備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第六章平面向量復(fù)數(shù)第3講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

這是一份備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第六章平面向量復(fù)數(shù)第3講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用，共8頁(yè)。
注意 確定向量的夾角時(shí)應(yīng)注意“共起點(diǎn)”.
思維拓展
1.兩個(gè)向量夾角的范圍為[0，π]，兩條直線(xiàn)夾角的范圍為[0，π2].
2.（1）兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且向量a，b不共線(xiàn)；
（2）兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且向量a，b不共線(xiàn).
2.平面向量的數(shù)量積
已知兩個(gè)非零向量a與b的夾角為θ，我們把數(shù)量⑤ ｜a｜｜b｜c(diǎn)sθ 叫做向量a與b的數(shù)量積，記作⑥ a·b .
注意 零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
3.投影與投影向量
如圖，過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作向量CD所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，我們稱(chēng)上述變換為向量a向向量b⑦ 投影 ，A1B1叫做向量a在向量b上的⑧ 投影向量 .
設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則A1B1＝｜a｜c(diǎn)sθe.
4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律
對(duì)于向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，有
（1）a·b＝b·a；
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；
（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.
注意 （1）向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿(mǎn)足乘法結(jié)合律，即（a·b）·c不一定等于a·（b·c），這是由于（a·b）·c表示一個(gè)與c共線(xiàn)的向量，a·（b·c）表示一個(gè)與a共線(xiàn)的向量，而c與a不一定共線(xiàn).
（2）a·b＝a·c（a≠0）b＝c，等式兩邊不能約去同一個(gè)向量.
（3）平方差公式、完全平方公式仍適用.
5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a與b的夾角為θ.
1.以下說(shuō)法正確的是（ A ）
A.兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量
B.由a·b＝0可得a＝0或b＝0
C.（a·b）·c＝a·（b·c）
D.已知兩個(gè)非零向量a與b的夾角為θ，若a·b＞0，則θ為銳角
2.[教材改編]已知向量a＝（1＋x，x－3），b＝（1－x，2），a·b＝－4，則a＋2b與b的夾角為（ B ）
A.π3B.π4C.2π3D.3π4
解析 因?yàn)閍·b＝－4，所以（1＋x）（1－x）＋2（x－3）＝－4，得x＝1.所以a＝（2，－2），b＝（0，2），所以a＋2b＝（2，2），｜a＋2b｜＝22＋22＝22，｜b｜＝2，所以cs＜a＋2b，b＞＝（a+2b）·b｜a+2b||b｜＝422×2＝22.又＜a＋2b，b＞∈[0，π]，所以a＋2b與b的夾角為π4.故選B.
3.[2022全國(guó)卷甲]已知向量a＝（m，3），b＝（1，m＋1）.若a⊥b，則m＝ －34 .
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝m＋3（m＋1）＝4m＋3＝0，解得m＝－34.
4.已知點(diǎn)A（－1，1），B（1，2），C（－2，－1），D（3，4），則AB在CD方向上的投影向量為 （32，32） .
解析 依題意，得CD＝（5，5），則與CD同向的單位向量e＝CD｜CD｜＝（22，22），AB＝（2，1），則AB在CD方向上的投影向量為AB·CD｜CD｜·e＝10+552（22，22）＝322（22，22）＝（32，32）.
5.[易錯(cuò)題]已知平面內(nèi)三個(gè)向量a，b，c兩兩夾角相等，且｜a｜＝｜b｜＝1，｜c(diǎn)｜＝3，則｜a＋b＋c｜＝ 2或5 .
解析 當(dāng)a，b，c共線(xiàn)時(shí)，｜a＋b＋c｜＝｜a｜＋｜b｜＋｜c(diǎn)｜＝5；當(dāng)a，b，c兩兩夾角為2π3時(shí)，a·b＝－12，a·c＝b·c＝－32.｜a＋b＋c｜＝｜a｜2＋｜b｜2＋｜c(diǎn)｜2+2a·b+2a·c+2b·c＝1+1+9－1－3－3＝2.
研透高考 明確方向
命題點(diǎn)1 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
例1 （1）[2023全國(guó)卷乙]正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，則EC·ED＝（ B ）
A.5B.3C.25D.5
解析 解法一 由題意知，EC＝EB＋BC＝12AB＋AD，ED＝EA＋AD＝－12AB＋AD，所以EC·ED＝（12AB＋AD）·（－12AB＋AD）＝｜AD｜2－14｜AB｜2，由題意知｜AD｜＝
｜AB｜＝2，所以EC·ED＝4－1＝3，故選B.
