二、考點(diǎn)梳理
事件的相互獨(dú)立性：
1.相互獨(dú)立的概念：對(duì)于任意兩個(gè)事件如果P(AB)=P(A)P(B)成立, 則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.簡(jiǎn)稱獨(dú)立 .
2. 相互獨(dú)立事件的性質(zhì)
①必然事件? 及不可能事件?與任何事件A相互獨(dú)立
②如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq \x\t(B)，eq \x\t(A)與B，eq \x\t(A)與eq \x\t(B)也都相互獨(dú)立
【微點(diǎn)撥】如果三個(gè)事件A、B、C兩兩互斥，那么概率加法公式P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，但當(dāng)三個(gè)事件A、B、C兩兩獨(dú)立時(shí)，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
三、題型突破
重難點(diǎn)題型突破1 事件的基本關(guān)系與運(yùn)算
例1．（1）、（2022·湖北·蘄春縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國(guó)初年，是充分體現(xiàn)我國(guó)勞動(dòng)人民智慧的一種計(jì)數(shù)方法.在算籌計(jì)數(shù)法中，用一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子(用竹子，木頭，獸骨，象牙，金屬等材料制成)以不同的排列方式來(lái)表示數(shù)字，如果用五根小木棍隨機(jī)擺成圖中的兩個(gè)數(shù)(小木棍全部用完)，那么這兩個(gè)數(shù)的和不小于9的概率為( )
A．B．C．D．
（2）、（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．必然事件的概率為0
B．事件是一個(gè)基本事件
C．隨機(jī)事件A的概率滿足
D．每一個(gè)隨機(jī)事件都是樣本空間的一個(gè)子集
【變式訓(xùn)練1-1】、（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，齊王與臣子田忌各有上、中、下三匹馬.有一天，齊王要與田忌賽馬，雙方約定：①?gòu)母髯陨?、中、下三等?jí)馬中各出一匹馬；②每匹馬參加且只參加一次比賽；③三場(chǎng)比賽后，以獲勝場(chǎng)次多者為最終勝者.已知高等級(jí)馬一定強(qiáng)于低等級(jí)馬，而在同等級(jí)馬中，都是齊王的馬強(qiáng)，則田忌嬴得比賽的概率為（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練1-2】、（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選題）下列說(shuō)法正確的為（ ）
A．在袋子中放有2白2黑大小相同的4個(gè)小球，甲乙玩游戲的規(guī)則是從中不放回的依次隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，如兩球同色則甲獲勝，否則乙獲勝，那么甲獲勝的概率為.
B．做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率可以估計(jì)事件A發(fā)生的概率
C．必然事件的概率為1.
D．在適宜的條件下種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽，這個(gè)試驗(yàn)為古典概型.
重難點(diǎn)題型突破2 古典概型
例2．（1）、（2022·重慶·三模）中國(guó)傳統(tǒng)文化中，在齊魯大地過(guò)年包餃子要包三樣，第一是麩子，寓意幸福；第二是錢幣，寓意求財(cái)：第三是糖，寓意甜蜜.小明媽媽在除夕晚煮了10個(gè)餃子，其中5個(gè)麩子餃子，3個(gè)錢幣餃子，2個(gè)糖餃子，小明從中隨機(jī)夾了3個(gè)餃子，則小明夾到的餃子中既有麩子餃子又有錢幣餃子的概率是（ ）
A．B．C．D．
（2）、（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））甲、乙兩人是某學(xué)校的門崗保安，根據(jù)值班安排，甲每連續(xù)工作4天后休息1天，乙每連續(xù)工作2天后休息1天．若這學(xué)期開學(xué)第一天甲、乙都休息，在不調(diào)整作息時(shí)間的情況下，則在整個(gè)學(xué)期內(nèi)（按120天算），甲、乙在同一天工作的概率為（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練2-1】、（2022·河北·邢臺(tái)市南和區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）某校為了慶祝六一兒童節(jié)，計(jì)劃在學(xué)校花壇的左右兩邊布置紅色?黃色?藍(lán)色?綠色4種顏色的氣球，要求每一邊布置兩種顏色的氣球，則紅色氣球和黃色氣球恰好在同一邊的概率為___________.
