A．B．C．D．
2．（2022·江西省銅鼓中學高二階段練習（理））2022年北京冬奧會的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物愛好者的喜愛，“冰墩墩”和“雪容融”將中國文化符號和冰雪運動完美融合，承載了新時代中國的形象和夢想.若某個吉祥物愛好者從裝有3個“冰墩墩”和3個“雪容融”的6個盲盒的袋子中任取2個盲盒，則恰好抽到1個“冰墩墩”和1個“雪容融”的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（文））中國女足在2022年亞洲杯決賽中，在上半場落后兩球的情況下，下半場5分鐘內連進兩球將比分扳平，最后由替補隊員肖裕儀完成單刀絕殺，以的比分逆轉韓國取勝，時隔13年再次登頂亞洲.在女足逆轉取勝后，關于女足的各方面消息也是迅速登上了各大熱點，某大學足球俱樂部技術組要對女足其中6名球員進行采訪，由于賽程安排等原因，組委會只通知了這6名球員中的3名提前做好采訪準備，若要從這6名球員中隨機選2名球員，則恰有1名球員提前做好采訪準備的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河南焦作·高一期末）鞋柜里有兩雙相同的運動鞋和一雙皮鞋，從中隨機取兩只鞋，那么與事件“兩只鞋可配成雙”互斥的事件為（ ）
A．兩只鞋都是運動鞋B．兩只鞋都是皮鞋
C．兩只鞋都是右腳D．一只鞋是左腳，另一只鞋是右腳
5．（2022·北京海淀·高一期末）米接力賽是田徑運動中的集體項目.一根小小的木棒，要四個人共同打造一個信念，一起拼搏，每次交接都是信任的傳遞.甲?乙?丙?丁四位同學將代表高一年級參加校運會米接力賽，教練組根據訓練情況，安排了四人的交接棒組合.已知該組合三次交接棒失誤的概率分別是，，，假設三次交接棒相互獨立，則此次比賽中該組合交接棒沒有失誤的概率是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021·河南·高三階段練習（理））投壸是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時期較為盛行.如圖為一幅唐朝的投壺圖，假設甲、乙是唐朝的兩位投壺游戲參與者，且甲、乙每次投壺投中的概率分別為，每人每次投壸相互獨立.若約定甲投壺2次，乙投壺3次，投中次數多者勝，則甲最后獲勝的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·上海市嘉定區(qū)安亭高級中學高二階段練習）假設你正在參加一個電視節(jié)目，舞臺上有三扇門，其中一扇門的后面是汽車，另外兩扇門的后面是山羊，如果你選中了后面有汽車的那扇門，就可以得到這輛汽車.于是你隨機選擇了一扇門，走到門前，但還未打開.這時，主持人打開了另外兩扇門中的一扇，讓你看到了那扇門的后面是一只山羊（主持人當然知道每扇門后面都是什么）.現(xiàn)在，主持人給你一次重新選擇的機會.假設你選擇換另一扇還未打開的門，那么得到汽車的概率是_________.
8．（2022·全國·高三專題練習）我國古代的一些數字詩精巧有趣，又飽含生活的哲學，如清代鄭板橋的《題畫竹》：“一兩三枝竹竿，四五六片竹葉，自然淡淡疏疏，何必重重疊疊．”現(xiàn)從1，2，3，4，5，6中隨機選取2個不同的數字組成，則恰好能使得的概率是____________．
9．（2021·新疆·烏市八中高二階段練習）下列說法中：①不可能事件發(fā)生的概率為0 ②隨機事件發(fā)生的概率為 ③概率很小的事件不可能發(fā)生 ④投擲一枚質地均勻的硬幣1000次，正面朝上的次數一定是500次，其中說法不正確的是________（填寫序號）
10．（2021·全國·高一課時練習）有一批小包裝食品，其中質量在90~95g的有40袋，質量在95~100g的有30袋，質量在100~105g的有10袋．從中任意抽取1袋，此袋食品的質量在95~100g的概率為________，此袋食品的質量不足100g的概率為________，此袋食品的質量不低于95g的概率為________．（質量在a~bg指的是質量的數值在區(qū)間內）
11．（2021·重慶江津·高一開學考試）現(xiàn)將背面完全相同，正面分別標有數0，1，3，5的4張卡片洗勻后，背面朝上，從中任取一張，將該卡片上的數標記為m，再從剩下的3張卡片中任取一張，將該卡片上的數記為n，則數字m，n都為奇數的概率為______________；
12．（2021·全國·高三專題練習）某公司根據上年度業(yè)績篩選出業(yè)績出色的，，，四人，欲從此4人中選擇1人晉升該公司某部門經理一職，現(xiàn)進入最后一個環(huán)節(jié)：，，，四人每人有1票，必須投給除自己以外的一個人，并且每個人投給其他任何一人的概率相同，則最終僅一人獲得最高得票的概率為___________.
