一、選擇題
1．已知集合,,則=( )
A.B.C.D.R
2．i是虛數(shù)單位,設復數(shù)z滿足,則z的共軛復數(shù)對應的點位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3．已知,則等于( )
A.B.C.D.
4．設,是兩個單位向量,若在上的投影向量為,則( )
A.B.C.D.
5．為進一步在全市掀起全民健身熱潮,興義市于9月10日在萬峰林舉辦半程馬拉松比賽.已知本次比賽設有4個服務點,現(xiàn)將6名志愿者分配到4個服務點,要求每位志愿者都要到一個服務點服務,每個服務點都要安排志愿者,且最后一個服務點至少安排2名志愿者,有_______種分配方式( )
A.540B.660C.980D.1200
6．在中,“”是“為銳角三角形”的( )
A.充分非必要條件B.必要非充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
7．設實數(shù),若不等式對恒成立,則t的取值范圍為( )
A.B.C.D.
8．水平桌面上放置了4個半徑為2的小球,4個小球的球心構(gòu)成正方形,且相鄰的兩個小球相切.若用一個半球形的容器罩住四個小球,則半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為( )
A.4B.C.D.6
二、多項選擇題
9．已知事件A，B滿足，，則( )
A.若，則B.若A與B互斥，則
C.若A與B相互獨立，則D.若，則A與B相互獨立
10．如圖,在正方體中,E,F,G分別為BC,,的中點,則( )
A.B.與所成角為
C.D.平面AEF
11．已知函數(shù),則( )
A.是奇函數(shù)B.的最大值大于
C.,D.,
12．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R,記.若滿足,的圖象關于直線對稱,且,則( )
A.B.是奇函數(shù)
C.D.
三、填空題
13．若兩個正實數(shù)x,y滿足,且不等式恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是______________.
14．在銳角三角形ABC中,,且,則AB邊上的中線長為________.
15．已知函數(shù),過點可作曲線的3條切線,則實數(shù)a的取值范圍為________________.
16．已知是函數(shù)的一個零點,且,則的最小值為______________.
四、解答題
17．已知函數(shù).
(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
(2)若,求的值.
18．已知函數(shù).
（1）若不等式在上有解,求k的取值范圍;
（2）若方程有三個不同的實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍.
19．如圖，平面五邊形ABCDE中，是邊長為2的等邊三角形，，，，將沿AD翻折，使點E翻折到點P．
（1）證明：；
（2）若，求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．
20．在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且,邊BC上有一動點D.
(1)當D為邊BC中點時,若,求c的長度;
(2)當AD為的平分線時,若,求AD的最大值.
21．為了解某市區(qū)高中學生的閱讀時間,從該市區(qū)隨機抽取了800名學生進行調(diào)查,得到了這800名學生一周的平均閱讀時間（單位：小時）,并將樣本數(shù)據(jù)分成九組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求a的值;
(2)為進一步了解這800名學生閱讀時間的分配情況,從周平均閱讀時間在,,三組內(nèi)的學生中,采用分層抽樣的方法抽取了10人,現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人,記周平均閱讀時間在內(nèi)的學生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望;
(3)以樣本的頻率估計概率,從該市區(qū)學生周平均閱讀時間在內(nèi)中隨機抽取20名學生.這20名學生中,周平均閱讀時間在內(nèi)的學生最可能有多少名？
22．設,函數(shù)的圖象與直線相切,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)當時,恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
參考答案
1．答案：D
解析：時,所以集合,
同理可得,故
故選：D.
2．答案：A
解析：因為,
所以,
所以,
所以z的共軛復數(shù)對應的點位于第一象限,
故選：A.
3．答案：B
解析：
,
故選：B.
4．答案：A
解析： 在上的投影向量為,
,
,又,是兩個單位向量,即,
.
故選：A.
5．答案：B
解析：由題知可按照最后一個服務區(qū)有2名志愿者和3名志愿者進行分配,
①,有;
②,有,
共有（種）.
故選：B.
6．答案：C
解析：若為銳角三角形,則,即,
又,,則,所以,
則,所以;
若,則,即B,C均為銳角,所以,
即,所以,則,即,
所以為銳角三角形;
故“”是“為銳角三角形”的充要條件,
故選：C.
7．答案：B
解析：由題意,,,
設,則不等式為, , 在上是增函數(shù), ,即,令,
則,
當時,遞增,時,遞減, , ,
故選：B.
8．答案：C
解析：要使半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小,只需保證小球與球各面（含球面部分）都相切,
此時,如上圖示,O為半球的球心,A為其中一個小球球心,則OA是棱長為2的正方體的體對角線,且該小球與半球球面上的切點與O,A共線,
所以半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為小球半徑與OA長度之和,即,
故選：C.
9．答案：BD
解析：對于A選項,因為,,,所以,故A錯誤;
對于B選項,因為A與B互斥,所以,故B正確;
對于C選項,因為,所以,所以,故C錯誤;
對于D選項,因為,即,所以,又因為,所以,所以A與B相互獨立,故D正確.
故選BD.
10．答案：ABD
解析:以點D為坐標原點,DA,DC,所在直線分別為x,y,z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,設正方體的棱長為2,
則,,,,,,,,,,,對于A選項,,,,故A選項正確;
對于B選項,,,
所以,向量與向量的夾角是,與所成角為,故B選項正確.
