1. 數(shù)列的概念
(1)按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項．數(shù)列可以看做是定義域為N*或其非空子集的函數(shù)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數(shù)值，其圖像是一群孤立的點．
注：數(shù)列是特殊的函數(shù)，應注意其定義域，不要和函數(shù)的定義域混淆．
(2)數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}，其中a1稱為數(shù)列{an}的第1項(或稱為 )，a2稱為第2項，…，an稱為第n項．
2. 數(shù)列的分類
(1)數(shù)列按項數(shù)的多少來分：項數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項數(shù)無限的數(shù)列叫做 ．
(2)按前后項的大小來分：從第二項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做 ；從第二項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做 ；各項相等的數(shù)列叫做 ．
3. 數(shù)列的通項公式
一般地，如果數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的第n項與序號n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的 ．
注：并不是每一個數(shù)列都有通項公式，有通項公式的數(shù)列，其通項公式也不一定唯一．
4. 數(shù)列的表示方法
數(shù)列可以用 來描述，也可以通過 或 來表示．
1、下列可作為數(shù)列1，2，1，2，1，2，…的通項公式的是 ( )
A. an＝ eq \f(1＋(－1)n-1,2)
B. an＝ eq \f(3＋(－1)n,2)
C. an＝2－sin eq \f(nπ,2)
D. an＝2－cs [(n－1)π]
2.、已知數(shù)列的通項公式為an＝n2－8n＋15，則3是數(shù)列{an}中的( )
A. 第2項
B. 第6項
C. 第2項或第6項
D. 第3項
3、在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋ eq \f(1,an－1)(n≥2)，則a5＝________．
4、 (2022·南京三模)寫出一個同時具有下列性質①②③的數(shù)列{an}的通項公式：an＝________．
①數(shù)列{an}是無窮等比數(shù)列；
②數(shù)列{an}不單調；
③數(shù)列{|an|}單調遞減．
5. 若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－10n(n＝1，2，3，…)，則此數(shù)列的通項公式為an＝________；數(shù)列{nan}中最小的項是第________項．
考向一 已知數(shù)列的前幾項求通項
例1 根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出各數(shù)列的一個通項公式：
(1) 4，6，8，10，…；
(2) eq \f(1,2)， eq \f(3,4)， eq \f(7,8)， eq \f(15,16)， eq \f(31,32)，…；
(3) eq \f(1,2)， eq \f(1,4)，－ eq \f(5,8)， eq \f(13,16)，－ eq \f(29,32)， eq \f(61,64)，…；
(4) 9，99，999，9 999，….
變式、寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：
(1) 1，－eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，－eq \f(1,4)，…；
(2) 2,0,2,0，….
方法總結：已知數(shù)列的前幾項求通項公式，主要從以下幾個方面來考慮：
(1) 負號用(－1)n與(－1)n＋1或(－1)n－1來調節(jié)，這是因為n和n＋1奇偶交錯．
(2) 公式形式的數(shù)列，分子、分母找通項，要充分借助分子、分母的關系．
(3) 對于比較復雜的通項公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他方法解決．
考向二 由an與Sn的關系求通項an
例2 (1) 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝3n－1，求它的通項公式an；
(2) 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2－n，求它的通項公式an.
變式1、(1) 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝3n＋1，求它的通項公式an；
(2) 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2－n＋1，求它的通項公式an.
變式2、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，求通項an．
(1) Sn＝3n－1；
(2) Sn＝n2＋3n＋1．
方法總結：由數(shù)列{an}的前n項和Sn，求通項an的問題，要分成兩段：an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))不要遺漏n＝1的情形．因題(2)含字母b，首項是否滿足，還需要對b進行分類討論．本題側重考查分類討論的數(shù)學思想．
1、數(shù)列{an}的前幾項為eq \f(1,2)，3，eq \f(11,2)，8，eq \f(21,2)，…，則此數(shù)列的通項可能是( )
A．a(chǎn)n＝eq \f(5n－4,2) B．a(chǎn)n＝eq \f(3n－2,2)
C．a(chǎn)n＝eq \f(6n－5,2) D．a(chǎn)n＝eq \f(10n－9,2)
2、在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq \f(?－1?n,an－1)(n≥2)，則a5等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(8,5) D.eq \f(2,3)
3、（多選題）（2021·山東濟南市·高三一模）年，瑞典數(shù)學家科赫構造了一種曲線.如圖，取一個邊長為的正三角形，在每個邊上以中間的為一邊，向外側凸出作一個正三角形，再把原來邊上中間的擦掉，得到第個圖形，重復上面的步驟，得到第個圖形.這樣無限地作下去，得到的圖形的輪廓線稱為科赫曲線.云層的邊緣，山脈的輪廓，海岸線等自然界里的不規(guī)則曲線都可用“科赫曲線”的方式來研究，這門學科叫“分形幾何學”.下列說法正確的是（ ）
A．第個圖形的邊長為
B．記第個圖形的邊數(shù)為，則
C．記第個圖形的周長為，則
D．記第個圖形的面積為，則對任意的，存在正實數(shù)，使得
4、(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，則an＝________.
(2)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq \f(1,3)an＋eq \f(2,3)，則{an}的通項公式an＝________.
(3)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝________.

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