【變式訓(xùn)練2-2】、（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））2019年中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》，《意見》提出堅(jiān)持“五育并舉”，全面發(fā)展素質(zhì)教育．為了落實(shí)相關(guān)精神，某校舉辦了科技、藝術(shù)、勞動(dòng)、美食文化周活動(dòng)，在本次活動(dòng)中小明準(zhǔn)備從水火箭、機(jī)甲大師、繪畫展、茶葉采摘、茶葉殺青、自助燒烤個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)選擇個(gè)項(xiàng)目參加，那么小明的選擇中沒(méi)有“茶葉采摘”這一項(xiàng)目的概率是______．
重難點(diǎn)題型突破3 事件的相互獨(dú)立性
例3．（1）、（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有5個(gè)形狀大小相同的球，其中3個(gè)紅色、2個(gè)藍(lán)色，從中一次性隨機(jī)取2個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．“恰好取到1個(gè)紅球”與“至少取到1個(gè)藍(lán)球”是互斥事件
B．“恰好取到1個(gè)紅球”與“至多取到1個(gè)藍(lán)球”是互斥事件
C．“至少取到1個(gè)紅球”的概率大于“至少取到1個(gè)藍(lán)球”的概率
D．“至多取到1個(gè)紅球”的概率大于“至多取到1個(gè)藍(lán)球”的概率
（2）、（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，開關(guān)，被稱為雙聯(lián)開關(guān)，可以與a，b點(diǎn)相連，概率分別為，可以與c，d點(diǎn)相連，概率分別為，普通開關(guān)要么與e點(diǎn)相連（閉合），要么懸空（斷開），概率也分別為．若各開關(guān)之間的連接情況相互獨(dú)立，則電燈不亮的概率是（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練3-1】、（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）袋中有紅?黃兩種顏色的球各一個(gè)，這兩個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一個(gè)，有放回地抽取3次，記事件表示“3次抽到的球全是紅球”，事件表示“次抽到的球顏色全相同”，事件表示“3次抽到的球顏色不全相同”，則（ ）
A．事件與事件互斥B．事件與事件不對(duì)立
C．D．
【變式訓(xùn)練3-2】、（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)傳統(tǒng)文化博大精深，民間高人更是不計(jì)其數(shù)．為推動(dòng)湘西體育武術(shù)事業(yè)發(fā)展，加強(qiáng)全民搏擊健身熱度，讓搏擊這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)融人人們的生活，“2021年中國(guó)湘西邊城全國(guó)拳王爭(zhēng)霸賽”于5月2—3日在花垣縣體育館舉行．某武術(shù)協(xié)會(huì)通過(guò)考核的方式從小鄭、小湯、小王三人中挑選人員到現(xiàn)場(chǎng)觀看“2021年中國(guó)湘四邊城全國(guó)拳王爭(zhēng)霸賽”，已知小鄭小湯、小王三人通過(guò)考核的概率分別為，，，且三人是否通過(guò)考核相互獨(dú)立，那么這三人中僅有兩人通過(guò)考核的概率為________．
重難點(diǎn)題型突破4 概率的綜合應(yīng)用
例4．（2022·湖南·高二期中）朝陽(yáng)小學(xué)五年級(jí)有兩個(gè)班，其中甲班科技課外興趣小組有6人（4男2女），乙班科技課外興趣小組有6人（3男3女），學(xué)校準(zhǔn)備從五年級(jí)科技課外興趣小組中隨機(jī)挑選2個(gè)學(xué)生參加全市科技競(jìng)賽．
(1)求選到的兩個(gè)學(xué)生來(lái)自同一個(gè)班的概率；
(2)在已知其中一個(gè)是男生的條件下，求另一個(gè)也是男生的概率；
(3)通過(guò)平時(shí)訓(xùn)練發(fā)現(xiàn)，如果兩個(gè)參賽選手來(lái)自同一個(gè)班，默契程度會(huì)高一些，學(xué)校決定，從同一個(gè)班中選兩個(gè)同學(xué)參賽，求兩個(gè)都是男生的概率．
【變式訓(xùn)練4-1】、（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）冰壺被喻為冰上的“國(guó)際象棋”，是以團(tuán)隊(duì)為單位在冰上進(jìn)行的投擲性競(jìng)賽項(xiàng)目，每場(chǎng)比賽共10局，在每局比賽中，每個(gè)團(tuán)隊(duì)由多名運(yùn)動(dòng)員組成，輪流擲壺、刷冰、指揮．兩邊隊(duì)員交替擲壺，可擊打本方和對(duì)手冰壺，以最終離得分區(qū)圓心最近的一方冰壺?cái)?shù)量多少計(jì)算得分，另外一方計(jì)零分，以十局總得分最高的一方獲勝．冰壺運(yùn)動(dòng)考驗(yàn)參與者的體能與腦力，展現(xiàn)動(dòng)靜之美，取舍之智慧．同時(shí)由于冰壺的擊打規(guī)則，后投擲一方有優(yōu)勢(shì)，因此前一局的得分方將作為后一局的先手?jǐn)S壺．已知甲、乙兩隊(duì)參加冰壺比賽，在某局中若甲方先手?jǐn)S壺，則該局甲方得分概率為；若甲方后手?jǐn)S壺，則該局甲方得分概率為，每局比賽不考慮平局．在該場(chǎng)比賽中，前面已經(jīng)比賽了六局，雙方各有三局得分，其中第六局乙方得分．
(1)求第七局、第八局均為甲方得分的概率；
(2)求當(dāng)十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率．
四、課堂訓(xùn)練（30分鐘）
1．（2022·河南·新鄉(xiāng)縣高中模擬預(yù)測(cè)（文））為深入挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化所蘊(yùn)含的思想觀念、人文精神和道德規(guī)范，某校開展“新六藝”教育活動(dòng)，學(xué)校開設(shè)“德商”“藝商”“職商”“逆商”“文商”“速商”六門課程，要求學(xué)生通學(xué)其中兩門．則每位學(xué)生不同的選課方案的種數(shù)為（ ）．
A．10B．15C．20D．30
2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，是由中國(guó)舉辦的國(guó)際性?shī)W林匹克賽事，于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕.小林觀看了本屆冬奧會(huì)后，打算從冰壺?短道速滑?花樣滑冰?冬季兩項(xiàng)這四個(gè)項(xiàng)目中任意選兩項(xiàng)進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，則小林沒(méi)有選擇冰壺的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知有6個(gè)電器元件，其中有2個(gè)次品和4個(gè)正品，每次隨機(jī)抽取1個(gè)測(cè)試，不放回，直到2個(gè)次品都找到為止，設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)“直到2個(gè)次品都找到為止需要測(cè)試的次數(shù)”的樣本空間為，設(shè)事件“測(cè)試次剛好找到所有的次品”，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．事件和事件互為互斥事件
