導(dǎo)數(shù)1級
導(dǎo)數(shù)的概念與運算
導(dǎo)數(shù)3級
導(dǎo)數(shù)的運算與幾何意義
導(dǎo)數(shù)2級
導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的簡單應(yīng)用
新課標剖析

導(dǎo)數(shù)的引入
我們在必修一的時候?qū)W習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的知識，可以從變化趨勢來研究函數(shù)．比如增函數(shù)就是越來越大的，減函數(shù)就是越來越小的．我們知道了函數(shù)的增和減之后，自然引出的問題就是增和減的速度．就好比我們還是嬰兒的時候，最開始掌握的運動方式是爬，開始是練習(xí)向前爬和向后爬，能掌握方向了之后，就要開始關(guān)注爬的速度．有些社區(qū)還會組織嬰兒爬行比賽．回到函數(shù)的角度，我們原始的函數(shù)定義解決的是“在哪里”的問題（代入坐標求解），必修一的《函數(shù)單調(diào)性》這一節(jié)中我們初步解決了“往哪走”的問題．現(xiàn)在我們要研究的就是在大概知道“往哪走”的前提之下，解決具體“怎么走”“走多快”的問題．為了研究此類問題，聰明的人類引入了導(dǎo)數(shù)的概念．在介紹導(dǎo)數(shù)之前，我們先來了解一個簡單概念：平均變化率．
8.1導(dǎo)數(shù)的概念
知識點睛
１．函數(shù)的平均變化率：
一般地，已知函數(shù)，，是其定義域內(nèi)不同的兩點，記，
，
則當(dāng)時，商稱作函數(shù)在區(qū)間（或）上的平均變化率．
【教師備案】講變化率的時候可以和速度結(jié)合到一起，比如小車問題（課件中有圖）
有一個小車在忽忽悠悠的往前開，我們每隔1秒鐘拍一張照片，就可以得到如下的圖：
時：
這時計算平均速度就可以用位移差除以時間差，這其實也是速度的定義：速度就是位移的變化率．那么平均速度也就是位移的平均變化率．我們也可以把時間間隔變成秒，就會變成下圖：
時：
比如我們要計算1到秒間的平均速度，也需要用位移差．
如果我們排除位移、速度這樣的具體物理概念，只研究“變化“這件事的話，我們就可以得到更廣泛的平均變化率的概念．
建議老師可以換一個例子，比如從圓的面積隨半徑的變化率入手．
很自然的我們可以知道圓面積隨半徑的平均變化率是
我們很容易發(fā)現(xiàn)，在半徑均勻變化的時候，圓面積隨半徑的平均變化率并不是均勻的，而是越變越快．這個現(xiàn)象在生活中有很實際的例子，比如我們?nèi)ベI蛋糕的時候，六寸、九寸、十二寸的蛋糕價格并不是均勻增長的，從九寸到十二寸的價格增長一定比從六寸到九寸的價格增長大．
平均變化率有本身的缺陷，比如小車問題中，我們看到從到的平均速度是，但是我們并不能說這一段時間每一個時刻的速度都是．蛋糕問題也是一樣的，比如我們有一個神奇的蛋糕，會越變越大，原來是六寸的，一段時間后漲到了七寸，然后出現(xiàn)一個神奇的小狗，把新出來的寬為一寸“蛋糕環(huán)”吃了，最后剩下的還是一個六寸的蛋糕．那么這段時間蛋糕大小的平均變化率應(yīng)該是，從這個角度講是蛋糕沒變的，但實際過程中有很復(fù)雜的變化．平均變化率在刻畫此類問題的時候顯得不夠精確了．
還有很多的例子，比如有一個人投資股票，一開始投入了塊錢，一年之后收回塊錢，那么這一年中的平均變化率就是，但是這一年中肯定有起伏的變化．老師可以選取自己比較擅長的例子進行講解
