2022-2023學年陜西省西安市長安區(qū)九年級（上）期中數學試卷  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）方程有實數根的條件是(    )A.  B.  C.  D. 為任何實數如圖，點、分別在的邊、的延長線上，且，已知，，，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 用配方法解方程時，配方后正確的是(    )A.  B.  C.  D. 在一個不透明的盒子中裝有個除顏色外完全相同的球，這個球中只有個紅球，若每次將球充分攪勻后，任意摸出個球記下顏色再放回盒子．通過大量重復試驗后，發(fā)現摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則的值大約為(    )A.  B.  C.  D. 如圖，將正方形放在平面直角坐標系中，是原點，點的坐標為，則點的坐標為(    )A.
B.
C.
D. 如圖，在中，，，，為的中點，若動點以的速度從點出發(fā)沿向點運動，設點的運動時間為秒，連接，當以、、為頂點的三角形與相似時，的值為(    )
 A.  B.  C.  D. 或下列每個矩形都是由五個同樣的小正方形拼合組成，其中和的頂點都在小正方形的頂點上，則與一定相似的圖形是(    )A.  B.
C.  D. 若直角三角形的兩邊長分別是方程：的兩根，則該直角三角形的面積是(    )A.  B.  C. 或 D. 或如圖，在矩形中，點在上，點在上，把這個矩形沿折疊后，使點恰好落在邊上的點處，若矩形面積為且，，則折痕的長為(    )
 A.  B.  C.  D. 如圖，四邊形是平行四邊形，過點作于點，交于點，過點作于點，交于點，連接，若，點為的中點，，則的值為(    )
A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）已知關于的方程的一個根是，則______．袋中有個小球，除顏色外完全相同，其中個紅球，標號分別為、、，個綠球，標號分別為、，若從袋中任意摸出個小球，則這個小球的標號之和不小于的概率為______．制作一塊長方形廣告牌的成本是元，在每平方米制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴大為原來的倍，那么擴大后長方形廣告牌的成本是______元．如圖，在菱形中，，點為對角線上一點，為邊上一點，連接、、，若，，則的度數為______．如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，，分別是線段，上的點，將沿折疊后，點恰好落在軸上點處，若與相似，則的長為______．
  三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
解方程：
；
．本小題分
已知．
求的值；
若，求，，的值．本小題分
如圖，在四邊形中，，，點在上，．
求證：∽；
若，，，求的面積．
本小題分
已知三條長度分別為、、的線段，若再添一條線段，使這四條線段成比例．求所添線段的長度．本小題分
如圖，在和中，，，、交于點．
求證：≌；
作，，交于點，四邊形是什么四邊形？請證明你的結論．
本小題分
某水果批發(fā)商場經銷一種高檔水果，進價元每千克，如果每千克元銷售，每天可售出千克，經市場調查發(fā)現，在進貨價不變的情況下，若每千克每漲價元，日銷售量相應減少千克．
若以每千克元的單價出售，求每天的利潤為多少元；
現該商場要保證每天盈利元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？本小題分
端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，某食品廠為了解市民對去年銷量較好的豆沙粽子、椰蓉粽子、花生粽子，紅棗粽子分別用、、、表示這四種不同口味的粽子的喜愛情況，對某居民區(qū)的市民進行了抽樣調查，并根據調查結果繪制了如圖所示兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
本次參加抽樣調查的居民有多少人？
將兩幅統(tǒng)計圖補充完整；
小明喜歡吃豆沙粽子和紅棗粽子，媽媽為他準備了四種粽子各一個，小明從中任意選出兩個，求他同時選中豆沙粽子和紅棗粽子的概率用列表或畫樹狀圖的方法求解．
 本小題分
如圖，在中，，，，點從點開始沿邊向點以的速度移動，同時點從點開始沿邊向點以的速度移動，當其中一點到達終點后，另外一點也隨之停止運動．
求經過幾秒，的面積等于？
的面積能否等于？請說明理由．
求經過多少秒，與相似？