13．（2021·廣東·廣州奧林匹克中學高二階段練習）某校進行羽毛球比賽，因為人數較多，故分成A，B兩組進行小組比賽，甲乙分在不同的組，已知甲晉級下一輪的概率是、乙晉級下一輪的概率是，且甲乙比賽結果相互獨立，若“甲乙至少有一個晉級下一輪”的概率是，則_______.（用數字作答）
14．（2021·江西·南昌十中高二階段練習（文））冬天的北方室外溫度極低，若輕薄保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，醫(yī)務工作者行動會更方便．研究人員得到石墨烯后，再制作石墨烯發(fā)熱膜有三個環(huán)節(jié)：①透明基底及膠層；②石墨烯層；③表面封裝層．每個環(huán)節(jié)生產合格的概率均為，且各生產環(huán)節(jié)相互獨立．求成功生產出質量合格的發(fā)熱膜概率為________．
B組 能力提升
15．（2022·全國·高一課時練習）(多選題)下列試驗中，隨機事件有（ ）
A．某射手射擊一次，射中10環(huán)
B．同時擲兩枚骰子，都出現(xiàn)6點
C．某人購買福利彩票未中獎
D．若x為實數，則x2＋1≥1
16．（2021·遼寧·沈陽市第一二〇中學高一階段練習）(多選題)以下結論中正確的有（ ）
A．投擲一枚骰子，事件“出現(xiàn)的點數至少是5點”和“出現(xiàn)的點數至多是2點”是互斥事件
B．投擲一枚硬幣，事件“結果為正面向上”和“結果為反面向上”是對立事件
C．5個閹中有一個是中簽的閹，甲、乙兩人同時各抽一個，事件“甲中簽”和“乙中簽”是對立事件
D．從兩男兩女四個醫(yī)生中隨機選出兩人組建救援隊，抽選結果的基本事件是“一男一女”、“兩個男醫(yī)生”、“兩個女醫(yī)生”，共三種
17．（2022·全國·高一課時練習）(多選題)將一枚質地均勻且各面分別標有數字，，，的正四面體骰子連續(xù)拋擲次，觀察底面上的數字，則下列說法正確的是（ ）
A．三次都出現(xiàn)相同數字的概率為
B．沒有出現(xiàn)數字的概率為
C．至少出現(xiàn)一次數字的概率為
D．三個數字之和為的概率為
18．（2022·全國·高二單元測試）(多選題)如果知道事件已發(fā)生，則該事件所給出的信息量稱為“自信息”．設隨機變量的所有可能取值為，，…，，且，，定義的“自信息”為．一次擲兩個不同的骰子，若事件為“僅出現(xiàn)一個2”，事件為“至少出現(xiàn)一個5”，事件為“出現(xiàn)的兩個數之和是偶數”，則（ ）
A．當時，“自信息”
B．當時，
C．事件的“自信息”
D．事件的“自信息”大于事件的“自信息”
19．（2022·全國·高二課時練習）假設5名工人獨立地工作每名工人在1h內平均有12min需要用電（即任時刻需要用電的概率為）.
(1)求在同一時刻恰有3名工人需要用電的概率；
(2)如果在同一時刻最多只能供給3名工人所需的電力，求超過負荷的概率．
20．（2022·全國·模擬預測（文））某市因防控新冠疫情的需要，在今年年初新增加了一家專門生產消毒液的工廠，質檢部門現(xiàn)從這家工廠中隨機抽取了100瓶消毒液，檢測其質量指標值x，得到該廠所生產的消毒液質量指標值的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定：當或時，消毒液為二等品；當或時，消毒液為一等品；當時，消毒液為特等品（將頻率視為概率）.