產(chǎn)生這個問題的重要原因是平均變化率只能刻畫一個上的平均情況，只考慮起點和終點兩個時刻的狀態(tài)，而對于中間狀態(tài)沒有刻畫（這里的可以指時間，也可以指剛才提過的半徑變化）．而當(dāng)我們精確處理每一個瞬間變化情況的時候，自然的想法就是讓無限的?。藭r得出的變化率就是瞬時變化率．
我們可以重新看剛才舉的例子，比如小車的問題，當(dāng)時間間隔無限小的時候，得到的結(jié)果就是瞬時速度．圓的例子也是一樣的，圓的面積隨半徑的平均變化率是，當(dāng)趨向于零的時候，瞬時變化率也就變成了．這樣我們就可以從平均變化率的問題引入到瞬時變化率的問題
【教師備案】教師可以由前兩個小車問題講解平均變化率，在學(xué)生理解什么是平均變化率后，讓學(xué)生做例1⑴．尖子班學(xué)案1也是平均變化率的問題，老師也可以選擇性的讓學(xué)生做做．建議老師在讓學(xué)生計算平均變化率之前多舉一些簡單的例子，可以參考鋪墊題中使用具體的某個數(shù)來計算平均變化率，然后再讓學(xué)生去做用解平均變化率的題．對于學(xué)生來說，一個比較合理的學(xué)習(xí)順序是這樣的：
最后我們加入的易錯門診，強調(diào)的是導(dǎo)數(shù)的定義．然后就可以進入第二板塊：導(dǎo)數(shù)的運算了．
2．函數(shù)的瞬時變化率、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變量為時，函數(shù)值相應(yīng)的改變．
如果當(dāng)趨近于時，平均變化率趨近于一個常數(shù)，那么常數(shù)稱為函數(shù)在點的瞬時變化率．
“當(dāng)趨近于零時，趨近于常數(shù)”可以用符號“”記作：
“當(dāng)時，”，或記作“”，符號“”讀作“趨近于”．
函數(shù)在的瞬時變化率，通常稱為在處的導(dǎo)數(shù)，并記作．
這時又稱在處是可導(dǎo)的．于是上述變化過程，可以記作
“當(dāng)時，”或“”．
經(jīng)典精講
考點1： 導(dǎo)數(shù)的定義
【鋪墊】求下列函數(shù)在區(qū)間和上的平均變化率
① ②
①在區(qū)間上的平均變化率為；
在區(qū)間上的平均變化率為；
②在區(qū)間上的平均變化率為；
在區(qū)間上的平均變化率為；
【總結(jié)】可以讓學(xué)生感受一下函數(shù)變化快慢，比如從上題的結(jié)果來看，在相同的時間內(nèi)一次函數(shù)的變化是一直不變的；二次函數(shù)的變化是越來越快的．
【教師備案】教師可以先講鋪墊，根據(jù)鋪墊讓學(xué)生從具體的區(qū)間體會函數(shù)的平均變化率，再由具體的區(qū)間引申出一般區(qū)間的平均變化率，然后講例1⑴．
平均變化率與瞬時變化率
⑴ 求下列函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率．
① ② ③ ④ ⑤
⑵ 求下列函數(shù)分別在，和處的瞬時變化率．
① ② ③ ④ ⑤
【追問】從瞬時變化率角度分析每個函數(shù)的整體變化趨勢，我們可以很明顯的看出對于一次函數(shù)，二次函數(shù)，三次函數(shù)來說，次數(shù)越高，往后變化越快．
【教師備案】求例1⑵的瞬時變化率時，前三個是讓學(xué)生體會簡單函數(shù)的瞬時變化率，老師可以重點講前三個，然后讓學(xué)生自己體會后兩個；如果學(xué)生的程度特別特別好，可以求下面兩個函數(shù)在處的瞬時變化率
⑥ ⑦
⑴ ① ；
② ；
③ ；
④；
⑤.
