200個月還清．
23．（12分）如圖，操場上有一根旗桿AH，為測量它的高度，在B和D處各立一根高1.5米的標(biāo)桿BC、DE，兩桿相距30米，測得視線AC與地面的交點為F，視線AE與地面的交點為G，并且H、B、F、D、G都在同一直線上，測得BF為3米，DG為5米，求旗桿AH的高度？
【解答】解：由題意知，設(shè)AH＝x米，BH＝y(tǒng)米，
△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，
∴BFHF=CBAH，DGHG=DEAH，
∴3x＝1.5×（y+3），5x＝1.5×（y+30+5）
解得x＝24．
答：旗桿AH的高度為24m．
24．（12分）已知點A為反比例函數(shù)y=5x(x＞0)圖象上任意一點，連接OA并延長至點B，使AB＝OA，過點B作BC∥x軸交函數(shù)圖象于點C，連接OC．
（1）如圖1，若點A的坐標(biāo)為（5，a），求點B的坐標(biāo)；
（2）如圖2，過點A作AD⊥BC，垂足為D，若設(shè)A點坐標(biāo)為(m，5m)，求四邊形OCDA的面積．
【解答】解：（1）因為A點的坐標(biāo)為（5，a），O點坐標(biāo)為（0，0），且AB＝OA，
所以2×5﹣0＝10，2×a﹣0＝2a，
故點B的坐標(biāo)為（10，2a）．
（2）因為A（m，5m），且AB＝OA，
所以點B的坐標(biāo)為（2m，10m）．
又因為BC∥x軸，
所以yC=yB=10m，
則xC=m2．
又因為AD⊥BC，
所以D（m，10m）．
則S△ABD=12(2m-m)(10m-5m)=52，
S△OBC=12(2m-m2)?10m=152，
所以S四邊形OCDA=152-52=5．
25．（12分）已知拋物線C：y＝2x2+bx+c（a≠0）與x軸交于O（0，0）、A（5，0）．
（1）求拋物線C的表達(dá)式；
（2）將拋物線C平移得到拋物線C'，其中A點平移后的對應(yīng)點記為A'，O點平移后的對應(yīng)的點記為O'，當(dāng)以A、O、A'、O'為頂點的四邊形為面積為20的菱形，且拋物線C'頂點在y軸的右側(cè)時，求平移后得到的拋物線C'的表達(dá)式．
【解答】解：（1）將點O（0，0）、A（5，0）代入y＝2x2+bx+c中，
∴c=050+5b+c=0，
解得c=0b=-10，
∴y＝2x2﹣10x；
（2）過點O'作O'D⊥x軸交于點D，
∵O（0，0）、A（5，0），
∴AO＝5，
由平移可知OA∥O'A'，OA＝O'A'＝5，
∵四邊形OAA'O'是菱形，且面積為20，
∴O'D＝4，
在Rt△ODO'中，OD＝3，
∴拋物線C向右平移3個單位長，向上或向下平移4個單位長，
∵y＝2x2﹣10x＝2（x-52）2-252，
∴平移后的拋物線解析式為y＝2（x-112）2-172或y＝2（x-112）2-332．
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
1
3
6
1
（1，1）
（1，3）
（1，6）
3
（3，1）
（3，3）
（3，6）
6
（6，1）
（6，3）
（6，6）

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