(1)現(xiàn)在從抽樣的100瓶消毒液中隨機抽取2瓶二等品，求這2瓶二等品消毒液中其質量指標值的消毒液恰好有1瓶的概率；
(2)若每瓶消毒液的生產成本為20元，特等品售價每瓶35元，一等品售價每瓶30元，二等品售價每瓶25元.政府指定該工廠5月份只生產10萬瓶高考考場專用消毒液，要求高考考點使用特等品和一等品消毒液，剩下的二等品全部免費贈送給某區(qū)教育局用于各小學操場消毒.假定教育局全部購買了該廠5月份生產的特等品和一等品消毒液，估計該廠5月份生產的消毒液的利潤（利潤=銷售收入-成本）是多少萬元？
21．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（文））哈三中從甲?乙兩個班級中選拔一個班級代表學校參加知識競賽，在校內組織預測試，為測試兩班平均水準，要求每班參加預測試的代表學生應按班級人數的隨機選出，現(xiàn)甲班學生60人，乙班學生40人.
(1)若乙班將學生按1，2，3…39，40進行編號，采用系統(tǒng)抽樣的方法等距抽取，若第二段被抽取的學生編號為7，求第四段抽取的學生編號（直接寫出結果，無需過程）；
(2)現(xiàn)從甲乙兩班代表學生中分層抽樣選取5人，再從5人中隨機抽取2人參加加試，求抽取的2人恰好來自一個班級的概率.
22．（2022·吉林·長春市第二實驗中學高一期中）高一年級疫情期間舉行全體學生的數學競賽，成績最高分為100分，隨機抽取100名學生進行了數據分析，將他們的分數分成以下幾組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到頻率分布直方圖，如圖所示．
(1)試估計這次競賽成績的眾數和平均數；
(2)已知100名學生落在第二組的平均成績是32，方差為7，落在第三組的平均成績?yōu)?0，方差為4，求兩組學生成績的總平均數和總方差；
(3)已知年級在第二組和第五組兩個小組按等比例分層抽樣的方法，隨機抽取4名學生進行座談，之后從這4人中隨機抽取2人作為學生代表，求這兩名學生代表都來自第五組的概率．
專題12 隨機事件的概率與事件的相互獨立性
A組 基礎鞏固
1．（2022·全國·模擬預測）智慧城市是通過利用各種信息技術和創(chuàng)新概念，將城市的系統(tǒng)和服務打通、集成，以提升資源運用的效率，優(yōu)化城市管理和服務，以及改善市民生活質量．智慧城市目前落地的領域主要集中在智慧交通、智慧政務、智慧小區(qū)、智慧景點以及部分智慧園區(qū)，是智能化社會建設的實驗田．我國某省會城市欲從中選擇其中的三個方面進行智慧城市建設試點，則智慧政務被選擇的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據古典概型的方法枚舉所有情況再分析滿足條件的情況求解即可
【詳解】
設智慧交通、智慧政務、智慧小區(qū)、智慧景點以及部分智慧園區(qū)分別為A，B，C，D，E，則從中任選三項的選法有，，，，，，，，，，共10種不同的分配方法，其中包含智慧政務的選法有6種，所以智慧政務被選擇的概率為
故選：D．
2．（2022·江西省銅鼓中學高二階段練習（理））2022年北京冬奧會的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物愛好者的喜愛，“冰墩墩”和“雪容融”將中國文化符號和冰雪運動完美融合，承載了新時代中國的形象和夢想.若某個吉祥物愛好者從裝有3個“冰墩墩”和3個“雪容融”的6個盲盒的袋子中任取2個盲盒，則恰好抽到1個“冰墩墩”和1個“雪容融”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
列舉基本事件，利用古典概型的概率計算公式即可求解.
【詳解】
記3個“冰墩墩”分別為a、b、c,3個“雪容融”分別為1、2、3；
從6個盲盒的袋子中任取2個盲盒有：ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23共15種情況；其中恰好抽到1個“冰墩墩”和1個“雪容融”包含a1,a2,a3, b1,b2,b3,c1,c2,c3共9種，
所以概率為：.
故選：C
3．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（文））中國女足在2022年亞洲杯決賽中，在上半場落后兩球的情況下，下半場5分鐘內連進兩球將比分扳平，最后由替補隊員肖裕儀完成單刀絕殺，以的比分逆轉韓國取勝，時隔13年再次登頂亞洲.在女足逆轉取勝后，關于女足的各方面消息也是迅速登上了各大熱點，某大學足球俱樂部技術組要對女足其中6名球員進行采訪，由于賽程安排等原因，組委會只通知了這6名球員中的3名提前做好采訪準備，若要從這6名球員中隨機選2名球員，則恰有1名球員提前做好采訪準備的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先算總的選法總數，再計算滿足條件的選法數，然后由古典概型概率公式可得.