⑵①在處的瞬時變化率為；在處的瞬時變化率為；
在處的瞬時變化率為．
②在處的瞬時變化率為；在處的瞬時變化率為；
在處的瞬時變化率為．
③在處的瞬時變化率為；在處的瞬時變化率為；
在處的瞬時變化率為．
④在處的瞬時變化率為；在處的瞬時變化率為；
在處的瞬時變化率為．
⑤在處的瞬時變化率為；在處的瞬時變化率為；
在處的瞬時變化率為．
【總結(jié)】由例1⑵看出一次函數(shù)的增長速度不變，二次函數(shù)三次函數(shù)的增長速度越來越快，也是在增長的，只不過增長速度越來越慢．
【教師備案】⑥⑦只求在處的瞬時變化率，解析為：
⑥
，
在處的瞬時變化率為
⑦，
在處的瞬時變化率為
．
【教師備案】⑥⑦的解析用到了的思想：
證明：
為偶函數(shù)，只考慮的情形，
，從圖上直接讀出 ；容易證明 ；
于是由夾逼定理，于是．
（這個證明過程是不嚴格的，只從對極限的直觀上作個說明）
提高班學(xué)案1
求函數(shù)在上附近的平均變化率，在處的瞬時變化率與導(dǎo)數(shù)．
函數(shù)在上附近的平均變化率為：，
在處的瞬時變化率與導(dǎo)數(shù)相等，為．
尖子班學(xué)案1
【拓2】已知，且在區(qū)間上的平均變化率是，則＿＿＿＿．
【總結(jié)】一次函數(shù)的平均變化率就是斜率．
目標班學(xué)案1
質(zhì)點按規(guī)律作直線運動，若質(zhì)點在時的瞬時速度為，求的值．
若在處可導(dǎo)，則（ ）．
A． B． C． D．0
此題很容易出錯．教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來求解，從而加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)定義的真正理解，原來的是，跟是一回事，所以這里用給學(xué)生講更直觀，建議板書：
函數(shù)值的差
自變量的差
自變量趨近相等
【教師備案】在講完易錯門診后，學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的定義可能還有一些模糊，這時老師可以選擇下面的４道小題讓學(xué)生做做，讓學(xué)生把導(dǎo)數(shù)的定義理解透徹．
⑴若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且，則的值為（ ）
A．B．C．D．0
⑵設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
⑶若，則等于（ ）
A． B． C． D．
⑷設(shè)在可導(dǎo)，則等于（ ）
A． B． C． D．
⑴C
⑵
⑶
⑷
8.2導(dǎo)數(shù)的運算
知識點睛
現(xiàn)在我們要做的是從某一個點處的導(dǎo)數(shù)向一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)過渡．
延續(xù)我們剛才的學(xué)習(xí)順序：
關(guān)于求導(dǎo)公式：常見的求導(dǎo)公式我們可能并不會推導(dǎo)，但是建議和學(xué)生提及一下推導(dǎo)的要點，并說明這個推導(dǎo)并不是高中知識范疇之內(nèi)的．這樣可以讓學(xué)生比較信服，也可以和學(xué)生強調(diào)公式是前人推導(dǎo)出來給我們做題用的．
1．可導(dǎo)與導(dǎo)函數(shù)：
如果在開區(qū)間內(nèi)每一點都是可導(dǎo)的，則稱在區(qū)間可導(dǎo)．這樣，對開區(qū)間 內(nèi)每個值，都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)．于是，在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．記為或（或）．
導(dǎo)函數(shù)通常簡稱為導(dǎo)數(shù)．如果不特別指明求某一點的導(dǎo)數(shù)，那么求導(dǎo)數(shù)指的就是求導(dǎo)函數(shù)．
2．常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)．
【教師備案】常用函數(shù)的推導(dǎo)過程如下：
；
；
；
；
．
3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
⑴若（為常數(shù)），則；
⑵若，則；
⑶若，則；特別地， 若，則；
⑷若，則；特別地，若，則；
⑸若，則；
⑹若，則．
【教師備案】基本初等函數(shù)的推導(dǎo)過程不要求學(xué)生掌握，學(xué)生只需把導(dǎo)數(shù)公式記住就行，老師在講完
導(dǎo)數(shù)公式后可以讓學(xué)生做例2⑴，本題可以老師帶領(lǐng)學(xué)生一起做．
4．導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：其中都是可導(dǎo)函數(shù)，為常數(shù)：
；；
；（）．
【教師備案】這里只證一個加法的四則運算
設(shè)，則
，，即
我們也可以換一種方式來解釋這個公式