C．事件“前3次測(cè)試中有1次測(cè)試到次品，2次測(cè)試到正品，且第4次測(cè)試到次品”
D．事件“前4次測(cè)試中有1次測(cè)試到次品，3次測(cè)試到正品”
4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某學(xué)校共3000名學(xué)生，為了調(diào)查本學(xué)校學(xué)生攜帶手機(jī)進(jìn)校園情況，對(duì)隨機(jī)抽出的500名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查中使用了2個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題1：你生日的月份是否為奇數(shù)？問(wèn)題2：你是否攜帶手機(jī)？調(diào)查人員給被調(diào)查者準(zhǔn)備了一枚質(zhì)地均勻的硬幣，被調(diào)查者背對(duì)著調(diào)查人員擲一次硬幣，如果正面朝上，則回答問(wèn)題1；如果反面朝上，則回答問(wèn)題2.共有175人回答“是”，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．估計(jì)被調(diào)查者中約有175人攜帶手機(jī)
B．估計(jì)本校學(xué)生約有600人攜帶手機(jī)
C．估計(jì)該學(xué)校約有的學(xué)生攜帶手機(jī)
D．估計(jì)該學(xué)校約有的學(xué)生攜帶手機(jī)
5．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二期中）某校舉行籃球比賽，甲、乙兩班各出5名運(yùn)動(dòng)員（3男2女）進(jìn)行比賽，為增加趣味性，下半場(chǎng)從兩班各抽取兩人交換隊(duì)伍后進(jìn)行比賽，則下半場(chǎng)從乙班抽取一名運(yùn)動(dòng)員為女生的概率是_________．
6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列事件中，隨機(jī)事件的序號(hào)為______．
①某項(xiàng)體育比賽出現(xiàn)平局．
②全球變暖會(huì)導(dǎo)致海平面上升．
③一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、2、3．
④拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)反面向上．
7．（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測(cè)（文））當(dāng)顧客在超市排隊(duì)結(jié)賬時(shí)，“傳統(tǒng)排隊(duì)法”中顧客會(huì)選他們認(rèn)為最短的隊(duì)伍結(jié)賬離開，某數(shù)學(xué)興趣小組卻認(rèn)為最好的辦法是如圖（1）所示地排成一條長(zhǎng)隊(duì)，然后排頭的人依次進(jìn)入空閑的收銀臺(tái)結(jié)賬，從而讓所有的人都能快速離開，該興趣小組稱這種方法為“長(zhǎng)隊(duì)法”.為了檢驗(yàn)他們的想法，該興趣小組在相同條件下做了兩種不同排隊(duì)方法的實(shí)驗(yàn).“傳統(tǒng)排隊(duì)法”的顧客等待平均時(shí)間為5分39秒，圖（2）為“長(zhǎng)隊(duì)法”顧客等待時(shí)間柱狀圖.
(1)根據(jù)柱狀圖估算使用“長(zhǎng)隊(duì)法”的100名顧客平均等待時(shí)間，并說(shuō)明選擇哪種排隊(duì)法更適合；
(2)為進(jìn)一步分析“長(zhǎng)隊(duì)法”的可行性，對(duì)使用“長(zhǎng)隊(duì)法”的顧客進(jìn)行滿意度問(wèn)卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)等待時(shí)間為[8，10）的顧客中有5人滿意，等待時(shí)間為[10，12]的顧客中僅有1人滿意，在這6人中隨機(jī)選2人發(fā)放安慰獎(jiǎng)，求獲得安慰獎(jiǎng)的都是等待時(shí)間在[8，10）顧客的概率.
內(nèi) 容
考點(diǎn)
關(guān)注點(diǎn)
隨機(jī)事件與概率
隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件
事件的分類
隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義
元素的互異性
古典概型
求概率
概率性質(zhì)
互斥事件、對(duì)立事件的概率
專題12 隨機(jī)事件的概率與事件的相互獨(dú)立性
一、考情分析
二、考點(diǎn)梳理
事件的相互獨(dú)立性：
1.相互獨(dú)立的概念：對(duì)于任意兩個(gè)事件如果P(AB)=P(A)P(B)成立, 則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.簡(jiǎn)稱獨(dú)立 .
2. 相互獨(dú)立事件的性質(zhì)
①必然事件? 及不可能事件?與任何事件A相互獨(dú)立
②如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq \x\t(B)，eq \x\t(A)與B，eq \x\t(A)與eq \x\t(B)也都相互獨(dú)立
【微點(diǎn)撥】如果三個(gè)事件A、B、C兩兩互斥，那么概率加法公式P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，但當(dāng)三個(gè)事件A、B、C兩兩獨(dú)立時(shí)，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
三、題型突破
重難點(diǎn)題型突破1 事件的基本關(guān)系與運(yùn)算
例1．（1）、（2022·湖北·蘄春縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國(guó)初年，是充分體現(xiàn)我國(guó)勞動(dòng)人民智慧的一種計(jì)數(shù)方法.在算籌計(jì)數(shù)法中，用一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子(用竹子，木頭，獸骨，象牙，金屬等材料制成)以不同的排列方式來(lái)表示數(shù)字，如果用五根小木棍隨機(jī)擺成圖中的兩個(gè)數(shù)(小木棍全部用完)，那么這兩個(gè)數(shù)的和不小于9的概率為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分用(1根+4根)和(2根+3根)兩種情況組成不同的兩個(gè)數(shù)，求出總的組合數(shù)，并求出各個(gè)組合中兩數(shù)的和，根據(jù)古典概型概率計(jì)算方法計(jì)算即可．
【詳解】
用五根小木棍擺成兩個(gè)數(shù)，共有兩種擺放方法：
第一種是用1根和4根小木棍可以組成：1與4、1與8，其和分別為5、9，共2種；
第二種是用2根和3根小木棍可以組成：2與3、2與7、6與3、6與7，其和分別為5、9、9、13，共4種；
故用五根小木棍隨機(jī)擺成圖中的兩個(gè)數(shù)，有2+4=6種不同組合，其中兩個(gè)數(shù)的和不小于9的有4種，故所求概率為．
故選：A．
（2）、（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．必然事件的概率為0
B．事件是一個(gè)基本事件
C．隨機(jī)事件A的概率滿足
D．每一個(gè)隨機(jī)事件都是樣本空間的一個(gè)子集
【答案】CD
【解析】
【分析】
根據(jù)隨機(jī)事件、必然事件及不可能事件的定義與性質(zhì)，逐一分析各選項(xiàng)即可求解.