【詳解】
從6名球員中隨機選2名球員共有種選法，恰有1名球員提前做好采訪準備共有種，所以恰有1名球員提前做好采訪準備的概率為.
故選：B
4．（2022·河南焦作·高一期末）鞋柜里有兩雙相同的運動鞋和一雙皮鞋，從中隨機取兩只鞋，那么與事件“兩只鞋可配成雙”互斥的事件為（ ）
A．兩只鞋都是運動鞋B．兩只鞋都是皮鞋
C．兩只鞋都是右腳D．一只鞋是左腳，另一只鞋是右腳
【答案】C
【解析】
【分析】
根據互斥事件的定義，即可直接判斷
【詳解】
對選項A， 事件“兩只鞋都是運動鞋”與事件“兩只鞋可配成雙”可以同時發(fā)生，故不是互斥事件；
對選項B，事件“兩只鞋都是皮鞋”與事件“兩只鞋可配成雙”可以同時發(fā)生，故不是互斥事件；
對選項C， 事件“兩只鞋都是右腳”與事件“兩只鞋可配成雙”不能同時發(fā)生，故是互斥事件；
對選項D， 事件“一只鞋是左腳，另一只鞋是右腳”與事件“兩只鞋可配成雙”可以同時發(fā)生，故不是互斥事件
故選：C
5．（2022·北京海淀·高一期末）米接力賽是田徑運動中的集體項目.一根小小的木棒，要四個人共同打造一個信念，一起拼搏，每次交接都是信任的傳遞.甲?乙?丙?丁四位同學將代表高一年級參加校運會米接力賽，教練組根據訓練情況，安排了四人的交接棒組合.已知該組合三次交接棒失誤的概率分別是，，，假設三次交接棒相互獨立，則此次比賽中該組合交接棒沒有失誤的概率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據對立事件和獨立事件求概率的方法即可求得答案.
【詳解】
由題意，三次交接棒不失誤的概率分別為：，則該組合不失誤的概率為：.
故選：C.
6．（2021·河南·高三階段練習（理））投壸是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時期較為盛行.如圖為一幅唐朝的投壺圖，假設甲、乙是唐朝的兩位投壺游戲參與者，且甲、乙每次投壺投中的概率分別為，每人每次投壸相互獨立.若約定甲投壺2次，乙投壺3次，投中次數多者勝，則甲最后獲勝的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用相互獨立事件的概率公式分別計算在甲只投中1次且甲獲勝和甲投中2次且他獲勝的概率，再利用互斥事件的概率加法公式求甲獲勝的概率.
【詳解】
若甲只投中1次，則他獲勝的概率為；
若甲只投中2次，則他獲勝的概率為.
故甲最后獲勝的概率為，
故選：C.
7．（2021·上海市嘉定區(qū)安亭高級中學高二階段練習）假設你正在參加一個電視節(jié)目，舞臺上有三扇門，其中一扇門的后面是汽車，另外兩扇門的后面是山羊，如果你選中了后面有汽車的那扇門，就可以得到這輛汽車.于是你隨機選擇了一扇門，走到門前，但還未打開.這時，主持人打開了另外兩扇門中的一扇，讓你看到了那扇門的后面是一只山羊（主持人當然知道每扇門后面都是什么）.現(xiàn)在，主持人給你一次重新選擇的機會.假設你選擇換另一扇還未打開的門，那么得到汽車的概率是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
令選手第一次選中的為1號門，打開的為2號門，另外一個為3號門，依題意車在每扇門后面的概率都是，即可得到汽車在1號門的概率，以及汽車在2號門或3號門的概率，再根據汽車不在2號門，即可得到汽車在3號門的概率；
【詳解】
解：令選手第一次選中的為1號門，打開的為2號門，另外一個為3號門；
依題意車在每扇門后面的概率都是，即汽車在1號門的概率為，則汽車在2號門或3號門的概率為，因為汽車不在2號門，所以在3號門的概率為，即打開3號門得到汽車的概率為；
故答案為：
8．（2022·全國·高三專題練習）我國古代的一些數字詩精巧有趣，又飽含生活的哲學，如清代鄭板橋的《題畫竹》：“一兩三枝竹竿，四五六片竹葉，自然淡淡疏疏，何必重重疊疊．”現(xiàn)從1，2，3，4，5，6中隨機選取2個不同的數字組成，則恰好能使得的概率是____________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】
列舉基本事件，直接求概率即可.