對于C選項,,,則,故C選項錯誤;
對于D選項,設平面AEF的法向量為,,,,,平面AEF,平面AEF,故D選項正確;
故選:ABD.
11．答案：BCD
解析：的定義域為R,,故選項A錯誤;
,故選項B正確;
,故選項C正確;
,
,,當時,,,而在上單調(diào)遞增,
,
當時,,故選項D正確,
故選：BCD.
12．答案：ACD
解析：對于A：由,得,等式兩邊同時求導,得,即,故的圖象關于點對稱,故A正確;
對于B：由的圖象關于直線對稱,故的圖象關于直線對稱,
即為偶函數(shù),則,所以應滿足（C為常數(shù)）,當時,不是奇函數(shù),故B錯誤;
對于C：由,,
則,得,令替換x得,則
則,故C正確;
對于D：由的圖象關于點對稱,的圖象關于直線對稱,且,,令得,
,,
在一個周期內(nèi),,
所以,故D正確.
故選：ACD.
13．答案：
解析：正實數(shù)x,y滿足,
所以,即,
當且僅當時等號成立,
由恒成立,可得,
解得
故答案為：
14．答案：
解析:三角形中,由,可得,
再由正弦定理和余弦定理可得:
整理可得:,由余弦定理可得,可得
,
設AB邊的中線CD,則
所以,
而,
所以.
故答案為:.
15．答案：
解析：設點為曲線上一點,則
又,則,
則曲線在點處的切線方程為,
又切線過點,
則,即
令,則,
則時,單調(diào)遞減;
時,單調(diào)遞增;
時,單調(diào)遞減,
則時取得極小值,時取得極大值,
又,
當時,恒成立,時,,
又由題意得方程有3個根,
則與圖像有3個交點,則.
則曲線有三條過點的切線時實數(shù)a的取值范圍為.

故答案為：.
16．答案：
解析：由已知可得,.
不妨設直線,則點是直線l上的一點,
原點O到直線l的距離,
則,
設,,
在上遞減,在遞增
可得,
所以的最小值為.
故答案為：.
17．答案：(1),增區(qū)間為,
(2)
解析：（1）
故周期為,
令,
,
所以的增區(qū)間為,.
（2）,
,,,
故
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）原式,
令,則,
令,
因為對稱軸,所以二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以
有解,,
.
（2）原式可化為,
令,原式可化為
因為方程有三個不同的實數(shù)根,所以由的圖像知,
方程有兩個根,且或,
令
則或
.
19．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）在平面圖形中取AD中點O，連接OC，OE，
是邊長為2的等邊三角形，
，，故翻折后有，
又，則，，，
所以，即，則，
由，OP、平面POC，故平面POC，
，則，
平面POC，又平面POC，
∴．
（2）在面POC內(nèi)作，交PC于M，由平面POC，OM,平面POC，
所以，故AD,OM,OC兩兩垂直，
以O為原點，OA為x軸，OC為y軸，OM為z軸，建立空間直角坐標系，
由（1）得，四邊形OABC為矩形，
在中，，由余弦定理得，故，
所以，，，，，
所以，，，
設平面PCD的一個法向量，則，令，則，
設直線PB與平面PCD所成角為，則．
20．答案：(1)
(2)
解析：（1）因為,
所以,即.
由正弦定理,得.
因為,所以.
因為,所以.
又因為,所以,所以.
因為D為邊BC中點,所以,
則.
又,,
所以,即,即,
所以.
（2）在中,由余弦定理,得.
又,所以,
所以,當且僅當時取等號,
所以,所以.
因為平分,
所以,
所以,
所以.
令,則,.
因為在上單調(diào)遞增,
所以當即時,y取得最大值為,
所以AD的最大值為.
21．答案：(1)
(2)分布列見解析,
(3)最可能有6名或7名
解析：（1）由可得.
（2）由頻率分布直方圖可得：周平均閱讀時間在,,三組的頻率之比為,
10人中,周平均閱讀時間在的人數(shù)為人,在的人數(shù)為人,在的人數(shù)為人.
則X所有可能的取值為0,1,2,3,
,
,
,
.
X的分布列為：
數(shù)學期望.
（3）用頻率估計概率,從該地區(qū)學生周平均閱讀時間在內(nèi)中隨機抽取20名學生,周平均閱讀時間在內(nèi)的概率,
設周平均閱讀時間在內(nèi)的學生有k名,
則,
所以.
令,解得,
所以當或,最大.
所以,周平均閱讀時間在內(nèi)的學生最可能有6名或7名.
22．答案：(1)
(2)
解析：（1）由,得,
設切點為,
則,
消去a得,
令,,
當時,,單調(diào)遞減,
當時,,單調(diào)遞增,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
且,
當時,,
所以若,則,
所以;
（2）由（1）得,,
且,
所以函數(shù)在單調(diào)遞增,
所以,
對于當時,恒成立,
當時,,所以恒成立;
若當時,恒成立,
則在恒成立,
,,
當時,,,
所以在上單調(diào)遞增,所以,成立;
當時,設,,
在上恒成立,
所以在上單調(diào)遞增,
因為,,
所以,使,
所以時,,單調(diào)遞減,時,,單調(diào)遞增,
所以當時,,即,與題設矛盾,
綜上所述：.
X
0
1
2
3
P

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