1.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
注意 對(duì)于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要使它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0.當(dāng)題中條件未說明a≠0時(shí)，要討論a＝0和a≠0兩種情況.
2.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系
對(duì)于a＜0的情況同理可得出相應(yīng)的結(jié)論.
注意 （1）當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含參時(shí)，需要對(duì)參數(shù)分類討論；（2）對(duì)于含參的一元二次不等式，需要注意對(duì)應(yīng)的一元二次方程兩根的大小關(guān)系.
常用結(jié)論
分式不等式的解法
（1）f（x）g（x）＞0?f（x）g（x）＞0；（2）f（x）g（x）＜0?f（x）g（x）＜0；（3）f（x）g（x）≥0?f（x）g（x）≥0，g（x）≠0；
（4）f（x）g（x）≤0?f（x）g（x）≤0，g（x）≠0；（5）f（x）g（x）＜a（a≠0）?f（x）g（x）－a＜0（a≠0）.
1.不等式x－3x－2＜0的解集為（ B ）
A.?B.（2，3）
C.（－∞，2）∪（3，＋∞）D.（－∞，＋∞）
解析 x－3x－2＜0等價(jià)于（x－3）（x－2）＜0，解得2＜x＜3.
2.已知函數(shù)f（x）＝ax2＋ax＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是（ B ）
A.（0，20）B.[0，20）C.[0，20]D.[20，＋∞）
3.一元二次不等式2x2＋mx＋n＞0的解集是{x｜x＞3或x＜－2}，則m＋n的值是（ D ）
A.14B.0C.－10D.－14
解析 由題意可知一元二次方程2x2＋mx＋n＝0的兩個(gè)根分別為3，－2，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得－2+3=－m2，－2×3=n2，解得m＝－2，n＝－12，所以m＋n＝－14.故選D.
4.[多選]下列說法不正確的是（ BCD ）
A.若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為（x1，x2），則必有a＞0
B.若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R
C.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且b2－4ac≤0
D.x－ax－b≥0?（x－a）（x－b）≥0（a≠b）
5.1+x＜1＋x2的解集為 [－1，0）∪（0，＋∞） .
研透高考 明確方向
命題點(diǎn)1 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
角度1 二次函數(shù)的圖象及應(yīng)用
例1 （1）[2024江蘇省蘇州市模擬]一次函數(shù)y＝ax－b（a≠0）與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（ B ）
解析 若a＞0，則一次函數(shù)y＝ax－b（a≠0）為增函數(shù)，
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象開口向上，故可排除A；若a＜0，則一次函數(shù)y＝ax－b（a≠0）為減函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象開口向下，故可排除D；對(duì)于選項(xiàng)C，由直線可知a＜0，b＞0，從而－b2a＞0，即二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸應(yīng)該在y軸的右側(cè)，故應(yīng)排除C.故選B.
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，3），且截x軸所得的線段長(zhǎng)為2，若對(duì)任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），則f（x）＝ x2－4x＋3 .
解析 因?yàn)閒（2－x）＝f（2＋x）對(duì)任意x∈R恒成立，所以f（x）圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2.又f（x）的圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)為2，所以f（x）＝0的兩根為1和3.設(shè)f（x）的解析式為f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0），因?yàn)閒（x）的圖象過點(diǎn)（4，3），所以3a＝3，即a＝1，所以f（x）＝（x－1）（x－3）＝x2－4x＋3.
方法技巧
識(shí)別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會(huì)“三看”
角度2 二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
例2 （1）[2024江西景德鎮(zhèn)統(tǒng)考改編]若函數(shù)f（x）＝x2－3x－4在區(qū)間[t，t＋2]上的最小值為6，則實(shí)數(shù)t＝ －4或5 .
解析 當(dāng)t＋2≤32，即t≤－12時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t＋2]上單調(diào)遞減，則f（x）min＝
f（t＋2）＝（t＋2）2－3（t＋2）－4＝t2＋t－6＝6，解得t＝－4或t＝3（舍去）；當(dāng)t≥32時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t＋2]上單調(diào)遞增，則f（x）min＝f（t）＝t2－3t－4＝6，解得t＝5或t＝－2（舍去）；當(dāng)t＜32＜t＋2，即－12＜t＜32時(shí)，函數(shù)f（x）min＝f（32）＝－254≠6.
綜上所述，t＝－4或t＝5.
命題拓展
[變條件]若函數(shù)f（x）＝x2－3x－4在區(qū)間[t，t＋2]上的最大值為6，則實(shí)數(shù)t＝ －2或3 .
解析 因?yàn)閒（x）＝x2－3x－4在區(qū)間[t，t＋2]上的最大值為6，且其圖象的對(duì)稱軸方程為x＝32，所以當(dāng)32－t＞1，即t＜12時(shí)，f（x）max＝f（t）＝t2－3t－4＝6，解得t＝5（舍去）或t＝－2；當(dāng)32－t≤1，即t≥12時(shí)，f（x）max＝f（t＋2）＝（t＋2）2－3（t＋2）－4＝t2＋t－6＝6，解得t＝－4（舍去）或t＝3.綜上所述，t＝－2或3.
（2）若函數(shù)f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1的單調(diào)遞減區(qū)間是[－1，＋∞），則a＝ －3 .
解析 由題意知f（x）為二次函數(shù)且a＜0，3－a2a＝－1，所以a＝－3.
命題拓展
[變條件]若函數(shù)f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在區(qū)間[－1，＋∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 [－3，0] .
解析 當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝－3x＋1在[－1，＋∞）上單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，
f（x）圖象的對(duì)稱軸為直線x＝3－a2a，由f（x）在[－1，＋∞）上單調(diào)遞減知a0，h（2）=2（x－2）＋（x－2)(x－3）>0，解得x＜1或x＞3.故選A.