【詳解】
1，2，3，4，5，6這6個數字中滿足的數對有：
，，4，5，6，
，，5，6；
，，6；
，，共10種，
而，，3，4，5，6，
，，2，4，5，6，
，，2，3，5，6，
，，2，3，4，6，
，，2，3，4，5，共有25種，
所求概率為．
故答案為：．
9．（2021·新疆·烏市八中高二階段練習）下列說法中：①不可能事件發(fā)生的概率為0 ②隨機事件發(fā)生的概率為 ③概率很小的事件不可能發(fā)生 ④投擲一枚質地均勻的硬幣1000次，正面朝上的次數一定是500次，其中說法不正確的是________（填寫序號）
【答案】②③④
【解析】
【分析】
根據隨機事件、不可能事件的意義直接判斷.
【詳解】
對于①、不可能事件發(fā)生的概率為0，所以①選項正確；
對于②、隨機事件發(fā)生的概率在0與1之間，所以②選項錯誤；
對于③、概率很小的事件不是不可能發(fā)生，而是發(fā)生的機會較小，所以③選項錯誤；
對于④、投擲一枚質地均勻的硬幣1000次，正面朝上的次數可能為500次，所以④選項錯誤．
故答案為：②③④．
10．（2021·全國·高一課時練習）有一批小包裝食品，其中質量在90~95g的有40袋，質量在95~100g的有30袋，質量在100~105g的有10袋．從中任意抽取1袋，此袋食品的質量在95~100g的概率為________，此袋食品的質量不足100g的概率為________，此袋食品的質量不低于95g的概率為________．（質量在a~bg指的是質量的數值在區(qū)間內）
【答案】 ## ## ##
【解析】
【分析】
根據古典概型計算公式進行逐一求解即可.
【詳解】
此袋食品的質量在95~100g的概率為：；
此袋食品的質量不足100g的概率為：；
此袋食品的質量不低于95g的概率為：，
故答案為：；；
11．（2021·重慶江津·高一開學考試）現(xiàn)將背面完全相同，正面分別標有數0，1，3，5的4張卡片洗勻后，背面朝上，從中任取一張，將該卡片上的數標記為m，再從剩下的3張卡片中任取一張，將該卡片上的數記為n，則數字m，n都為奇數的概率為______________；
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
用列舉法，結合概率的計算公式直接求解即可.
【詳解】
用符號表示兩次的結果，可能結果如下：
共12種，
其中數字m，n都為奇數的有6種情況，
所以字m，n都為奇數的概率為，
故答案為：
12．（2021·全國·高三專題練習）某公司根據上年度業(yè)績篩選出業(yè)績出色的，，，四人，欲從此4人中選擇1人晉升該公司某部門經理一職，現(xiàn)進入最后一個環(huán)節(jié)：，，，四人每人有1票，必須投給除自己以外的一個人，并且每個人投給其他任何一人的概率相同，則最終僅一人獲得最高得票的概率為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
僅一人獲得最高得票，分為：獲得3票或者獲得2票，其它三人有兩2人各1票，由此可計算出概率．
【詳解】
隨機事件的概率計算
由題意可知，每個人投給其他任何一人的概率相同，則最終僅一人獲得最高得票有如下兩種情況：①若得3票，其概率為；②若得2票，其概率為，所以最終僅一人獲得最高得票的概率為..
故答案為：．
【點睛】
關鍵點點睛：本題解題關鍵是把事件拆分兩個互斥事件的概率，一個事件是獲得3票，一個事件是獲得2票，其他三人中有2人各獲得一票，分別計算概率后由概率加法得出結論．
13．（2021·廣東·廣州奧林匹克中學高二階段練習）某校進行羽毛球比賽，因為人數較多，故分成A，B兩組進行小組比賽，甲乙分在不同的組，已知甲晉級下一輪的概率是、乙晉級下一輪的概率是，且甲乙比賽結果相互獨立，若“甲乙至少有一個晉級下一輪”的概率是，則_______.（用數字作答）
【答案】##
【解析】
【分析】
甲乙至少有一個晉級下一輪與甲乙一個都沒晉級下一輪互為對立事件，即概率相加為，，即可求出.