【詳解】
解：對(duì)A：必然事件的概率為1，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)B：事件中不包含任何樣本點(diǎn)，故事件不是一個(gè)基本事件，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)C：隨機(jī)事件A的概率滿足，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)D：每一個(gè)隨機(jī)事件都是樣本空間的一個(gè)子集，故選項(xiàng)D正確.
故選：CD.
【變式訓(xùn)練1-1】、（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，齊王與臣子田忌各有上、中、下三匹馬.有一天，齊王要與田忌賽馬，雙方約定：①?gòu)母髯陨?、中、下三等?jí)馬中各出一匹馬；②每匹馬參加且只參加一次比賽；③三場(chǎng)比賽后，以獲勝場(chǎng)次多者為最終勝者.已知高等級(jí)馬一定強(qiáng)于低等級(jí)馬，而在同等級(jí)馬中，都是齊王的馬強(qiáng)，則田忌嬴得比賽的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出基本事件總數(shù)，再求出田忌獲勝的事件數(shù)，據(jù)此即可求出概率.
【詳解】
雙方馬的對(duì)陣情況如下：
雙方馬的對(duì)陣中，只有一種對(duì)抗情況田忌能贏，即田忌下等馬對(duì)陣劉王上等馬，田忌上等馬對(duì)陣劉王中等馬，田忌中等馬對(duì)陣劉王下等馬，所以田忌贏得比賽的概率為.
故選：D.
【變式訓(xùn)練1-2】、（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選題）下列說(shuō)法正確的為（ ）
A．在袋子中放有2白2黑大小相同的4個(gè)小球，甲乙玩游戲的規(guī)則是從中不放回的依次隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，如兩球同色則甲獲勝，否則乙獲勝，那么甲獲勝的概率為.
B．做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率可以估計(jì)事件A發(fā)生的概率
C．必然事件的概率為1.
D．在適宜的條件下種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽，這個(gè)試驗(yàn)為古典概型.
【答案】BC
【解析】
【分析】
對(duì)于A，根據(jù)古典概型的概率求解即可；
對(duì)于B，根據(jù)概率的性質(zhì)判斷即可；
對(duì)于C，根據(jù)必然事件的性質(zhì)判斷即可；
對(duì)于D，根據(jù)古典概型的定義判斷即可
【詳解】
逐一分析判斷每一個(gè)選項(xiàng)：
對(duì)于A，從4個(gè)小球中選取兩個(gè)小球共有種方案，其中兩個(gè)小球顏色相同的方案數(shù)為2種，故甲獲勝的概率為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，隨著事件次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來(lái)越接近概率，故事件A發(fā)生的頻率可以估計(jì)事件A發(fā)生的概率，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C，必然事件一定發(fā)生，故其概率是1，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，古典概型要求隨機(jī)事件的結(jié)果可能性相等，在適宜的條件下種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽，這個(gè)試驗(yàn)發(fā)芽與不發(fā)芽可能性不一定相等，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：BC.
重難點(diǎn)題型突破2 古典概型
例2．（1）、（2022·重慶·三模）中國(guó)傳統(tǒng)文化中，在齊魯大地過(guò)年包餃子要包三樣，第一是麩子，寓意幸福；第二是錢幣，寓意求財(cái)：第三是糖，寓意甜蜜.小明媽媽在除夕晚煮了10個(gè)餃子，其中5個(gè)麩子餃子，3個(gè)錢幣餃子，2個(gè)糖餃子，小明從中隨機(jī)夾了3個(gè)餃子，則小明夾到的餃子中既有麩子餃子又有錢幣餃子的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分三種情況討論，利用古典概型的概率公式得解.
【詳解】
解：小明從中隨機(jī)夾了3個(gè)餃子共有種；
如果是1個(gè)麩子1個(gè)錢幣餃子1個(gè)糖餃子，共有種；
如果是1個(gè)麩子2個(gè)錢幣餃子，共有種；
如果是2個(gè)麩子1個(gè)錢幣餃子，共有種.
由古典概型的概率公式得:
小明夾到的餃子中既有麩子餃子又有錢幣餃子的概率是.