解法二 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD的方向分別為x，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則E（1，0），C（2，2），D（0，2），則EC＝（1，2），ED＝（－1，2），EC·ED＝－1＋4＝3，故選B.
（2）[2022全國(guó)卷甲]設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為13，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，則（2a＋b）·b＝ 11 .
解析 （2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜｜b｜c(diǎn)s＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×13＋32＝11.
方法技巧
求非零向量a，b的數(shù)量積的方法
1.定義法：a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)sθ.
2.基底法：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別表示出來(lái)，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求解.
3.坐標(biāo)法：已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，利用a·b＝x1x2＋y1y2求解.
訓(xùn)練1 （1）[2022全國(guó)卷乙]已知向量a，b滿(mǎn)足｜a｜＝1，｜b｜＝3，｜a－2b｜＝3，則a·b＝（ C ）
A.－2B.－1C.1D.2
解析 由｜a－2b｜＝3，可得｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝9.
又｜a｜＝1，｜b｜＝3，所以a·b＝1，故選C.
（2）[全國(guó)卷Ⅱ]已知AB＝（2，3），AC＝（3，t），｜BC｜＝1，則AB·BC＝（ C ）
A.－3B.－2C.2D.3
解析 因?yàn)锽C＝AC－AB＝（1，t－3），所以｜BC｜＝1+（t－3）2＝1，解得t＝3，所以BC＝（1，0），所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2，故選C.
命題點(diǎn)2 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
角度1 向量的模問(wèn)題
例2 （1）[2022全國(guó)卷乙]已知向量a＝（2，1），b＝（－2，4），則｜a－b｜＝（ D ）
A.2B.3C.4D.5
解析 由題意知a－b＝（2，1）－（－2，4）＝（4，－3），所以｜a－b｜＝42＋（－3）2＝5.故選D.
（2）[2023新高考卷Ⅱ]已知向量a，b滿(mǎn)足｜a－b｜＝3，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，則
｜b｜＝ 3 .
解析 由｜a－b｜＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3 ①.由｜a＋b｜＝
｜2a－b｜，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，a2＝2a·b，結(jié)合①，得a2＝a2＋b2－3，整理得，b2＝3，所以｜b｜＝3.
方法技巧
求平面向量模的兩種方法
角度2 向量的夾角問(wèn)題
例3 （1）[2023全國(guó)卷甲]已知向量a，b，c滿(mǎn)足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c(diǎn)｜＝2，且a＋b＋c＝0，則cs＜a－c，b－c＞＝（ D ）
A.－45B.－25C.25D.45
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式兩邊同時(shí)平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.
解法一 ∵a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且｜a－c｜＝｜2a＋b｜＝（2a＋b）2＝4+1＝5，｜b－c｜＝｜a＋2b｜＝（a+2b）2＝1+4＝5，
∴cs＜a－c，b－c＞＝（a－c）·（b－c）｜a－c｜·｜b－c｜＝45，故選D.
解法二 如圖，令OA＝a，OB＝b，則OC＝c，∴CA＝a－c，CB＝b－c，而｜AB｜＝2，｜AC｜＝｜BC｜＝5，在△ABC中，由余弦定理得cs＜a－c，b－c＞＝cs＜CA，CB＞＝cs∠ACB＝5+5－225×5＝45，故選D.
解法三 如圖，令向量a，b的起點(diǎn)均為O，終點(diǎn)分別為A，B，以O(shè)A，OB的方向分別為x，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則a＝（1，0），b＝（0，1），c＝－a－b＝
（－1，－1），所以a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），則cs＜a－c，b－c＞＝（a－c）·（b－c）｜a－c｜·｜b－c｜＝2+25×5＝45，故選D.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝
＜b，c＞，則t＝（ C ）
A.－6B.－5C.5D.6
解析 解法一 由題意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因?yàn)椋糰，c＞＝＜b，c＞，所以cs＜a，c＞＝cs＜b，
c＞，即a·c｜a||c｜＝b·c｜b||c｜，即25+3t5＝3＋t，解得t＝5.故選C.
解法二 因?yàn)椋糰，c＞＝＜b，c＞，且c＝a＋tb，所以由向量加法的平行四邊形法則得｜a｜＝t｜b｜，易知｜a｜＝5，｜b｜＝1，所以t＝5.
