（時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求．）
1. 拋物線的對(duì)稱軸是（ ）
A. 直線B. 直線C. 直線D. 直線
2. 已知，則下列比例式正確的是（ ）
A. B. C. D.
3. 平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在同一反比例函數(shù)圖像上的是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
4. 大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹(shù)葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，為的黃金分割點(diǎn)（），如果的長(zhǎng)度為，那么的長(zhǎng)度是（ ）

A. B. C. D.
5. 將y＝﹣（x+4）2+1的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得函數(shù)最大值為（ ）
A. y＝﹣2B. y＝2C. y＝﹣3D. y＝3
6. 已知在中，，，，下列陰影部分的三角形與原不相似的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，在平行四邊形中，E為邊上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F，若，面積為18，則面積等于（ ）

A. 8B. 10C. 12D. 14
8. 在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸共有三個(gè)交點(diǎn)，則下列各數(shù)中可能的值為（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
9. 如圖，點(diǎn)E在正方形的對(duì)角線上，于點(diǎn)F，連接并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)M，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若，，則（ ）
A. B. C. D.
10. 如圖，直線：與軸和軸分別相交于、兩點(diǎn)，平行于直線直線從原點(diǎn)出發(fā)，沿軸的正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，它與軸和軸分別相交于、兩點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）．以為斜邊作等腰直角（、兩點(diǎn)分別在兩側(cè)），若和的重合部分的面積為，則與之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ）

A. B.
C. D.
二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）
11. 若，則＝_____．
12. 如圖，，，，則______．
13. 把一塊含角的三角板按如圖方式擺放在平面直角坐標(biāo)系中，其中角的頂點(diǎn)在軸上，斜邊與軸的夾角，若，當(dāng)點(diǎn)同時(shí)落在一個(gè)反比例函數(shù)圖像上時(shí)，__________．
14. 如圖，中，，，點(diǎn)D、E分別是、的中點(diǎn)，于點(diǎn)F．
（1）__________．
（2）連接DF，則__________．
三、解答題（本大題共2題，每小題8分，共16分）
15. 已知：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、（正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度）．

（1）以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出，使與位似，且位似比為，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出，使與相似，且相似比為．
16. 密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)容器的體積V（單位：）變化時(shí)，氣體的密度（單位：）隨之變化．已知密度與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，．
（1）求密度關(guān)于體積V的函數(shù)解析式；
（2）若，求二氧化碳密度的變化范圍．
四、解答題（本大題共2題，每小題8分，共16分）
17. 已知，，，是的三邊，且，，求的面積．
18. 如圖，已知中，分別為邊上的高，過(guò)作的垂線交于，交于，交延長(zhǎng)線于，求證：．
五、解答題（本大題共2題，每小題10分，共20分）
19. 已知二次函數(shù).
（1）求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)圖像與x軸總有交點(diǎn)；
（2）若圖像與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求y的取值范圍.
20. 如圖，直線（常數(shù)）與雙曲線（為常數(shù)）相交于，兩點(diǎn)．

（1）求直線的解析式；
（2）在雙曲線上任取兩點(diǎn)和，若，試確定和的大小關(guān)系，并寫(xiě)出判斷過(guò)程；
（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出關(guān)于的不等式的解集．
六、（本大題共1題，共12分）
21. 2023春節(jié)檔電影《滿江紅》熱映，進(jìn)一步激發(fā)觀眾愛(ài)國(guó)之情．帝都南陽(yáng)與名將岳飛有著一段傳頌至今的歷史——公元1138年，岳飛統(tǒng)軍過(guò)南陽(yáng)到武侯祠敬拜諸葛亮，雨夜含淚手書(shū)前后《出師表》，為南陽(yáng)留下了千古絕唱“三絕碑”．
某超市采購(gòu)了兩批同樣的《出師表》紀(jì)念品掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)是第二批的倍，且第二批比第一批多購(gòu)進(jìn)25個(gè)．
（1）求第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)；
（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)又采購(gòu)一批同樣的掛件，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)為每個(gè)60元時(shí)，每周能賣(mài)出40個(gè)，若每降價(jià)1元，每周多賣(mài)10個(gè)，由于貨源緊缺，每周最多能賣(mài)90個(gè)，求每個(gè)掛件售價(jià)定為多少元時(shí)，每周可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？
七、（本大題共1題，共12分）
22. 點(diǎn)E線段上一點(diǎn)，分別以，為底邊，在同側(cè)作等腰三角形和，且．連接，過(guò)點(diǎn)作交線段于點(diǎn)，連接．
（1）求證：；
（2）如圖2，若，，，求的長(zhǎng)．
八、（本大題共1題，共14分）
23. 在二次函數(shù)中．
（1）若它的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為多少？
（2）當(dāng)時(shí)，的最小值為，求的值；
（3）如果，，都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且，直接寫(xiě)出的取值范圍．
答案
1. 解析：解：拋物線的對(duì)稱軸是直線．
故選：A．
2. 解析：解：A選項(xiàng)，由得，不合題意；
B選項(xiàng)，由得，不合題意；
C選項(xiàng)，由得，不合題意；
D選項(xiàng)，由得，符合題意，故本選項(xiàng)正確；
故選D．
3. 解析：解：A、由于，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、由于，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、由于，該選項(xiàng)正確，符合題意；
D、由于，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
4. 解析：解：由黃金分割比，根據(jù)題意可得，
，
，
故選：A．
5. 解析：將y＝﹣（x+4）2+1的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，
所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是y＝﹣（x+4﹣2）2+1﹣3，
即y＝﹣（x+2）2﹣2，
所以其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，﹣2），
由于該函數(shù)圖象開(kāi)口方向向下，
所以，所得函數(shù)的最大值是﹣2．
故選：A．
6. 解析：解：A、由有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可證陰影部分的三角形與原相似，故選項(xiàng)A不符合題意；
B、兩邊對(duì)應(yīng)成比例，而夾角不一定相等，不能證明陰影部分的三角形與原相似，故選項(xiàng)B符合題意；
C、由有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可證陰影部分的三角形與原相似，故選項(xiàng)C不符合題意；
D、由兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：B．
7. 解析：解：∵四邊形是平行四邊形，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故選：A．
8. 解析：解：∵函數(shù)與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)
∴此函數(shù)為二次函數(shù)
∴k-2≠0
∴k≠2
∵與y軸必有一個(gè)交點(diǎn)
∴與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
∴△＞0
∴（-2k）2-4k（k-2）＞0
∴k＞0
∴k可以為1
故選C．
9. 解析：解：∵四邊形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
故選：D．
10. 解析：解：對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
①當(dāng)時(shí)，如圖1，