【詳解】
甲乙至少有一個晉級下一輪與甲乙一個都沒晉級下一輪互為對立事件，甲晉級下一輪的概率是，甲未晉級下一輪的概率是，乙晉級下一輪的概率是，乙未晉級下一輪的概率是，，.
故答案為：.
14．（2021·江西·南昌十中高二階段練習（文））冬天的北方室外溫度極低，若輕薄保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，醫(yī)務工作者行動會更方便．研究人員得到石墨烯后，再制作石墨烯發(fā)熱膜有三個環(huán)節(jié)：①透明基底及膠層；②石墨烯層；③表面封裝層．每個環(huán)節(jié)生產合格的概率均為，且各生產環(huán)節(jié)相互獨立．求成功生產出質量合格的發(fā)熱膜概率為________．
【答案】
【解析】
【分析】
要使生產出質量合格的發(fā)熱膜，則三個環(huán)節(jié)都必須合格，利用獨立事件的乘法公式，求成功生產出質量合格的發(fā)熱膜概率即可.
【詳解】
由題意，要成功生產出質量合格的發(fā)熱膜，則制作石墨烯發(fā)熱膜有三個環(huán)節(jié)都必須合格，
∴成功生產出質量合格的發(fā)熱膜概率.
故答案為：
B組 能力提升
15．（2022·全國·高一課時練習）(多選題)下列試驗中，隨機事件有（ ）
A．某射手射擊一次，射中10環(huán)
B．同時擲兩枚骰子，都出現(xiàn)6點
C．某人購買福利彩票未中獎
D．若x為實數，則x2＋1≥1
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根據必然事件，不可能事件，隨機事件的概念判斷即可求解.
【詳解】
某射手射擊一次，射中10環(huán)是隨機事件；同時擲兩枚骰子，都出現(xiàn)6點是隨機事件；
某人購買福利彩票未中獎是隨機事件；若x為實數，則x2＋1≥1是必然事件.
故選：ABC
16．（2021·遼寧·沈陽市第一二〇中學高一階段練習）(多選題)以下結論中正確的有（ ）
A．投擲一枚骰子，事件“出現(xiàn)的點數至少是5點”和“出現(xiàn)的點數至多是2點”是互斥事件
B．投擲一枚硬幣，事件“結果為正面向上”和“結果為反面向上”是對立事件
C．5個閹中有一個是中簽的閹，甲、乙兩人同時各抽一個，事件“甲中簽”和“乙中簽”是對立事件
D．從兩男兩女四個醫(yī)生中隨機選出兩人組建救援隊，抽選結果的基本事件是“一男一女”、“兩個男醫(yī)生”、“兩個女醫(yī)生”，共三種
【答案】AB
【解析】
【分析】
A中事件“至少出現(xiàn)5點”和“至多出現(xiàn)2點”是互斥事件，所以該選項正確；
B中事件“結果正面向上”的發(fā)生與“結果反面向上”是對立事件．所以該選項正確；
C中事件“甲中簽”和“乙中簽”是互斥事件但不是對立事件．所以該選項錯誤；
D中三種事件不能構成基本事件，所以該選項錯誤.
【詳解】
A中事件“至少出現(xiàn)5點”和“至多出現(xiàn)2點”不可能同時發(fā)生，所以是互斥事件，所以該選項正確；
B中事件“結果正面向上”的發(fā)生與“結果反面向上”的發(fā)生不可能同時出現(xiàn)，所以是互斥事件，但所有結果只有兩種，所以事件“結果正面向上"和“結果反面向上”是對立事件．所以該選項正確；
C中事件“甲中簽”和“乙中簽”是不可能同時發(fā)生，但也可能是“甲，乙兩人都不中簽”發(fā)生，所以事件“甲中簽”和“乙中簽”是互斥事件但不是對立事件．所以該選項錯誤；
D中設兩男為，，兩女為，，則“”，“”，“”，“”，“”，“”為等可能事件，可以組成一個基本事件空間，顯然“一男一女”包含“”，“”，“”，“”四種情況，“兩個男醫(yī)生”只包括“”一種情況，“兩個女醫(yī)生”也只包括“”一種情況，概率不相等，所以不能構成基本事件．所以該選項錯誤.