故選：C
（2）、（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））甲、乙兩人是某學(xué)校的門崗保安，根據(jù)值班安排，甲每連續(xù)工作4天后休息1天，乙每連續(xù)工作2天后休息1天．若這學(xué)期開學(xué)第一天甲、乙都休息，在不調(diào)整作息時(shí)間的情況下，則在整個(gè)學(xué)期內(nèi)（按120天算），甲、乙在同一天工作的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
通過(guò)列舉找到甲乙工作時(shí)間相同的規(guī)律，再利用古典概型的概率公式求解.
【詳解】
解：甲工作是時(shí)間為2,3,4,5—7,8,9,10—12,13,14,15—17,18,19,20—22,23,24,25—27,28,29,30—
乙工作的時(shí)間為2,3—5,6—8,9—11,12—14,15—17,18—20,21—23,24—26,27—29,30—
所以甲乙同一天工作是時(shí)間為2,3,5,8,9,12,14,15—17,18,20,23,24,27,29,30—
從中可以看出甲乙工作時(shí)間以15天為一個(gè)周期，一個(gè)周期里有8天相同，
所以120天可以看作8個(gè)工作周期，共有天相同.
由古典概型的概率公式得甲、乙在同一天工作的概率為.
故選：C
【變式訓(xùn)練2-1】、（2022·河北·邢臺(tái)市南和區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）某校為了慶祝六一兒童節(jié)，計(jì)劃在學(xué)?；▔淖笥覂蛇叢贾眉t色?黃色?藍(lán)色?綠色4種顏色的氣球，要求每一邊布置兩種顏色的氣球，則紅色氣球和黃色氣球恰好在同一邊的概率為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
列舉出所有結(jié)果，然后由古典概型的概率公式可得.
【詳解】
在學(xué)?；▔淖笥覂蛇叢贾脷馇虻乃锌赡芙Y(jié)果有（紅黃，藍(lán)綠），（紅藍(lán)，黃綠），（紅綠，黃藍(lán)），（黃藍(lán)，紅綠），（黃綠，紅藍(lán)），（藍(lán)綠，紅黃），共6種，其中紅色氣球和黃色氣球恰好在同一邊的所有可能結(jié)果有（紅黃，藍(lán)綠），（藍(lán)綠，紅黃），共2種，所以紅色氣球和黃色氣球恰好在同一邊的概率為.
故答案為：
【變式訓(xùn)練2-2】、（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））2019年中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》，《意見》提出堅(jiān)持“五育并舉”，全面發(fā)展素質(zhì)教育．為了落實(shí)相關(guān)精神，某校舉辦了科技、藝術(shù)、勞動(dòng)、美食文化周活動(dòng)，在本次活動(dòng)中小明準(zhǔn)備從水火箭、機(jī)甲大師、繪畫展、茶葉采摘、茶葉殺青、自助燒烤個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)選擇個(gè)項(xiàng)目參加，那么小明的選擇中沒(méi)有“茶葉采摘”這一項(xiàng)目的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
用符號(hào)表示各個(gè)項(xiàng)目，利用列舉計(jì)數(shù)得到從6個(gè)項(xiàng)目中任選2各項(xiàng)目的所有結(jié)果種數(shù)，并計(jì)算其中滿足條件的選法種數(shù)，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式計(jì)算.
【詳解】
設(shè)六個(gè)項(xiàng)目依次用符號(hào)a,b,c,d,e,f表示，其中d是“茶葉采摘”.
從中最忌選擇兩個(gè)項(xiàng)目參加，有ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15中不同的結(jié)果，每一種結(jié)果都是等可能的，包含d的有ad ,bd,cd,de,df共5種，不包含d的有10種，
所以所求概率為,
故答案為：.
重難點(diǎn)題型突破3 事件的相互獨(dú)立性
例3．（1）、（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有5個(gè)形狀大小相同的球，其中3個(gè)紅色、2個(gè)藍(lán)色，從中一次性隨機(jī)取2個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．“恰好取到1個(gè)紅球”與“至少取到1個(gè)藍(lán)球”是互斥事件
B．“恰好取到1個(gè)紅球”與“至多取到1個(gè)藍(lán)球”是互斥事件
C．“至少取到1個(gè)紅球”的概率大于“至少取到1個(gè)藍(lán)球”的概率
D．“至多取到1個(gè)紅球”的概率大于“至多取到1個(gè)藍(lán)球”的概率
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)互斥事件的概念可判斷AB；分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率可判斷CD.
【詳解】
當(dāng)取出的兩球?yàn)橐患t一藍(lán)時(shí)，可得“恰好取到1個(gè)紅球”與“至少取到1個(gè)藍(lán)球”均發(fā)生，即A錯(cuò)誤；
當(dāng)取出的兩球?yàn)橐患t一藍(lán)時(shí)，可得“恰好取到1個(gè)紅球”與“至多取到1個(gè)藍(lán)球”均發(fā)生，即B錯(cuò)誤；
記“至少取到1個(gè)紅球”為事件A，“至少取到1個(gè)藍(lán)球”為事件B，“至多取到1個(gè)紅球”為事件C，“至多取到1個(gè)藍(lán)球”為事件D，
故，，
，，
顯然，，即C正確，D錯(cuò)誤；
故選：C.
（2）、（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，開關(guān)，被稱為雙聯(lián)開關(guān)，可以與a，b點(diǎn)相連，概率分別為，可以與c，d點(diǎn)相連，概率分別為，普通開關(guān)要么與e點(diǎn)相連（閉合），要么懸空（斷開），概率也分別為．若各開關(guān)之間的連接情況相互獨(dú)立，則電燈不亮的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用對(duì)立事件，結(jié)合相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.