方法技巧
求平面向量夾角問(wèn)題的三種方法
角度3 向量的垂直問(wèn)題
例4 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知向量a＝（1，1），b＝（1，－1）.若（a＋λb）⊥（a＋μb），則（ D ）
A.λ＋μ＝1B.λ＋μ＝－1
C.λμ＝1D.λμ＝－1
解析 因?yàn)閍＝（1，1），b＝（1，－1），所以a＋λb＝（1＋λ，1－λ），a＋μb＝（1＋μ，1－μ），因?yàn)椋╝＋λb）⊥（a＋μb），所以（a＋λb）·（a＋μb）＝0，所以（1＋λ）（1＋μ）＋（1－λ）（1－μ）＝0，整理得λμ＝－1.故選D.
（2）[全國(guó)卷Ⅱ]已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是（ D ）
A.a＋2bB.2a＋bC.a－2bD.2a－b
解析 解法一 由題意，得a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)s 60°＝12.對(duì)于A，（a＋2b）·b＝a·b＋2b2＝12＋2＝52≠0，故A不符合題意；對(duì)于B，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合題意；對(duì)于C，（a－2b）·b＝a·b－2b2＝12－2＝－32≠0，故C不符合題意；對(duì)于D，（2a－b）·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以（2a－b）⊥b，符合題意.故選D.
解法二 根據(jù)條件，分別作出向量b與A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的向量的位置關(guān)系，如圖所示.
A B C D
由圖易知，只有選項(xiàng)D滿(mǎn)足題意.故選D.
解法三 不妨設(shè)a＝（12，32），b＝（1，0），則a＋2b＝（52，32）， 2a＋b＝（2，3），a－2b＝（－32，32），2a－b＝（0，3），易知，只有（2a－b）·b＝0，即（2a－b）⊥b.故選D.
方法技巧
1.證明兩個(gè)向量垂直的解題策略
先計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)或表示出兩個(gè)向量，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可.
2.已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值
根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù).
訓(xùn)練2 （1）[2023廣州市二檢]已知兩個(gè)非零向量a，b滿(mǎn)足｜a｜＝3｜b｜，（a＋b）⊥b，則cs 〈a，b〉＝（ D ）
A.12B.－12C.13D.－13
解析 因?yàn)椋╝＋b）⊥b，所以（a＋b）·b＝0，即a·b＝－b2，所以｜a｜·｜b｜·cs 〈a，b〉＝－｜b｜2，即3｜b｜·｜b｜c(diǎn)s 〈a，b〉＝－｜b｜2，則cs 〈a，b〉＝－13.故選D.
（2）[2021全國(guó)卷甲]若向量a，b滿(mǎn)足｜a｜＝3，｜a－b｜＝5，a·b＝1，則｜b｜＝ 32 .
解析 由｜a－b｜＝5得（a－b）2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，結(jié)合｜a｜＝3，a·b＝1，得32－2×1＋｜b｜2＝25，所以｜b｜＝32.
命題點(diǎn)3 平面向量的應(yīng)用
例5 在日常生活中，我們會(huì)看到兩人共提一個(gè)行李包的情況（如圖）.假設(shè)行李包所受重力為G，所受的兩個(gè)拉力分別為F1，F(xiàn)2.若｜F1｜＝
｜F2｜，F(xiàn)1與F2的夾角為θ，則下列結(jié)論不正確的是（ D ）
A.｜F1｜的最小值為12｜G｜
B.當(dāng)θ＝2π3時(shí)，｜F1｜＝｜G｜
C.當(dāng)θ＝π2時(shí)，｜F1｜＝22｜G｜
D.當(dāng)θ＝2π3時(shí)，F(xiàn)1在F2方向上的投影數(shù)量為｜G｜2
解析 由題意知，｜G｜＝｜F1＋F2｜，且｜G｜為定值，因?yàn)椋麱1｜＝｜F2｜，所以
｜G｜2＝｜F1｜2＋｜F2｜2＋2｜F1｜｜F2｜·cs θ＝2｜F1｜2（1＋cs θ），所以｜F1｜2＝｜G｜22（1+csθ）.
當(dāng)θ∈（0，π）時(shí)，y＝cs θ單調(diào)遞減，
所以關(guān)于θ的函數(shù)y＝｜F1｜2＝｜G｜22（1+csθ）單調(diào)遞增，
即θ越大越費(fèi)力，θ越小越省力.
當(dāng)θ＝0時(shí)，｜F1｜min＝12｜G｜；
當(dāng)θ＝π2時(shí)，｜F1｜＝22｜G｜；
當(dāng)θ＝2π3時(shí)，｜F1｜＝｜G｜.故A，B，C正確.