方法技巧
1.一元二次不等式在R上恒成立，可以利用判別式判斷.
2.一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，一般分離參數(shù)求最值或分類討論.
3.一元二次不等式在給定參數(shù)范圍恒成立，可變換主元求解，一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù).
方法技巧
求解不等式恒成立問題的常用方法
訓(xùn)練3 （1）已知a∈[－1，1]時(shí)，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，則x的取值范圍為（ C ）
A.（－∞，2）∪（3，＋∞）
B.（－∞，1）∪（2，＋∞）
C.（－∞，1）∪（3，＋∞）
D.（1，3）
解析 把不等式的左邊看成關(guān)于a的一次函數(shù)，記f（a）＝（x－2）a＋x2－4x＋4，則由
f（a）＞0對(duì)于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）＝x2－5x＋6＞0，且f（1）＝x2－3x＋2＞0，解不等式組x2－5x+6>0，x2－3x+2>0，得x＜1或x＞3.故選C.
（2）[2024江蘇省揚(yáng)州市模擬]設(shè)函數(shù)f（x）＝mx2－mx－1，若對(duì)于任意的x∈{x｜1≤x≤2}，f（x）＜－m＋4恒成立，則（ C ）
A.m≤0B.0≤m＜53
C.m＜53D.0＜m＜53
解析 ∵?x∈[1，2]，mx2－mx－1＜－m＋4恒成立，
∴m（x2－x＋1）＜5對(duì)?x∈[1，2]恒成立，
又當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，y＝x2－x＋1＝（x－12）2＋34∈[1，3]，
∴m＜（5x2－x+1）min＝53，即m＜53.
故選C.
（3）[2024湖南省長(zhǎng)沙市模擬]已知關(guān)于x的不等式kx2－3kx＋k＋5＞0對(duì)任意x∈R恒成立，則k的取值范圍為 [0，4） .
解析 當(dāng)k＝0時(shí)，不等式為5＞0，恒成立，符合題意；當(dāng)k＞0時(shí)，若不等式kx2－3kx＋k＋5＞0對(duì)任意x∈R恒成立，則對(duì)應(yīng)方程的Δ＝9k2－4k（k＋5）＜0，解得0＜k＜4；
當(dāng)k＜0時(shí)，不等式kx2－3kx＋k＋5＞0不能對(duì)任意x∈R恒成立.
綜上，k的取值范圍是[0，4）.課標(biāo)要求
命題點(diǎn)
五年考情
命題分析預(yù)測(cè)
1.會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.
2.經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.
二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
2023新高考卷ⅠT4；2020新高考卷ⅡT7
本講很少單獨(dú)命題，常與其他知識(shí)綜合命題，如作為工具求解集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等問題，命題熱點(diǎn)有一元二次不等式的解法及恒成立問題，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).預(yù)計(jì)2025年高考命題點(diǎn)變化不大，復(fù)習(xí)備考時(shí)要重點(diǎn)掌握一元二次不等式的解法，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并能充分運(yùn)用.
“三個(gè)二次”之間的關(guān)系與一元二次不等式的解法
一元二次不等式的恒成立問題
2019天津T8
函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）
y＝ax2＋bx＋c（a＜0）
圖象
開口向上的拋物線
開口向下的拋物線
定義域
R
R
值域
[4ac－b24a，＋∞）
（－∞，4ac－b24a]
單調(diào)性
在① （－∞，－b2a） 上單調(diào)遞減，
在② （－b2a，＋∞） 上單調(diào)遞增
在③ （－∞，－b2a） 上單調(diào)遞增，
在④ （－b2a，＋∞） 上單調(diào)遞減
奇偶性
當(dāng)b＝0時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù)
頂點(diǎn)坐標(biāo)
（－b2a，4ac－b24a）
對(duì)稱軸
直線x＝⑤ －b2a
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖象
ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根
有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根x1，x2（x1＜x2）
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝⑥－b2a
沒有實(shí)數(shù)根
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集
⑦ {x｜x＜x1或x＞x2}
{x｜x≠－b2a}
⑧ R
ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集
⑨ {x｜x1＜x＜x2}
?
⑩ ?
一看符號(hào)
看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，它的正負(fù)決定二次函數(shù)圖象的開口方向.若符號(hào)不確定，要分類討論.
二看對(duì)稱軸
看對(duì)稱軸和最值，它們決定二次函數(shù)圖象的具體位置.
三看特殊點(diǎn)
看函數(shù)圖象上的一些特殊點(diǎn)，如函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn)，函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)等.
不等式解集法
不等式f（x）≥0在集合A中恒成立等價(jià)于集合A是不等式f（x）≥0的解集B的子集，通過求不等式的解集，并研究集合間的關(guān)系可以求出參數(shù)的取值范圍.
分離參數(shù)法
若不等式f（x，λ）≥0（x∈D，λ為實(shí)參數(shù)）恒成立，將f（x，λ）≥0轉(zhuǎn)化為λ≥
g（x）或λ≤g（x）（x∈D）恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為λ≥g（x）max或λ≤g（x）min，求g（x）（x∈D）的最值即可.該方法適用于參數(shù)與變量能分離，函數(shù)最值易求的題目.
主參換位法
變換思維角度，即把主元與參數(shù)變換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原參數(shù)的取值范圍列式求解.一般地，條件給出誰的范圍，就看成是有關(guān)誰的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解.
數(shù)形結(jié)
合法
結(jié)合函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸、區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值或函數(shù)圖象的位置關(guān)系（相對(duì)于x軸）求解.此外，若涉及的不等式能轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，可結(jié)合相應(yīng)一元二次方程根的分布解決問題.

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