【詳解】
先考慮對(duì)立事件“電燈亮”：首先需要“與e點(diǎn)相連”，同時(shí)滿足“與點(diǎn)相連且與c點(diǎn)相連”或“與b點(diǎn)相連且與d點(diǎn)相連”，因此電燈亮的概率，故電燈不亮的概率為.
故選：C
【變式訓(xùn)練3-1】、（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）袋中有紅?黃兩種顏色的球各一個(gè)，這兩個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一個(gè)，有放回地抽取3次，記事件表示“3次抽到的球全是紅球”，事件表示“次抽到的球顏色全相同”，事件表示“3次抽到的球顏色不全相同”，則（ ）
A．事件與事件互斥B．事件與事件不對(duì)立
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，結(jié)合互斥事件，對(duì)立事件概念以及概率公式依次討論各選項(xiàng)即可得答案.
【詳解】
解：對(duì)于A，因?yàn)?次抽到的球全是紅球?yàn)?次抽到的球顏色全相同的一種情況，所以事件與事件不互斥，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B，事件與事件不可能同時(shí)發(fā)生，但一定有一個(gè)會(huì)發(fā)生，所以事件與事件互為對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椋?，故正確；
對(duì)于D，因?yàn)槭录c事件C互斥，，所以，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：C
【變式訓(xùn)練3-2】、（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)傳統(tǒng)文化博大精深，民間高人更是不計(jì)其數(shù)．為推動(dòng)湘西體育武術(shù)事業(yè)發(fā)展，加強(qiáng)全民搏擊健身熱度，讓搏擊這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)融人人們的生活，“2021年中國(guó)湘西邊城全國(guó)拳王爭(zhēng)霸賽”于5月2—3日在花垣縣體育館舉行．某武術(shù)協(xié)會(huì)通過(guò)考核的方式從小鄭、小湯、小王三人中挑選人員到現(xiàn)場(chǎng)觀看“2021年中國(guó)湘四邊城全國(guó)拳王爭(zhēng)霸賽”，已知小鄭小湯、小王三人通過(guò)考核的概率分別為，，，且三人是否通過(guò)考核相互獨(dú)立，那么這三人中僅有兩人通過(guò)考核的概率為________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意三人中僅有兩人通過(guò)考核可看做3個(gè)互斥事件的和，利用互斥事件和的概率公式求解.
【詳解】
設(shè)這三人中僅有兩人通過(guò)考核為事件，小鄭、小湯、小王三人通過(guò)考核分別為事件，，，則，，，
所以，，，
所以．
故答案為：
重難點(diǎn)題型突破4 概率的綜合應(yīng)用
例4．（2022·湖南·高二期中）朝陽(yáng)小學(xué)五年級(jí)有兩個(gè)班，其中甲班科技課外興趣小組有6人（4男2女），乙班科技課外興趣小組有6人（3男3女），學(xué)校準(zhǔn)備從五年級(jí)科技課外興趣小組中隨機(jī)挑選2個(gè)學(xué)生參加全市科技競(jìng)賽．
(1)求選到的兩個(gè)學(xué)生來(lái)自同一個(gè)班的概率；
(2)在已知其中一個(gè)是男生的條件下，求另一個(gè)也是男生的概率；
(3)通過(guò)平時(shí)訓(xùn)練發(fā)現(xiàn)，如果兩個(gè)參賽選手來(lái)自同一個(gè)班，默契程度會(huì)高一些，學(xué)校決定，從同一個(gè)班中選兩個(gè)同學(xué)參賽，求兩個(gè)都是男生的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）利用互斥事件和古典概型的概率公式求解；
（2）利用條件概率公式求解；
（3）利用互斥事件和古典概型的概率公式求解.
(1)
解：記“選到兩個(gè)學(xué)生來(lái)自同一個(gè)班”為事件A，則；
(2)
解：記“其中一個(gè)是男生”為事件，“另一個(gè)是男生”為事件，
；
(3)
解：記“隨機(jī)從甲、乙兩班中選兩人參賽”分別為事件，，“兩個(gè)都是男生”為事件C，
則．
【變式訓(xùn)練4-1】、（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）冰壺被喻為冰上的“國(guó)際象棋”，是以團(tuán)隊(duì)為單位在冰上進(jìn)行的投擲性競(jìng)賽項(xiàng)目，每場(chǎng)比賽共10局，在每局比賽中，每個(gè)團(tuán)隊(duì)由多名運(yùn)動(dòng)員組成，輪流擲壺、刷冰、指揮．兩邊隊(duì)員交替擲壺，可擊打本方和對(duì)手冰壺，以最終離得分區(qū)圓心最近的一方冰壺?cái)?shù)量多少計(jì)算得分，另外一方計(jì)零分，以十局總得分最高的一方獲勝．冰壺運(yùn)動(dòng)考驗(yàn)參與者的體能與腦力，展現(xiàn)動(dòng)靜之美，取舍之智慧．同時(shí)由于冰壺的擊打規(guī)則，后投擲一方有優(yōu)勢(shì)，因此前一局的得分方將作為后一局的先手?jǐn)S壺．已知甲、乙兩隊(duì)參加冰壺比賽，在某局中若甲方先手?jǐn)S壺，則該局甲方得分概率為；若甲方后手?jǐn)S壺，則該局甲方得分概率為，每局比賽不考慮平局．在該場(chǎng)比賽中，前面已經(jīng)比賽了六局，雙方各有三局得分，其中第六局乙方得分．
(1)求第七局、第八局均為甲方得分的概率；
(2)求當(dāng)十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用獨(dú)立事件的概率公式求解；
（2）求出后面四局甲全勝和甲勝三局的概率即得解.