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)θ＝2π3時(shí)，F(xiàn)1在F2方向上的投影數(shù)量為｜F1｜c(diǎn)s 2π3＝｜G｜c(diǎn)s2π3＝
－｜G｜2，故D不正確.故選D.
方法技巧
用向量方法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟
訓(xùn)練3 一條東西方向的河流兩岸平行，河寬2503 m，河水的速度為正東3 km/h.一艘小貨船準(zhǔn)備從河流南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河流對(duì)岸對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q（PQ與河流的方向垂直）的正西方向并且與Q相距250 m的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為 5 km/h，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行速度的大小為（ C ）
A.33 km/hB.6 km/h
C.7 km/hD.36 km/h
解析 連接PM，由題意得，當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，其航線(xiàn)為線(xiàn)段PM.
設(shè)小貨船航行的速度為v，水流的速度為v1，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為v2，作出示意圖，如圖所示.
PQ＝2503 m，QM＝250 m.
在Rt△PQM中，（根據(jù)“PQ與河流的方向垂直”得到△PMQ的形狀）
tan∠PMQ＝PQQM＝2503250＝3，由題意∠PMQ∈（0，π2），
所以∠PMQ＝π3，∠MPQ＝π6，＜v1，v2＞＝π2＋π6＝2π3，
易知v＝v2－v1，｜v1｜＝3，｜v2｜＝5，
所以｜v｜＝（v2－v1）2＝｜v2｜2＋｜v1｜2－2v1·v2＝52＋32－2×5×3cs2π3＝7，
所以小貨船航行速度的大小為7 km/h，故選C.課標(biāo)要求
命題點(diǎn)
五年考情
命題分析預(yù)測(cè)
1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.
2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.
3.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.
4.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角.
5.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題以及其他實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.
平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
2023全國(guó)卷乙T6；2022全國(guó)卷乙T3；2022全國(guó)卷甲T13；2021新高考卷ⅡT15；2020北京T13；2019全國(guó)卷ⅡT3
本講每年必考，主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的夾角、模長(zhǎng)、垂直問(wèn)題，一般以客觀題形式出現(xiàn)，難度不大.預(yù)計(jì)2025年高考命題穩(wěn)定，常規(guī)備考的同時(shí)要關(guān)注向量與三角、解析幾何等的綜合以及坐標(biāo)法在解題中的應(yīng)用.
平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
2023新高考卷ⅠT3；2023新高考卷ⅡT13；2023全國(guó)卷甲T4；2022全國(guó)卷乙T3；2022新高考卷ⅡT4；2022天津T14；2021新高考卷ⅠT10；2021全國(guó)卷甲T14；2021全國(guó)卷甲T14；2021全國(guó)卷乙T14；2020全國(guó)卷ⅠT14；2020全國(guó)卷ⅡT13；2020新高考卷ⅠT7；2019全國(guó)卷ⅠT7
平面向量的應(yīng)用
2023全國(guó)卷乙T12；2020天津T15
定義
圖示
范圍
共線(xiàn)與垂直
已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn).作OA＝a，OB＝b，則① ∠AOB 叫做向量a與b的夾角，記作＜a，b＞.
設(shè)θ是a與b的夾角，則θ的取值范圍是② [0，π] .
θ＝0或π?③ a∥b ，
④ θ＝π2 ? a⊥b.
幾何表示
坐標(biāo)表示
數(shù)量積
a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)sθ.
a·b＝⑨ x1x2＋y1y2 .
模
｜a｜＝a·a.
｜a｜＝⑩ x12＋y12 .
夾角
cs θ＝? a·b｜a||b｜ .
cs θ＝x1x2＋y1y2x12＋y12·x22＋y22.
a⊥b的充要條件
a·b＝0.
? x1x2＋y1y2＝0 .
a∥b的充要條件
a＝λb（λ∈R）.
? x1y2－x2y1＝0 .
｜a·b｜與
｜a｜｜b｜的關(guān)系
｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立）.
｜x1x2＋y1y2｜≤
（x12＋y12)(x22＋y22）.
公式法
利用如下公式轉(zhuǎn)化求解.
①a2＝a·a＝｜a｜2或｜a｜＝a·a；
②｜a±b｜＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；
③若a＝（x，y），則｜a｜＝x2＋y2.
幾何法
利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等求解.
定義法
當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，由cs θ＝a·b｜a||b｜求解.
坐標(biāo)法
若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則cs＜a，b＞＝x1x2＋y1y2x12＋y12·x22＋y22，＜a，b＞∈[0，π].
解三角
形法
可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解.注意向量夾角與三角形內(nèi)角的關(guān)系.