基本上所有學(xué)生都學(xué)過“水上行舟”問題，我們可以把看做是時間，看做是船的位移，看做是水的位移，那么和分別指的就是船和水的瞬時變化率，也就是速度．這樣我們的公式也就很好理解了．總的位移，就是總的速度，自然等于右邊，也就是船速加水速．
四則運算記憶法則：①加法的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的加法；
②常數(shù)與函數(shù)之積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；
③乘法的導(dǎo)數(shù)等于第一個導(dǎo)數(shù)乘以第二個第二個導(dǎo)數(shù)乘以第一個；
④除法的導(dǎo)數(shù)等于分母不動乘以分子導(dǎo)數(shù)減去分子不動乘以分母導(dǎo)數(shù)，再除以分母平方．
【教師備案】講完導(dǎo)數(shù)的四則運算，可以讓學(xué)生做例2⑵⑶；例2⑵屬于簡單函數(shù)的四則運算，例2⑶
屬于需要先把函數(shù)化簡，再用四則運算；對于目標班的學(xué)生，因為程度比較好，所以可以讓學(xué)生做做目標班學(xué)案2；在例2的后邊還有一個【挑戰(zhàn)十分鐘】，【挑戰(zhàn)十分鐘】的主要目的是讓學(xué)生熟練導(dǎo)數(shù)的四則運算，可以讓學(xué)生在規(guī)定的時間內(nèi)做做．
經(jīng)典精講
考點2： 導(dǎo)數(shù)的運算
導(dǎo)數(shù)的運算
⑴ 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
① ② ③ ④
⑵ 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
① ② ③
④ ⑤
⑶ 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
① ② ③
⑴ ①； ②； ③； ④．
⑵ ①；② ；③；④ ；
⑤
⑶ ① ；
② ．
③．
【挑戰(zhàn)十分鐘】讓學(xué)生熟練的掌握求導(dǎo)公式以及導(dǎo)數(shù)的運算法則
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；
⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；⑾
⑿；⒀；⒁；⒂；⒃；⒄；
⒅；⒆；⒇．
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；
⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；⑾；⑿；⒀；⒁；⒂；
⒃；⒄；⒅；⒆；⒇．
提高班學(xué)案2
【拓1】設(shè)函數(shù)，，則 ．
尖子班學(xué)案2
【拓2】已知，若，則 ．
【例3引入】導(dǎo)數(shù)實際也是一個函數(shù)，和原函數(shù)密切相關(guān)，關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等等我們會
在春季課上重點介紹．在預(yù)習(xí)課里我們先介紹一個函數(shù)的基本性質(zhì)．
在函數(shù)中我們有這樣的結(jié)論：是一個函數(shù)，是可以“動”的，而就是一個數(shù)，因為自變量已經(jīng)取定了，他就不能“動”了．所以在函數(shù)考察中曾經(jīng)有過這樣的問題：“，求”，我們的做法很簡單，就是把代入，求出的值即可．解這類題的關(guān)鍵就在于理解其實是一個固定的數(shù)．例3就是這類題在導(dǎo)數(shù)中的考察．比如例3（1）中的表示的就是這個函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，這是一個固定的數(shù)．這類題解法的基本過程是：通過求導(dǎo)把原式轉(zhuǎn)化為一個導(dǎo)函數(shù)的等式，然后代入需要求的值．強調(diào)這個概念的目的是防止學(xué)生在計算導(dǎo)數(shù)的時候把它當(dāng)做兩個函數(shù)相乘求導(dǎo)．
實際是一個數(shù)
⑴已知，則______
⑵已知函數(shù)，則的值為 ．
⑶已知函數(shù)，則與的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D． 不能確定
⑴
⑵
⑶
8.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義
知識點睛
設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示．為過點與的一條割線．由此割線的斜率是，可知曲線割線的斜率就是函數(shù)的平均變化率．當(dāng)點沿曲線趨近于點時，割線繞點轉(zhuǎn)動，它的最終位置為直線，這條直線叫做此曲線在點的切線，即切線的斜率，簡單地說，曲線上某一點處切線的斜率就反映了曲線在這點處的變化率，所以說切線的斜率就是導(dǎo)數(shù)．
【教師備案】切線的定義：
“直線與曲線有一個交點”，是“直線是曲線的切線”的________條件
既不充分也不必要
一方面：只有一個交點不見得是切線，如圖1；另一方面：切線不見得只有一個