∴
又是等腰直角三角形，
∴
∴
又
∴
∴
即：；
②當(dāng)時(shí)，如圖2，

同理可得：均為等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴，
即，
觀察圖象可知，S與t之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是C．
故選：C．
11. 解析：解：設(shè)，則x＝2k，y＝5k，z＝4k，
則＝＝；
故答案為：．
12. 解析：解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
13. 解析：解：過(guò)作軸，過(guò)作軸，如圖所示：
在中，，，則，
在中，，則， ，
，，
，
在中，，，則，，
設(shè)，則，則，解得，
，
點(diǎn)落在一個(gè)反比例函數(shù)圖像上，
．
14. 解析：解：（1）由題意可得：，
在中，，
由題意可得：，
解得，
在中，，
（2）連接交于點(diǎn)、連接，如圖：
∵點(diǎn)D、E分別是、的中點(diǎn)，，，
∴，，，
∴，
，
，，，，
，
由題意可得：，
又，，
，
，
又，
∴，
，即，
又，
∴，
，即，
解得，
∴，
故答案為：，．
15. 小問(wèn)1解析
解：圖中即為所求作，

由圖可知，坐標(biāo)為；
小問(wèn)2解析
、、，
，，
與相似比為，
，
，
圖中即為所求作．

16. 小問(wèn)1解析
解：∵密度與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系，
∴設(shè)，
∵當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴密度關(guān)于體積V的函數(shù)解析式為：；
小問(wèn)2解析
解：觀察函數(shù)圖象可知，隨V的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，
即二氧化碳密度的變化范圍是．
17. 解析：解：設(shè)，
∴，，，
又∵，
∴，
∴
∴，，
又∵，
∴，、為兩條直角邊
∴，即的面積為．
18. 解析：證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
19. 小問(wèn)1解析
解：令，則，
，
無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根，
無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)的圖象與x軸總有交點(diǎn)；
小問(wèn)2解析
解：該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
解：，
.
該二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為
當(dāng)，函數(shù)取得最小值0；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值4
y的取值范圍為.
20. 小問(wèn)1解析
解：直線（為常數(shù)）與雙曲線（為常數(shù)）相交于，兩點(diǎn)，將點(diǎn)代入反比例函數(shù)，得，
∴，
將點(diǎn)代入，得，
將，代入，得，解得，
∴；
小問(wèn)2解析
解：∵，，
∴反比例函數(shù)在第二四象限，
根據(jù)反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，
∴在同一象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，；在不同象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，由圖像可得，
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
小問(wèn)3解析
解：關(guān)于的不等式的解集可以轉(zhuǎn)化為圖像在圖像上方部分對(duì)應(yīng)的的范圍，如圖所示：

直線（為常數(shù)）與雙曲線（為常數(shù)）相交于，兩點(diǎn)，
或．
21. 小問(wèn)1解析
解答：解：(1）設(shè)第二批每個(gè)掛件進(jìn)價(jià)是每個(gè)x元，
根據(jù)題意得
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，也符合題意，
∴，
答：第二批每個(gè)掛件進(jìn)價(jià)是每個(gè)40元；
小問(wèn)2解析
設(shè)每個(gè)掛件售價(jià)定為m元，每周可獲得利潤(rùn)W元，
∵每周最多能賣(mài)90個(gè)，
∴ ，
解得，
根據(jù)題意得，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，W取最大，此時(shí)．
∴當(dāng)每個(gè)掛件售價(jià)定為55元時(shí)，每周可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是1350元．
22. 小問(wèn)1解析
證明：和是分別以，為底邊的等腰三角形，
，，，，
，
，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
在和中，，
，
．
小問(wèn)2解析
解：，
，
，
，
，
由（1）知：四邊形是平行四邊形，
，，
和是等腰三角形，，，
，，，
，
即，
，解得，
∴，
，
，
，即，
．
23. 小問(wèn)1解析
將代入中，
得，
解得；
小問(wèn)2解析
拋物線對(duì)稱軸為．
若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，
則，
解得．
∵，
∴，
若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，
∴，
解得（不合題意，舍去）
綜上所述，．
小問(wèn)3解析
∵，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱 ，
∴，則，且在對(duì)稱軸左側(cè)，在對(duì)稱軸右側(cè)，
∵拋物線與軸交點(diǎn)為，拋物線對(duì)稱軸為直線，
∴此交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為
，且，
,
解得，
當(dāng)都在對(duì)稱軸左邊時(shí)，
∵ ，
∴，
解得，
∴，
當(dāng)分別在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，
∵，
∴到對(duì)稱軸的距離大于到對(duì)稱軸的距離，
∴，
解得，
∴，
綜上所述，或．

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