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：方程有實數根，
，
；
故選A．
根據題意得出，再進行整理即可．
此題考查了直接開平方法解一元二次方程，關鍵是根據已知條件得出．
 2.【答案】 【解析】解：，
，即，解得，
．
故選：．
根據平行線分線段成比例定理得到，則利用比例的性質求出，然后計算即可．
本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．
 3.【答案】 【解析】解：，
，即．
故選：．
方程左右兩邊都加上，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結果．
本題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關鍵．
 4.【答案】 【解析】解：根據題意知，
解得，
經檢驗：是原分式方程的解，
故選：．
在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關系入手，列出方程求解．
本題考查利用頻率估計概率．大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．關鍵是根據紅球的頻率得到相應的等量關系．
 5.【答案】 【解析】解：如圖所示，作軸于，軸于，則，
，
的坐標為，
，，
四邊形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
故選：．
作軸于，軸于，先證，再證明≌，得出對應邊相等，，即可得出結果．
本題考查了正方形的性質、坐標與圖形性質以及全等三角形的判定與性質；熟練掌握正方形的性質，證明≌是解決問題的關鍵．
 6.【答案】 【解析】解：，，
，
，
分兩種情況：
當時，
為的中點，
，為的中點，，
；
當時，
，
∽，
，
，
，
，
綜上所述，的值為或，
故選：．
分或兩種情形，分別利用含角的直角三角形的性質解決問題．
本題主要考查了相似三角形的判定與性質，含角的直角三角形的性質等知識，運用分類討論思想是解題的關鍵．
 7.【答案】 【解析】解：已知每個矩形都是由五個同樣的小正方形拼合組成．
：，，
，
，
，
，
≌；
：為等腰三角形，則不是等腰三角形，所以不相似；
：中，而中，對應角不相等，所以不相似；
：，，
，所以不相似．
故選：．
由已知根據相似三角形的判定和性質對每個選項分析論證得出正確選項．
此題考查的知識點是相似三角形的判定，解題的關鍵是根據相似三角形的判定和性質對每個選項分析論證得出正確選項．
 8.【答案】 【解析】解：，
或．
當長是的邊是直角邊時，該直角三角形的面積是；
當長是的邊是斜邊時，第三邊是，該直角三角形的面積是．
故選：．
先解出方程的兩個根為和，再分長是的邊是直角邊和斜邊兩種情況進行討論，然后根據直角三角形的面積公式即可求解．
本題考查了一元二次方程的解法，三角形的面積，正確求解方程的兩根，能夠分兩種情況進行討論是解題的關鍵．
 9.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了翻折變換、矩形的性質、等邊三角形的判定及性質以及解含度角的直角三角形，根據邊角關系及解直角三角形找出、是解題的關鍵．
由折疊的性質可知，、、、，結合即可得出，進而可得出為等邊三角形，在中，通過解含度角的直角三角形及勾股定理即可得出、，再由結合矩形面積為，即可求出的長度，根據即可求出結論．
【解答】
解：由折疊的性質可知，，，，．
，
．
，，
，
為等邊三角形，
．
，，
．
在中，，
，
．
，
．
矩形的面積為，
，
，．
故選C．  10.【答案】 【解析】解：連接，

四邊形是平行四邊形，
；
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
；
，
，
；
四邊形為平行四邊形，
，
平行四邊形是菱形，
，
平行四邊形是菱形，
，
是的中點，，
，
為等邊三角形，
，；
在中，，
又，，
．
故選：．
根據平行四邊形的性質、垂直的定義、平行線的判定定理可以推知；然后由全等三角形的判定定理推知≌；最后根據全等三角形的對應邊相等知，所以對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；連接交于點，根據推知平行四邊形是菱形，根據菱形的鄰邊相等知；然后結合已知條件證得≌，所以，從而證得是正三角形；最后在中，求得，利用等量代換求解即可．
本題綜合考查了全等三角形的判定與性質、菱形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質等知識點，證得?是菱形是解題的難點．
 11.【答案】 【解析】解：關于的方程的一個根是，
當時，由原方程，得
，
解得．
故答案是：．
根據一元二次方程解的定義，將代入原方程，然后解關于的一元一次方程即可．
本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．本題逆用一元二次方程解的定義易得出的值．
 12.【答案】 【解析】解：畫樹狀圖為：

