集合
[考試要求]
1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.
2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義.
3.(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．(3)能使用Venn圖表達集合間的基本關系及集合的基本運算．
1．集合與元素
(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．
(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號∈和?表示．
(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法．
(4)常見數(shù)集的記法
提醒：根據(jù)元素的互異性可判斷所求參數(shù)的值是否符合要求．
2．集合間的基本關系
提醒：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本運算
eq \([常用結論])
1．對于有限集合A，其元素個數(shù)為n，則集合A的子集個數(shù)為2n，真子集個數(shù)為2n－1，非空真子集個數(shù)為2n－2.
2．A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B．
一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)任何一個集合都至少有兩個子集．( )
(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( )
(3)若{x2，1}＝{0,1}，則x＝0,1.( )
(4)直線y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點組成的集合是{1,4}．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材習題衍生
1．若集合A＝{x∈N|x≤eq \r(2 021)}，a＝2eq \r(2)，則下列結論正確的是( )
A．{a}?A B．a(chǎn)?A C．{a}∈A D．a(chǎn)?A
D [a＝2eq \r(2)?N，則a?A，故選D．]
2．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x－1＜0}，則A∩B＝________，A∪B＝________.
(－2,1) (－∞，3) [∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，
∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．]
3．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是銳角}，B＝{x|x是鈍角}，則?U(A∪B)＝________.
[答案] {x|x是直角}
4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，則集合M∪N的子集的個數(shù)為________．
64 [∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，
∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，
∴M∪N的子集有26＝64個．]
考點一 集合的含義與表示
解決與集合中的元素有關問題的一般思路
1．(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為( )
A．9 B．8 C．5 D．4
A [由x2＋y2≤3知，－eq \r(3)≤x≤eq \r(3)，－eq \r(3)≤y≤eq \r(3).又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的個數(shù)為Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,3)＝9，故選A．]
2．已知a，b∈R，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，則a2 021＋b2 021＝________.
－1 [由已知得a≠0，
則eq \f(b,a)＝0，
所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應舍去，因此a＝－1，故a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋02 021＝－1.]
3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝________.
0或eq \f(9,8) [當a＝0時，顯然成立；當a≠0時，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝eq \f(9,8).]
考點二 集合間的基本關系
判斷集合關系的三種方法
[典例1] (1)已知集合A＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，則( )
A．AB B．BA C．A?B D．B＝A
(2)(2020·武漢模擬)集合{x|－1＜x＜3，x∈N*}的非空子集個數(shù)為( )
A．3 B．4 C．7 D．8
(3)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍為________．
(1)B (2)A (3)(－∞，2] [(1)由1－x2≥0得－1≤x≤1，則A＝{x|－1≤x≤1}，
由－1≤m≤1得0≤m2≤1，則B＝{x|0≤x≤1}，
所以BA，故選B．
(2){x|－1＜x＜3，x∈N*}＝{1,2}，其非空子集個數(shù)為3，故選A．
(3)A＝{x|－1＜x＜3}．①若B＝?，滿足B?A，
此時2－a≥1＋a，即a≤eq \f(1,2).
②若B≠?，由B?A得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a＜1＋a,2－a≥－1,1＋a≤3))，解得eq \f(1,2)＜a≤2.
由①②知a的取值范圍為(－∞，2]．]
點評：(1)已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數(shù)所滿足的關系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．
(2)空集是任何集合的子集，當題目條件中有B?A時，應分B＝?和B≠?兩種情況討論，確定參數(shù)所滿足的條件時，一定要把端點值代入驗證，否則易增解或漏解．
eq \([跟進訓練])
1．(2020·北京模擬)已知集合M＝{x∈R|x≥0}，N?M，則在下列集合中符合條件的集合N可能是( )
A．{0,1} B．{x|x2＝1}
C．{x|x2＞0} D．R
A [因為0∈M,1∈M，所以{0,1}?M，故選A．]
2．若集合A＝{1，m}，B＝{m2，m＋1}，且A＝B，則m＝( )
A．0 B．1 C．±1 D．0或1
A [由題意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1＝1,m2＝m，))解得m＝0，故選A．]
考點三 集合的基本運算
集合運算三步驟
集合的交、并、補運算
[典例2－1] (1)(2020·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數(shù)為( )
A．2 B．3 C．4 D．6
(2)設集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，則A∪B等于( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
(1)C (2)C [(1)由題意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的個數(shù)為4，選C．
(2)∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，
∴A∪B＝(－1，＋∞)，故選C．]
點評：集合運算的常用方法
(1)若集合中的元素是離散的，常用Venn圖求解．
(2)若集合中的元素是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點是實心還是空心．
根據(jù)集合的運算結果求參數(shù)
[典例2－2] (1)(2020·全國卷Ⅰ)設集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，則a＝( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
(2)(2020·秦皇島模擬)若集合A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．[2，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞)) D．(－∞，2]
(1)B (2)C [(1)易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因為A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－eq \f(a,2)＝1，解得a＝－2.故選B．
(2)B＝{x|x≥a或x≤a－1}，由A∪B＝R得3－2a≤a－1，解得a≥eq \f(4,3)，故選C．]
eq \([跟進訓練])
1．(2019·天津高考)設集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，則(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2,3}
C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}
D [由題意可知A∩C＝{1,2}，則(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}，故選D．]
2．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，則( )
A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝?
A [B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，又A＝{x|x＜1}，
則A∩B＝{x|x＜0}．A∪B＝{x|x＜1}，故選A．]
3．已知集合A＝[1，＋∞)，B＝[0,3a－1]，若A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．[1，＋∞) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)) D．(1，＋∞)
C [由A∩B≠?得3a－1≥1，解得a≥eq \f(2,3)，故選C．]
全國卷五年考情圖解
高考命題規(guī)律把握
1.考查形式
本章在高考中一般考查2～4個小題，選擇題、填空題均可能出現(xiàn).
2.考查內(nèi)容
從考查內(nèi)容看，集合主要考查兩個方面：一是集合的概念及表示；二是集合的基本運算．常用邏輯用語主要從四個方面考查，分別為命題及其關系、充分必要條件的判斷、邏輯聯(lián)結詞“或”“且”“非”以及全稱量詞與存在量詞．不等式主要考查一元二次不等式的解法和簡單的線性規(guī)劃問題.
集合
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實數(shù)集
符號
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
關系
自然語言
符號語言
Venn圖
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)
A?B或B?A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中
AB或BA
集合相等
集合A，B中的元素相同或集合A，B互為子集
A＝B
運算
自然語言
符號語言
Venn圖
交集
由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
補集
由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合
?UA＝{x|x∈U且x?A}

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