1．公式法
(1)等差數列{an}的前n項和Sn＝ ＝ .
推導方法：倒序相加法．
(2)等比數列{an}的前n項和Sn＝
推導方法：乘公比，錯位相減法．
(3)一些常見的數列的前n項和：
①1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(n?n＋1?,2)；
②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
2．幾種數列求和的常用方法
(1)分組轉化求和法：一個數列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．
(3)錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么求這個數列的前n項和即可用錯位相減法求解．
(4)倒序相加法：如果一個數列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解．
3、常見的裂項技巧
①eq \f(1,n?n＋1?)＝ .
②eq \f(1,n?n＋2?)＝ .
③eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)＝ .
④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝
⑤eq \f(1,n?n＋1??n＋2?)＝
1、（2023?甲卷（理））已知等比數列中，，為前項和，，則
A．7B．9C．15D．30
2、（2023?新高考Ⅱ）記為等比數列的前項和，若，，則
A．120B．85C．D．
3、（2021?甲卷（文））記為等比數列的前項和．若，，則
A．7B．8C．9D．10
4、（2021?上海）已知為無窮等比數列，，的各項和為9，，則數列的各項和為 ．
5、（2021?新高考Ⅰ）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數為 ，如果對折次，那么
6、（2023?甲卷（理））已知數列中，，設為前項和，．
（1）求的通項公式；
（2）求數列的前項和．
7、（2021?新高考Ⅰ）已知數列滿足，
（1）記，寫出，，并求數列的通項公式；
（2）求的前20項和．
8、（2023年全國新高考Ⅱ卷）. 為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
（1）求的通項公式；
（2）證明：當時，．
9、（2022?甲卷（文））記為數列的前項和．已知．
（1）證明：是等差數列；
（2）若，，成等比數列，求的最小值．
1、數列{an}的通項公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數列的前100項之和為( )
A．－200 B．－100
C．200 D．100
2、數列的前項和為，若，則等于（ ）
A．1B．C．D．
3、設，則( )
A．B．C．D．
4、已知數列{an}的通項公式為an＝ eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，若前n項和為10，則項數n為________．
5、 已知數列{an}的前n項和為Sn，且an＝n·2n，則Sn＝____________．
考向一 公式法
例1、（山東師范大學附中高三月考）設等差數列前n項和為．若，，則________，的最大值為________．
變式1、（2023·河北唐山·統考三模）設為等比數列的前項和，，，則__________.
變式2、（2023·安徽合肥·校聯考三模）是公差不為零的等差數列，前項和為，若，，，成等比數列，則________．
方法總結：若一個數列為等差數列或者等比數列則運用求和公式：①等差數列的前n項和公式：Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d.②等比數列的前n項和公式(Ⅰ)當q＝1時，Sn＝na1；(Ⅱ)當q≠1時，Sn＝eq \f(a1?1－qn?,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
考向二 利用“分組求和法”求和
例2、已知數列{an}的前n項和Sn＝ eq \f(n2＋n,2)，n∈N*.
(1) 求數列{an}的通項公式；
(2) 設bn＝2an＋(－1)nan，求數列{bn}的前2n項和．
變式1、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學?？家荒＃┮阎獢盗?，前n項和為，且滿足，，，，，等比數列中，，且，成等差數列．
(1)求數列和的通項公式；
(2)記為區(qū)間中的整數個數，求數列的前n項和．
變式2、（2023·重慶·統考三模）已知數列的前n項和為，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
變式3、（2023·黑龍江大慶·統考三模）已知數列滿足．
(1)證明：是一個等差數列；
(2)已知，求數列的前項和．
方法總結：數列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差數列或等比數列或可求前n項和的數列求和．
考向三 裂項相消法求和
例3、（2023·黑龍江大慶·統考一模）設是公差不為0的等差數列，，是，的等比中項.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和.
變式1、設數列{an}的前n項和為Sn，已知 a1＝1，Sn＝nan－n(n－1)(n＝1，2，3，…).
(1) 求證：數列{an}為等差數列，并寫出an關于n的表達式；
(2) 若數列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,anan＋1)))的前n項和為Tn，求滿足Tn> eq \f(100,209)的最小正整數n的值．
變式2、（2023·江蘇泰州·統考一模）在①成等比數列，②，③這三個條件中任選兩個，補充在下面問題中，并完成解答.
已知數列是公差不為0的等差數列，其前項和為，且滿足__________，__________.
(1)求的通項公式；
(2)求.
注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案計分.
變式3、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┮阎缺葦盗械那绊椇蜑?,.
(1)求數列的通項公式.
(2)令,求數列的前項和.
方法總結：常見題型有（1）數列的通項公式形如an＝eq \f(1,n?n＋k?)時，可轉化為an＝eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))，此類數列適合使用裂項相消法求和．
（2）數列的通項公式形如an＝eq \f(1,\r(n＋k)＋\r(n))時，可轉化為an＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))，此類數列適合使用裂項相消法求和．
考向四 錯位相減法求和
例4、（2023·江蘇南京·南京市第一中學?？寄M預測）已知等差數列的前項和為，，．正項等比數列中，，．
(1)求與的通項公式；
(2)求數列的前項和．
變式1、已知{an}是等差數列，其前n項和為Sn，{bn}是等比數列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1) 求數列{an}與{bn}的通項公式；
(2) 求Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*.
變式2、（2023·湖南長沙·長沙市明德中學?？既＃┮阎炔顢盗星绊椇蜑?，，.
(1)求的通項公式；
(2)若數列滿足，求和：.
方法總結：主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和，即等比數列求和公式的推導過程的推廣.。特別注意錯位相減法的步驟。
1、（2023·湖南·鉛山縣第一中學校聯考三模）從午夜零時算起，在鐘表盤面上分針與時針第次重合時，分針走了，則24小時內（包括第24時）所有這樣的之和（ ）
A．24B．300C．16560D．18000
2、（2023·湖南郴州·統考三模）已知函數的圖象在點處的切線的斜率為，則數列的前項和為（ ）
A．B．C．D．
3、（2023·安徽宿州·統考一模）已知數列的前n項和為，且，則數列的前n項和______.
4、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學?？寄M預測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.
已知等差數列的公差為，等差數列的公差為.設分別是數列的前項和，且， ，
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
5、（2023·遼寧·大連二十四中校聯考三模）已知數列的前項的積
(1)求數列的通項公式；
(2)數列滿足，求.
6、（2023·黑龍江牡丹江·牡丹江市第三高級中學?？既＃┮阎獢盗懈黜椂疾粸?，前項和為，且，數列滿足，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)令，求數列的前項和為
7、（2023·安徽·校聯考三模）在數列中，，且對任意的，都有．在等差數列中，前n項和為，，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．

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