故選：AB
17．（2022·全國·高一課時練習）(多選題)將一枚質地均勻且各面分別標有數字，，，的正四面體骰子連續(xù)拋擲次，觀察底面上的數字，則下列說法正確的是（ ）
A．三次都出現(xiàn)相同數字的概率為
B．沒有出現(xiàn)數字的概率為
C．至少出現(xiàn)一次數字的概率為
D．三個數字之和為的概率為
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用古典概型的概率公式與對立事件的概率性質逐一驗證即可
【詳解】
由題意知：實驗發(fā)生所包含的事件為3個均勻的正四面體與底面接觸，共有種結果；
三次都出現(xiàn)相同數字的事件為：111,222,333,444，共4種結果，三次都出現(xiàn)相同數字的概率為，故A錯誤；
沒有出現(xiàn)數字，即這3次拋擲出的均為2，3，4中的其中一個，共有種，沒有出現(xiàn)數字的概率為，故B正確；
至少出現(xiàn)一次數字的概率為，故C正確；
三個數字之和為的事件為：441，414，144，333，432，423，234，243，342，324共10種，三個數字之和為的概率為，故D正確；
故選：BCD
18．（2022·全國·高二單元測試）(多選題)如果知道事件已發(fā)生，則該事件所給出的信息量稱為“自信息”．設隨機變量的所有可能取值為，，…，，且，，定義的“自信息”為．一次擲兩個不同的骰子，若事件為“僅出現(xiàn)一個2”，事件為“至少出現(xiàn)一個5”，事件為“出現(xiàn)的兩個數之和是偶數”，則（ ）
A．當時，“自信息”
B．當時，
C．事件的“自信息”
D．事件的“自信息”大于事件的“自信息”
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根據題中條件，由對數運算可得A正確；根據對數函數的單調性，可得B錯；根據古典概型的概率計算公式，求出，得到，即可判斷C正確；根據古典概型的概率計算公式，分別求出事件與事件發(fā)生的概率，得出與，即可判斷D正確.
【詳解】
A選項，當時，，即A正確；
B選項，因為對數函數是增函數，所以是減函數；因此，當時，，即，故B錯；
C選項，一次擲兩個骰子，所包含的基本事件的個數為個；“出現(xiàn)的兩個數之和是偶數”所包含的情況有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共個基本事件；
則，所以，故C正確；
D選項，事件“僅出現(xiàn)一個2”，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，共個基本事件；
事件“至少出現(xiàn)一個5”，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共個基本事件；
所以，，則；因此，即D正確；
故選：ACD.
19．（2022·全國·高二課時練習）假設5名工人獨立地工作每名工人在1h內平均有12min需要用電（即任時刻需要用電的概率為）.
(1)求在同一時刻恰有3名工人需要用電的概率；
(2)如果在同一時刻最多只能供給3名工人所需的電力，求超過負荷的概率．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用相互獨立事件的概率公式可得可求；
（2）超過負荷的概率可求．
(1)
解：在同一時刻恰有3名工人需要電力的概率.
(2)
解：超過負荷的概率．
40．（2022·全國·高二課時練習）男、女兩名運動員分別參加不同的長跑比賽，根據以往經驗，他們獲得冠軍的概率分別為0.6與0.5，求下列事件的概率.
(1)兩人都得冠軍；
(2)至少一人得冠軍.
【答案】(1)0.3
(2)0.8
【解析】
【分析】
(1)由相互獨立事件的概率乘法公式可得；
(2)利用對立事件與相互獨立事件的概率公式可得.
(1)
記事件A為：男運動員獲得冠軍;
事件B為：女運動員獲得冠軍.
則
(2)
至少有一人得冠軍的概率
20．（2022·全國·模擬預測（文））某市因防控新冠疫情的需要，在今年年初新增加了一家專門生產消毒液的工廠，質檢部門現(xiàn)從這家工廠中隨機抽取了100瓶消毒液，檢測其質量指標值x，得到該廠所生產的消毒液質量指標值的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定：當或時，消毒液為二等品；當或時，消毒液為一等品；當時，消毒液為特等品（將頻率視為概率）.
(1)現(xiàn)在從抽樣的100瓶消毒液中隨機抽取2瓶二等品，求這2瓶二等品消毒液中其質量指標值的消毒液恰好有1瓶的概率；
(2)若每瓶消毒液的生產成本為20元，特等品售價每瓶35元，一等品售價每瓶30元，二等品售價每瓶25元.政府指定該工廠5月份只生產10萬瓶高考考場專用消毒液，要求高考考點使用特等品和一等品消毒液，剩下的二等品全部免費贈送給某區(qū)教育局用于各小學操場消毒.假定教育局全部購買了該廠5月份生產的特等品和一等品消毒液，估計該廠5月份生產的消毒液的利潤（利潤=銷售收入-成本）是多少萬元？
【答案】(1)；
(2)104萬元.