(1)
解：第六局乙方得分，所以第七局乙方先擲壺，甲方后擲壺，則第七局甲方得分概率為；
第七局甲方得分，則第八局甲先擲壺，乙后擲壺，第八局甲方得分的概率為，
所以第七局、第八局均為甲方得分的概率為.
(2)
解：前面已經(jīng)比賽了六局，雙方各有三局得分，所以后面四局甲全勝或者甲勝三局.
后面四局甲全勝，且第七局乙先擲壺，則概率為；
后面四局甲勝三局，且第七局乙先擲壺，分為第七局乙得分或者第八局乙得分或第九局乙得分或第十局乙得分，
所以概率為
則當(dāng)十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率為.
四、課堂訓(xùn)練（30分鐘）
1．（2022·河南·新鄉(xiāng)縣高中模擬預(yù)測(cè)（文））為深入挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化所蘊(yùn)含的思想觀念、人文精神和道德規(guī)范，某校開展“新六藝”教育活動(dòng)，學(xué)校開設(shè)“德商”“藝商”“職商”“逆商”“文商”“速商”六門課程，要求學(xué)生通學(xué)其中兩門．則每位學(xué)生不同的選課方案的種數(shù)為（ ）．
A．10B．15C．20D．30
【答案】B
【解析】
【詳解】
學(xué)生從六門課程中選兩門同學(xué)，設(shè)這六門課程分別為a，b，c，d，e，f，
則選課方案有，，，，，，，，，，，，，，，共15種．
故選：B.
2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，是由中國(guó)舉辦的國(guó)際性?shī)W林匹克賽事，于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕.小林觀看了本屆冬奧會(huì)后，打算從冰壺?短道速滑?花樣滑冰?冬季兩項(xiàng)這四個(gè)項(xiàng)目中任意選兩項(xiàng)進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，則小林沒(méi)有選擇冰壺的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用列舉法，先列出四項(xiàng)中選兩項(xiàng)的所有情況，再找出沒(méi)選擇冰壺的情況，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【詳解】
記冰壺?短道速滑?花樣滑冰?冬季兩項(xiàng)分別為A,B,C,D，則這四個(gè)項(xiàng)目中任意選兩項(xiàng)的情況有：AB,AC,AD,BC,BD,CD，6種情況，
其中沒(méi)有選擇冰壺的有：BC,BD,CD，3種情況，
所以所求概率為.
故選：C
3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知有6個(gè)電器元件，其中有2個(gè)次品和4個(gè)正品，每次隨機(jī)抽取1個(gè)測(cè)試，不放回，直到2個(gè)次品都找到為止，設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)“直到2個(gè)次品都找到為止需要測(cè)試的次數(shù)”的樣本空間為，設(shè)事件“測(cè)試次剛好找到所有的次品”，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．事件和事件互為互斥事件
C．事件“前3次測(cè)試中有1次測(cè)試到次品，2次測(cè)試到正品，且第4次測(cè)試到次品”
D．事件“前4次測(cè)試中有1次測(cè)試到次品，3次測(cè)試到正品”
【答案】BD
【解析】
【分析】
根據(jù)題意逐項(xiàng)分析即可判斷出結(jié)果.
【詳解】
A：由題意可知，直到2個(gè)次品都找到為止需要測(cè)試的次數(shù)，最少是測(cè)試2次，即前2次均測(cè)試出次品，最多測(cè)試5次，即前4次測(cè)試中有1次測(cè)試到次品，3次測(cè)試到正品，所以，故A錯(cuò)誤；
B：事件為前兩次均測(cè)試出次品，事件為前2次有1次測(cè)試出次品，第3次測(cè)試出次品，符合對(duì)立事件的條件，故B正確；
C：事件“前3次測(cè)試中有1次測(cè)試到次品，2次測(cè)試到正品，且第4次測(cè)試到次品”或“前4次測(cè)試到全是正品”，故C錯(cuò)誤；
D：事件“前4次測(cè)試中有1次測(cè)試到次品，3次測(cè)試到正品”，故D正確.
故選：BD.
4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某學(xué)校共3000名學(xué)生，為了調(diào)查本學(xué)校學(xué)生攜帶手機(jī)進(jìn)校園情況，對(duì)隨機(jī)抽出的500名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查中使用了2個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題1：你生日的月份是否為奇數(shù)？問(wèn)題2：你是否攜帶手機(jī)？調(diào)查人員給被調(diào)查者準(zhǔn)備了一枚質(zhì)地均勻的硬幣，被調(diào)查者背對(duì)著調(diào)查人員擲一次硬幣，如果正面朝上，則回答問(wèn)題1；如果反面朝上，則回答問(wèn)題2.共有175人回答“是”，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．估計(jì)被調(diào)查者中約有175人攜帶手機(jī)
B．估計(jì)本校學(xué)生約有600人攜帶手機(jī)
C．估計(jì)該學(xué)校約有的學(xué)生攜帶手機(jī)
D．估計(jì)該學(xué)校約有的學(xué)生攜帶手機(jī)
【答案】BC
【解析】
【分析】
先根據(jù)正反面的等可能性和奇數(shù)月份的等可能性計(jì)算回答第一個(gè)問(wèn)題且回答是的人數(shù)，即得到500名學(xué)生中帶手機(jī)的學(xué)生人數(shù)及比例，即得到結(jié)果.