交點，如圖2；更加強，切線與函數(shù)可能會有無數(shù)個交點，如圖3：
圖1 圖2 圖3
對于程度很好的學(xué)生可以進一步解釋：相切只是局部概念，不是整體概念，比方說知識點睛中的圖只是在點附近割線逼近的情況，至于這個范圍以外的部分和切線無關(guān)．
什么是切線的的斜率，舉個例子：
函數(shù)的圖象在處與軸相切，在于處的切線分別為，其中，的坐標分別為，，，，如圖，則 ； _____；
_____．
【教師備案】例4主要講導(dǎo)數(shù)與切線斜率之間的關(guān)系，讓學(xué)生從圖象上充分了解導(dǎo)數(shù)與切線斜率之間
的關(guān)系，老師在講完導(dǎo)數(shù)的幾何意義后可以讓學(xué)生做例4；在學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)與切線斜率之間的關(guān)系后講切線方程，例5主要是求切線方程，例5后邊有一個【挑戰(zhàn)十分鐘】，老師可以以例5為例講切線方程，以【挑戰(zhàn)十分鐘】為練習(xí)讓學(xué)生熟練的求切線方程；例6主要講切點的核心作用，讓學(xué)生靈活的運用導(dǎo)數(shù)與切線之間的關(guān)系，對于目標班的學(xué)生，因為程度很好，可以讓學(xué)生做做目標班學(xué)案3．
經(jīng)典精講
考點3： 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
導(dǎo)數(shù)等于切線斜率
⑴ 如圖，直線是曲線在處的切線，則 ．
⑵ 如圖，曲線在點處的切線方程
是， ．
⑶ 函數(shù)的圖象上一點處的切線的斜率為（ ）
A．1 B． C． D．
⑷ 設(shè)是偶函數(shù)．若曲線在點處的切線的斜率為，則該曲線在點處的切線的斜率為 ．
⑴
⑵
⑶ D
⑷
切線方程
⑴已知曲線上一點，求曲線在點A處的切線方程．
⑵（2010豐臺一模文12）函數(shù)的圖象在點處的切線方程是 ．
【追問】求在處的切線方程，并且計算切線和軸交點的坐標．由此找出指數(shù)函數(shù)切線的小性質(zhì)——切線和軸交點橫坐標和切點的橫坐標之間的差是一個定值，這個定值只受指數(shù)函數(shù)的底影響．最后由此性質(zhì)類比可以得到對數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)．
⑴在點A處的切線方程為．
⑵
斜率=導(dǎo)數(shù)
【總結(jié)】
切線方程：，本質(zhì)就是點斜式
點坐標
點坐標
【追問】，令得，故橫截距與切點橫坐標之差為.
【挑戰(zhàn)十分鐘】學(xué)生在學(xué)完切線方程后，對切線方程可能還不是很熟悉，老師可以選擇以下十個小題讓學(xué)生多練練．
①求曲線在點處的切線方程；
②求函數(shù)在點處的切線方程；
③求曲線在點處的切線方程；
④求函數(shù)在點處的切線方程；
⑤求曲線在點處的切線方程；
⑥求曲線在點處的切線方程；
⑦求曲線在點處的切線方程；
⑧求曲線在點處的切線方程；
⑨求曲線在點處的切線方程；
⑩求函數(shù)在處的切線方程．
①；②；③；④；⑤；
⑥；⑦；⑧；⑨；
⑩．
切點的應(yīng)用
⑴曲線在點處的切線的斜率為，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
⑵ 若曲線與在處的切線互相垂直，則等于（ ）．
A． B． C． D．或
⑶ 已知直線與曲線相切，則的值為（ ）
A．1 B．2 C． D．
⑴
⑵ A
⑶ B
【總結(jié)】切線的相關(guān)問題絕大多數(shù)都是圍繞切點做的，這是由于切點是曲線和切線的結(jié)合點，它的坐標可以同時影響曲線和切線．一般來說，只要題目中出現(xiàn)了切點或切線，我們都需要設(shè)出切點坐標，然后利用切點的三個性質(zhì)：切點在曲線上、切點在切線上、切點處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，列出三個方程．解出切點坐標后基本就k了．所以建議老師在課上強調(diào)切點的重要性，至少讓學(xué)生見到類似問題的時候可以想到“切點”這個核心要素．
例如：例6的（3），我們一開始就要明白這個題的關(guān)鍵是解出切點坐標，我們就可以列出：
提高班學(xué)案3
⑴曲線上切線的傾斜角為的點的坐標為 ．
⑵曲線上切線平行于軸的點的坐標 ．
⑴
⑵或
尖子班學(xué)案3
⑴ 設(shè)函數(shù)．若曲線在點處與直線相切，求
的值．
⑵ 已知直線與曲線相切，則的值為（ ）．
A．1 B．2 C． D．
⑴．
⑵ D
目標班學(xué)案2
已知拋物線和，如果直線同時是和的切線，稱是和的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段．
⑴ 取什么值時，和有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；
⑵ 若和有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分．
⑴ 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，曲線在點的切線方程是
