閱讀與思考
人類對數(shù)的認識是在生活中不斷加深和發(fā)展的。數(shù)系的每一次擴張都源于實際生活的需要，在非負有理數(shù)知識的基礎上引進負數(shù)，數(shù)系發(fā)展到有理數(shù)，這是數(shù)系的第一次擴張；但隨著人類對數(shù)的認識不斷加深和發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中確實存在不同于有理數(shù)的數(shù)——無理數(shù)。在引人無理數(shù)的概念后，數(shù)系發(fā)展到實數(shù)，這是數(shù)系的第二次擴張.
理篇無理數(shù)是學好實數(shù)的關鍵，為此應注意：
1. 把握無理數(shù)的定義：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分數(shù)的形式（這里，是互質的整數(shù)，且≠0）；
2．掌握無理數(shù)的表現(xiàn)形式：無限不循環(huán)小數(shù)，與π相關的數(shù)，開方開不盡得到的數(shù)等；
3. 有理數(shù)對加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無理數(shù)對四則運算不具有封閉性，即兩個無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù)；
4．明確無理數(shù)的真實性.
克菜因認為：“數(shù)學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數(shù)學能給予以上的一切.”
想一想：
下列說法是否正確？
①帶根號的數(shù)是無理數(shù)；
②兩個無理數(shù)的和、差、積、商一定還是無理數(shù)；
③一個無理數(shù)乘以一個有理數(shù)，一定得無理數(shù)；
④一個無理數(shù)的平方一定是有理數(shù).
例題與求解
【例1】 已知．則的平方根是________.
（湖南省長沙市“學用杯”競賽試題）
解題思路：運用式子的非負性，求出，，的值．
【例2】若，是實數(shù)，且．則的值是( ).
A．3或－3 B．3或－1 C．－3或－1 D．3或1
（湖北省黃岡市競賽試題）
解題思路：由算術根的雙非負性，可得≥0，≥0，求出＝1．代入原式中可得＝±2．
由算術平方根的定義可得到算術平方根的雙非負性：
①中≥0； ②≥0.
運用算術平方根的雙非負性是挖掘隱含條件的常用方法.
【例3】 已知實數(shù)，，滿足等式
，求的值．
（北京市競賽試題）
解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)，互為相反數(shù)，由算術平方根定義、性質探尋解題的切入點．
【例4】已知，是有理數(shù)，且，求，的值．
解題思路：把原等式整理成有理數(shù)與無理數(shù)兩部分，運用實數(shù)的性質建立關于，的方程組.
實數(shù)有以下常用性質：
①若，都是有理數(shù)，為無理數(shù)，且，則＝＝0;
②若，，，都是有理數(shù)，，為無理數(shù)，且“，則＝，．
要證一個數(shù)是有理數(shù)，常證這個數(shù)能表示成幾個有理數(shù)的和、差、積、商的形式；要證一個數(shù)是無理數(shù)，常用反證法，即假設這個數(shù)為有理數(shù)，設法推出矛盾.
想一想
怎樣證明是無理數(shù)？
【例5】一個問題的探究
問題：設實數(shù)，，滿足≠0．且.
求證：
在上述問題的基礎上，通過特殊化、一般化，我們可編擬出下面兩個問題：
(1)設，，為兩兩不相等的有理數(shù)，求證：為 有理數(shù)．
（2）設，求的整數(shù)部分.
解題思路：從公式入手．
【例6】設，，，…，， 求的值（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）．
（四川省成都市中考試題）
解題思路：解答此題的關鍵是將變形為一個代數(shù)式的平臺。
能 力 訓 練
A 級
1．在實數(shù)－4，，0，，，，中，共有_______個無理數(shù)．
（貴州省貴陽市中考試題）
2．設，是的小數(shù)部分，則的值為____ .
(2013年全國初中數(shù)學競賽試題)
3．已知，則的值為_______．
（山東省濟南市中考試題）
4．觀察下列各式：
，
，
，
猜測：________ .
（遼寧省大連市中考試題）
5．已知有理數(shù)，，，滿足，，那么＝________.
A. B. C. D.
（2013年“實中杯”數(shù)學競賽試題）
6．若，為實數(shù)，且，則的值為( )．
A. 1 B．－1 C．2 D．－2
（天津市中考試題）
7．一個自然數(shù)的算術平方根為，則和這個自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)是( )．
A. B． C． D．
（山東省濰坊市中考試題）
8．若，則的值為( )．
A．－1 B．1 C．2 D．3
（湖北省荊門市中考試題）
9．已知是的立方根，而是的相反數(shù)，且，求與的平方和的立方根．
10.計算：． （廣西競賽試題）
11.若，滿足，求的取值范圍．
（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）
B 級
1．與互為相反數(shù)，且．那么的值為____．
（全國初中數(shù)學競賽試題）
2．若，則的值為_______ ．
（海南省競賽試題）
3．已知實數(shù)滿足，則＝_______ .
4．的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值為____．
（廣東省競賽試題）
5．已知非零實數(shù)，滿足，則等于( )．
A．－1 B．0 C．1 D．2
（“《數(shù)學周報》杯”全國初中數(shù)學競賽試題）
6．已知，，．則，，的大小關系是( )．
A. B. C. D.
7．已知：，那么代數(shù)式的值為( )．
A． B． C． D.
（重慶市競賽試題）
8．下面有3個結論：
①存在兩個不同的無理數(shù)，它們的差是整數(shù)；
②存在兩個不同的無理數(shù)，它們的積是整數(shù)；
③存在兩個不同的非整數(shù)的有理數(shù)，它們的和與商都是整數(shù).
其中，正確的結論有( )個．
A.0 B．1 C．2 D．3
（江蘇省競賽試題）
9．已知是整數(shù)，求所有滿足條件的正整數(shù)的和．
（“CASIO杯”武漢市競賽試題）
10.設，，，，都是有理數(shù)，是無理數(shù). 求證：
(1) 當時，是有理數(shù)；
(2) 當時，是無理數(shù)．
11.已知非零實數(shù)，滿足.求值．
（“《數(shù)學周報》杯”全國初中數(shù)學競賽試題）

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