【詳解】
隨機(jī)抽取的500名學(xué)生中，回答第一個(gè)問(wèn)題的概率為，生日月份為奇數(shù)的概率也是，
所以回答第一個(gè)問(wèn)題且回答是的人數(shù)為，
所以回答第二個(gè)問(wèn)題且回答是的人數(shù)為，
所以隨機(jī)抽取的500名學(xué)生中，帶手機(jī)的學(xué)生人數(shù)的比例為，
故該學(xué)校3000名學(xué)生中，帶手機(jī)的學(xué)生人數(shù)為.
所以BC正確.
故選：BC.
5．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二期中）某校舉行籃球比賽，甲、乙兩班各出5名運(yùn)動(dòng)員（3男2女）進(jìn)行比賽，為增加趣味性，下半場(chǎng)從兩班各抽取兩人交換隊(duì)伍后進(jìn)行比賽，則下半場(chǎng)從乙班抽取一名運(yùn)動(dòng)員為女生的概率是_________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】
根據(jù)古典概型的計(jì)算公式即可求解.
【詳解】
解：乙班共5名運(yùn)動(dòng)員，其中2名女生，故抽取一名女生的概率.
故答案為：
6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列事件中，隨機(jī)事件的序號(hào)為______．
①某項(xiàng)體育比賽出現(xiàn)平局．
②全球變暖會(huì)導(dǎo)致海平面上升．
③一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、2、3．
④拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)反面向上．
【答案】①④
【解析】
【分析】
由隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件的定義即可得出答案.
【詳解】
體育比賽出現(xiàn)平局、拋擲一枚硬幣出現(xiàn)反面向上均為隨機(jī)事件；全球變暖會(huì)導(dǎo)致冰川溶化，海平面上升是必然事件；因?yàn)槿切蝺蛇呏痛笥诘谌?，?+2=3，所以一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、2、3是不可能事件．
故答案為：①④．
7．（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測(cè)（文））當(dāng)顧客在超市排隊(duì)結(jié)賬時(shí)，“傳統(tǒng)排隊(duì)法”中顧客會(huì)選他們認(rèn)為最短的隊(duì)伍結(jié)賬離開，某數(shù)學(xué)興趣小組卻認(rèn)為最好的辦法是如圖（1）所示地排成一條長(zhǎng)隊(duì)，然后排頭的人依次進(jìn)入空閑的收銀臺(tái)結(jié)賬，從而讓所有的人都能快速離開，該興趣小組稱這種方法為“長(zhǎng)隊(duì)法”.為了檢驗(yàn)他們的想法，該興趣小組在相同條件下做了兩種不同排隊(duì)方法的實(shí)驗(yàn).“傳統(tǒng)排隊(duì)法”的顧客等待平均時(shí)間為5分39秒，圖（2）為“長(zhǎng)隊(duì)法”顧客等待時(shí)間柱狀圖.
(1)根據(jù)柱狀圖估算使用“長(zhǎng)隊(duì)法”的100名顧客平均等待時(shí)間，并說(shuō)明選擇哪種排隊(duì)法更適合；
(2)為進(jìn)一步分析“長(zhǎng)隊(duì)法”的可行性，對(duì)使用“長(zhǎng)隊(duì)法”的顧客進(jìn)行滿意度問(wèn)卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)等待時(shí)間為[8，10）的顧客中有5人滿意，等待時(shí)間為[10，12]的顧客中僅有1人滿意，在這6人中隨機(jī)選2人發(fā)放安慰獎(jiǎng)，求獲得安慰獎(jiǎng)的都是等待時(shí)間在[8，10）顧客的概率.
【答案】(1)（分鐘），選擇“傳統(tǒng)排隊(duì)法”更適合
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)柱狀圖中的數(shù)據(jù)和平均數(shù)的公式求解使用“長(zhǎng)隊(duì)法”的100名顧客平均等待時(shí)間，從而進(jìn)行比較，
（2）利用列舉法求解，先列出6人中隨機(jī)選2人的所有情況，然后找出先出的兩人都是等待時(shí)間在[8，10）的情況，再利用古典概型的概率公式求解
(1)
（分鐘）
因?yàn)槭褂谩伴L(zhǎng)隊(duì)法”顧客的平均等待時(shí)間長(zhǎng)于使用“傳統(tǒng)排隊(duì)法”的顧客平均等待時(shí)間，
所以選擇“傳統(tǒng)排隊(duì)法”更適合；
(2)
記事件A=“獲得安慰獎(jiǎng)的都是等待時(shí)間在[8，10）的顧客”，用1，2，3，4，5表示等待時(shí)間在[8，10）的滿意顧客，用a表示等待時(shí)間在[10，12]的滿意顧客，
Ω={（1，2），（1，3），（1，4）（1，5），（1，a），（2，3），（2，4），（2，5），（2，a），（3，4），（3，5），（3，a），（4，5），（4，a），（5，a）}
n（Ω）=15，事件A包含的樣本點(diǎn)為（1，2），（1，3），（1，4）（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），
，
.
內(nèi) 容
考點(diǎn)
關(guān)注點(diǎn)
隨機(jī)事件與概率
隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件
事件的分類
隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義
元素的互異性
古典概型
求概率
概率性質(zhì)
互斥事件、對(duì)立事件的概率
齊王的馬
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
田忌的馬
上中下
上下中
中上下
中下上
下上中
下中上

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