，即①．
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，曲線在點的切線方程是，即②．
如果直線是過和的拋物線，的公切線，則①式和②式都是的方程．
所以，消去得方程．
若判別式時，即時解得，此時點與是唯一確定的，即當(dāng)時，和有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為．
⑵ 由⑴可知，當(dāng)時，和有兩條公切線，設(shè)一條公切線上切點為
，，其中在上，在上，則有，
．
線段的中點為，同理，另一條公切線段的中點也是．
所以公切線段和互相平分．
若曲線與在處的切線互相平行，則 ．
實戰(zhàn)演練
【演練1】⑴ 若函數(shù)，則當(dāng)時，函數(shù)的瞬時變化率為（ ）
A．1 B． C．2 D．
⑵已知函數(shù)，則等于（ ）．
A． B． C． D．1
⑴ D
⑵ C
【演練2】若，則等于（ ）．
A．2B．C．D．
C
【演練3】⑴下列函數(shù)中，滿足的函數(shù)是（ ）．
A． B．C．D．
⑵是的導(dǎo)函數(shù)，則的值為________．
⑶設(shè)，若，則（ ）．
A． B． C．D．
⑴ C
⑵
⑶ B
【演練4】已知函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【演練5】求曲線在點處的切線方程
大千世界
（2011北大保送）函數(shù)上有兩個點處的切線互相垂直，求的值．
，
設(shè)在與處的切線互相垂直，則有．（*）
于是．
將它看成關(guān)于的一元二次方程，則此方程有解，
于是判別式，即．
又，故，
于是，故，或．
代入（*）式得．
閱讀材料
從學(xué)而思鐘的10點鐘說起
？
這兩個數(shù)相等嗎？有人認為不相等，怎么著這倆數(shù)也有那么點差距??；其實這個問題可以轉(zhuǎn)化為一個更加廣為傳播的問題：嗎？有人認為相等，理由很有意思：
證明：，兩邊同時乘以三，結(jié)果就是：
那么這兩個數(shù)究竟相等嗎？這就涉及到極限的概念．我們先弄明白什么叫．觀察下面的式子：，，，所以我們可以得到一個式子就是，那么無限循環(huán)小數(shù)就可以寫成：．根據(jù)我們學(xué)過的極限的概念，等式右側(cè)中的的極限是零，所以右側(cè)極限值為．
可能還有同學(xué)沒有明白，這主要是“極限”的概念在高中階段給的極為模糊．實際極限的定義是非常嚴格的，我們先看一個簡單的例子：
怎么理解這個式子呢？其實可以理解為，隨著無限的變大，的值和之間的差距可以做到“要多小有多小”．比如你說很小了，那我就能比你小；你再說已經(jīng)很小了，那我就能比你?。疅o論你說多么小的數(shù)，我都能比你?。敲次覀兙涂梢哉f隨著逐漸變大，的極限是．
剛才那個例子也是一樣的，你說和之間的差距能有多少呢？我們可以想到，這就是所謂的要多小有多?。汶S便說一個數(shù)，他們的差距都能比它?。晕覀兛梢哉J為他們是相等的．
更進一步，我們在研究導(dǎo)數(shù)的時候，極限的概念往往是直接應(yīng)用的，常見的技巧是解決的形式．比如我們在推導(dǎo)數(shù)的時候，用的是：，本來是一個的形式，但是我們可以把約掉，變成：，這樣就打破這個的形式了．所以我們在推導(dǎo)數(shù)的公式或者求瞬時變化率的時候，比較關(guān)鍵的一個步驟就是消滅掉，解決了分母上的，其他的就好辦了．
當(dāng)然，也有不能約的情況，同學(xué)們?nèi)绻信d趣的話可以思考下面的問題：
⑴⑵
當(dāng)前形勢
導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用在近五年北京卷（文）中考查13～18分
高考
要求
內(nèi)容
要求層次
具體要求
A
B
C
導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義
導(dǎo)數(shù)的概念
√
通過對大量實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵
導(dǎo)數(shù)的幾何意義
√
通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義
導(dǎo)數(shù)的運算
根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
√
根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)，，，，，的導(dǎo)數(shù)
導(dǎo)數(shù)的四則運算
√
能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
導(dǎo)數(shù)公式表
√
會使用導(dǎo)數(shù)公式表
北京
高考
解讀
2008年
2009年
2010年（新課標）
2011年（新課標）
2012年（新課標）
第13題 5分
第17題13分
第18題14分
第18題13分
第18題13分
第18題13分

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