1、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)復(fù)數(shù)的意義：形如z＝a＋bi(a、b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2＝－1，a叫做實(shí)部，b叫做虛部，復(fù)數(shù)集記作C，數(shù)集N、Z、Q、R、C的關(guān)系
(2)復(fù)數(shù)的模：z＝a＋bi，|z|＝ ．
(3)復(fù)數(shù)相等：z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1＝z2，則 ．
(4)共軛復(fù)數(shù)：z＝a＋bi， 互為共軛復(fù)數(shù)．
2、 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則．
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝ （c＋di≠0)．
3、復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)復(fù)平面的概念：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．
(2)實(shí)軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)以外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．
4、 復(fù)數(shù)的幾何表示
復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝ (a，b∈R)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．
1、【2022年全國甲卷】若z=1+i．則|iz+3z|=（ ）
A．45B．42C．25D．22
2、【2022年全國甲卷】若z=?1+3i，則zzz?1=（ ）
A．?1+3iB．?1?3iC．?13+33iD．?13?33i
3、【2022年全國乙卷】設(shè)(1+2i)a+b=2i，其中a,b為實(shí)數(shù)，則（ ）
A．a(chǎn)=1,b=?1B．a(chǎn)=1,b=1C．a(chǎn)=?1,b=1D．a(chǎn)=?1,b=?1
4、【2022年全國乙卷】已知z=1?2i，且z+az+b=0，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（ ）
A．a(chǎn)=1,b=?2B．a(chǎn)=?1,b=2C．a(chǎn)=1,b=2D．a(chǎn)=?1,b=?2
5、【2022年新高考1卷】若i(1?z)=1，則z+z=（ ）
A．?2B．?1C．1D．2
6、【2022年新高考2卷】(2+2i)(1?2i)=（ ）
A．?2+4iB．?2?4iC．6+2iD．6?2i
7、（2021·全國高三專題練習(xí)（理））已知為虛數(shù)單位，且，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
8、（2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)全國Ⅰ卷））
已知，則（ ）
A. B. C. 0D. 1
9、（2023年全國新高考Ⅱ卷）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
1、（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）已知復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位，）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．1B．2C．D．0
2、（2022·河北張家口·高三期末）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
3、（2022·山東棗莊·高三期末）已知為虛數(shù)單位，則（ ）．
A．1B．C．ID．
4、（2022·山東德州·高三期末）已知復(fù)數(shù)z滿足，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
5、（2022·山東臨沂·高三期末）已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則（ ）
A．B．C．D．
考向一 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
例1、已知復(fù)數(shù)z＝eq \f(m2－7m＋6,m2－1)＋(m2－5m－6)i(m∈R)，試求實(shí)數(shù)m分別取什么值時(shí)，z分別為：
(1) 實(shí)數(shù)；
(2) 虛數(shù)；
(3) 純虛數(shù)．
變式1、（1）（2022·廣東潮州·高三期末）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z的虛部為（ ）
A．0B．－1C．－iD．1
（2）（2022·山東淄博·高三期末）已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，則（ ）
A．－B．C．－2D．2
（3）（2022·江蘇常州·高三期末）是虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)滿足等式，則的模________．
變式2、（2022·河北唐山·高三期末）（多選題）已知復(fù)數(shù)（且），是z的共扼復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（ ）
A．B．C．D．
方法總結(jié)： (1)解決復(fù)數(shù)問題，首先要看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．(2)對(duì)于復(fù)數(shù)的分類問題，可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組．特別要注意：純虛數(shù)的充要條件是：a＝0且b≠0.
考向二 復(fù)數(shù)的運(yùn)算
例2、（1）已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實(shí)部為，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．或C．D．
（2）（ ）
A．B．C．D．
（3）已知i是虛數(shù)單位，若，則（ ）
A．B．C．D．
變式1、（1）（2022·河北保定·高三期末）（ ）
A．B．C．D．
（2）（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．1D．
（3）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若．設(shè)，則（ ）
A．2iB．2C．D．
方法總結(jié)： (1)要熟練掌握復(fù)數(shù)的乘法、除法的運(yùn)算法則．
(2)遇到復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題，先設(shè)z＝a＋bi，再通過四則運(yùn)算，計(jì)算出a，b的值．
考向三 復(fù)數(shù)的幾何意義
例3、(1)已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝eq \r(3)，則eq \f(y,x)的最大值為____
變式1、設(shè)復(fù)數(shù)z＝lg2(m2－3m－3)＋ilg2(m－2)，m∈R對(duì)應(yīng)的向量為 eq \(OZ,\s\up6(→)).
(1) 若 eq \(OZ,\s\up6(→))的終點(diǎn)Z在虛軸上，求實(shí)數(shù)m及| eq \(OZ,\s\up6(→))|的值；
(2) 若 eq \(OZ,\s\up6(→))的終點(diǎn)Z在第二象限內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
變式2、（2021·陜西西安市·西安中學(xué)高三月考（文））已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．
C．的最大值為D．的最小值為
方法總結(jié)：準(zhǔn)確理解復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量eq \(OZ,\s\up7(―→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq \(OZ,\s\up7(―→)).
(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．
(3)進(jìn)行簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；
(4)把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面上的點(diǎn)(a，b)一一對(duì)應(yīng)．
1、（2022·江蘇海安·高三期末）已知復(fù)數(shù)z滿足(1－i)z＝2＋3i（i為虛數(shù)單位），則z＝（ ）
A．－＋iB．＋i
C．－iD．－－i
2、（2022·江蘇如東·高三期末）已知復(fù)數(shù)z滿足，則z＝（ ）
A．4＋3iB．4－3iC．3＋4iD．3－4i
3、（2022·江蘇蘇州·高三期末）設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
4、（2022·江蘇無錫·高三期末）已知（為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
5、（2022·廣東東莞·高三期末）（多選題）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
6、（2022·江蘇蘇州·高三期末）（多選題）下列命題正確的是（ ）
A．若為復(fù)數(shù)，則
B．若為向量，則
C．若為復(fù)數(shù)，且，則
D．若為向量，且，則
7、（2021·福建·莆田二中高三期末）設(shè)，記為不大于的最大整數(shù)，為不小于的最小整數(shù)．設(shè)集合,，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的圖形面積是______

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