【解析】
【分析】
（1）根據直方圖求100瓶的樣本中二等品、所抽取的瓶數，再應用列舉法求概率.
（2）利用直方圖求特等品和一等品消毒液的數量，由已知求該廠5月份生產的消毒液的利潤.
(1)
在100瓶的樣本中的共抽取瓶，不妨設為，，
的共抽取瓶，不妨設為1，2，3，
則從這5瓶二等品中抽取2瓶包含如下基本事件：，，，，，，，，，共10個基本事件，
質量指標值的消毒液恰好有1瓶的基本事件有：，，，，，，共6個基本事件，
所以這2瓶二等品消毒液中其質量指標值的消毒液恰好有1瓶的概率為.
(2)
該廠5月份生產特等品的消毒液為萬瓶，
一等品的消毒液為萬瓶，
該廠5月份生產的消毒液的利潤是萬元，
所以該廠5月份生產的消毒液的利潤是104萬元.
21．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預測（文））哈三中從甲?乙兩個班級中選拔一個班級代表學校參加知識競賽，在校內組織預測試，為測試兩班平均水準，要求每班參加預測試的代表學生應按班級人數的隨機選出，現(xiàn)甲班學生60人，乙班學生40人.
(1)若乙班將學生按1，2，3…39，40進行編號，采用系統(tǒng)抽樣的方法等距抽取，若第二段被抽取的學生編號為7，求第四段抽取的學生編號（直接寫出結果，無需過程）；
(2)現(xiàn)從甲乙兩班代表學生中分層抽樣選取5人，再從5人中隨機抽取2人參加加試，求抽取的2人恰好來自一個班級的概率.
【答案】(1)17
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據系統(tǒng)抽樣的方法抽樣即可得答案；
（2）根據古典概型求解即可.
(1)
解：由系統(tǒng)抽樣得，乙班的抽樣人數為，故組距為，
因為第二段被抽取的學生編號為7，則第四段抽取的學生編號.
(2)
解：設“抽取的2名同學來自同一班級”為事件A
由題意知，甲班同學中抽取3人，分別用表示，
乙班同學中抽取2人，分別用表示，
從這5名同學中抽取2人所有可能出現(xiàn)的結果有：
共10種
抽取的2名同學來自同一班級的結果有：
共4種
所以，抽取的2名同學的分數不在同一組內的概率為
22．（2022·吉林·長春市第二實驗中學高一期中）高一年級疫情期間舉行全體學生的數學競賽，成績最高分為100分，隨機抽取100名學生進行了數據分析，將他們的分數分成以下幾組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到頻率分布直方圖，如圖所示．
(1)試估計這次競賽成績的眾數和平均數；
(2)已知100名學生落在第二組的平均成績是32，方差為7，落在第三組的平均成績?yōu)?0，方差為4，求兩組學生成績的總平均數和總方差；
(3)已知年級在第二組和第五組兩個小組按等比例分層抽樣的方法，隨機抽取4名學生進行座談，之后從這4人中隨機抽取2人作為學生代表，求這兩名學生代表都來自第五組的概率．
【答案】(1)眾數：70；平均數：65
(2)；
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據眾數和平均數的計算方法計算即可
（2）分別計算兩組的人數，再根據平均數與方差的公式求解即可；
（3）分別計算兩組的人數，再根據古典概型的方法計算即可
(1)
由圖可得，眾數為，第一組，第二組，第三組，第四組，第五組所占的頻率分別為，，，，，故平均數為
(2)
由圖可得，第二組的人數為人，第三組的人數為，故.
設第二組中10人的分數分別為，第三組中20人的分數分別為，則由題意可得，，即，，故
(3)
由題，第二組和第五組的人數比為，故在第二組和第五組分別抽1人和3人.記第二組中的1人為，第五組中的3人分別為，則這4人中隨機抽取2人作為學生代表，所有可能的情況有,,,,,共6種情況，其中這兩名學生代表都來自第五組的有,,3種情況.設“從這4人中隨機抽取2人作為學生代表，這兩名學生代表都來自第五組”的事件為，則

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