共有種等可能的結果，其中個小球的標號之和不小于的結果數為，
所以個小球的標號之和不小于的概率．
故答案為：．
先畫樹狀圖展示所有種等可能的結果，再找出個小球的標號之和不小于的結果數，然后根據概率公式計算．
本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結果求出，再從中選出符合事件或的結果數目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
 13.【答案】 【解析】解：將此廣告牌的四邊都擴大為原來的倍，
面積擴大為原來的倍，
擴大后長方形廣告牌的成本為：元．
故答案為：．
直接利用相似多邊形的性質進而得出答案．
本題考查相似多邊形的性質，正確記憶相似多邊形的面積的比等于相似比的平方是解題關鍵．
 14.【答案】 【解析】解：四邊形是菱形，點在對角線上，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在中，
，，
，
，
，
．
故答案為：．
根據菱形的對角線平分一組對角可得，證明≌，得，由三角形的內角和定理可得，最后由等腰三角形的性質和平角的定義可得結論．
本題考查了菱形的性質，等腰三角形的性質和判定，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是證明≌．
 15.【答案】或 【解析】解：點的坐標為，點的坐標為，
，，，
若∽，
則，
設，
則，，
即，
解得：，
；
若∽，
則，
設，則，則，
解得：，
可得：．
綜上所述，的長為或．
故答案為：或．
由點的坐標為，點的坐標為，可得，，，然后分別從∽與∽去分析，根據相似三角形的對應邊成比例，即可取得答案．
此題考查了相似三角形的性質與折疊的知識．此題綜合性較強，難度較大，注意數形結合與方程思想的應用，小心別漏解．
 16.【答案】解：，
，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，． 【解析】移項，然后利用提取公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于的一元一次方程，再進一步求解即可；
整理成，然后利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于的一元一次方程，再進一步求解即可．
本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據方程的特點選擇簡便的方法．
 17.【答案】解：設為實數．
，，．
．
由得，，，．
，
．
．
．
或．
當，則，，；
當，則，，． 【解析】根據比例的性質解決此題．
根據比例的性質解決此題．
本題主要考查比例的性質，熟練掌握比例的性質是解決本題的關鍵．
 18.【答案】解：，，
，，
，
，
，
，
∽；
∽，
，
，，，
，
，
，
． 【解析】首先得出，再根據已知得到，利用兩角對應相等的兩個三角形相似即可得證；
利用相似三角形的性質得出的長，由代數得出答案即可．
本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形面積問題，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
 19.【答案】解：根據題意，得：
當：：時，解得：；
當：：時，解得：；
當：：時，解得：；
則所添線段的長度為或或． 【解析】根據四條線段成比例可得：：、：：、：：，分別求出即可得．
本題考查比例線段，解題的關鍵是找出所有成比例的情況分別求解．
 20.【答案】解：如圖所示

在和中，

≌，
，
，
在和中，
，
≌
四邊形是菱形，其理由如下：
，
，
又，
，
在和中，
，
≌
，，
又，
，
四邊形是菱形． 【解析】由角角邊證明≌，其性質得，再根據角角邊證明≌；
由平行線的性質得，，角邊角證明≌，其性質得，，再根據菱形的判定證明四邊形是菱形．
本題綜合考查了全等三角形的判定與性質，菱形的判定，平行線的性質，等量代換等相關知識點，重點掌握全等三角形的判定與性質．
 21.【答案】解：根據題意，得元．
答：每天的利潤為元；
設每千克漲價元，則每千克盈利元，日銷售量為千克，
依題意得：，
整理得：，
解得：，，
又要使顧客得到實惠，
．
答：每千克應漲價元． 【解析】利用每天的總利潤每千克的利潤日銷售量，即可求出結論；
設每千克漲價元，則每千克盈利元，日銷售量為千克，根據每天盈利元，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結合要使顧客得到實惠，即可得出每千克應漲價元．
此題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．
 22.【答案】解：人，
所以本次參加抽樣調查的居民有人；

喜歡類的人數為人，
喜歡類的人數的百分比為；
喜歡類的人數的百分比為；
兩幅統(tǒng)計圖補充為：


畫樹狀圖為：

共有種等可能的結果數，其中小明同時選中豆沙粽子和紅棗粽子的結果數為，
所以小明同時選中花生粽子和紅棗粽子的概率． 【解析】用喜歡類的人數除以它所占的百分比得到調查的總人數；
先計算出喜歡類的人數，再計算出喜歡類的人數的百分比和喜歡類的人數的百分比，然后補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖；
畫樹狀圖展示所有種等可能的結果數，找出小明同時選中花生粽子和紅棗粽子的結果數，然后根據概率公式求解．
本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出，再從中選出符合事件或的結果數目，然后根據概率公式計算事件或事件的概率．也考查了統(tǒng)計圖．
 23.【答案】解：設經過秒以后面積為，
，
整理得：，
解得或，
經過秒或秒，的面積為；


設經過秒以后面積為，
，
整理得：，
，
的面積不能等于．

當或時，與相似，設時間為秒．
或，
解得或．
經過秒或秒時，與相似． 【解析】設經過秒以后面積為，構建方程求解即可；
通過判定得到的方程的根的判別式即可判定能否達到．
當或時，與相似，構建方程求解．
此題考查了相似三角形的應用，一元二次方程的應用，解題的關鍵是找到等量關系，列出方程并解答．
 

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