考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．考試時(shí)間120分鐘．
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．
4.本卷命題范圍：集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角函數(shù)及解三角形（含三角恒等變換）、平面向量、復(fù)數(shù)、數(shù)列、立體幾何（含空間向量）（約），直線與圓、圓錐曲線（約）．
一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)并集的定義計(jì)算可得.
【詳解】由，即，即，解得，
所以，
又，所以.
故選：C
2. 已知，，且，則（ ）
A. B. 2C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等得到方程組，求出、的值，從而求模.
【詳解】因?yàn)?，即，即?br>因?yàn)?，，所以，解得?br>所以.
故選：A
3. 已知直線與直線平行，則的值為（ ）
A. 4B. C. 2或D. 或4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行得到，求出的值，再檢驗(yàn)即可.
【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，
所以，解得或，
當(dāng)時(shí)直線與直線重合，不符合題意；
當(dāng)時(shí)直線與直線平行.
故選：B
4. 在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用、作為一組基底表示出、，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以為的中點(diǎn)，
所以，又，
所以，
所以，又，
因?yàn)?，所以?br>即，
所以，解得，所以.
故選：C
5. 設(shè)，是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)，且，則的面積為（ ）
A. 3B. C. 9D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題設(shè)可得，應(yīng)用余弦定理、橢圓定義求得，最后應(yīng)用三角形面積公式求面積.
【詳解】由題設(shè)，，可得，
，
由，，則，即，
所以的面積.
故選：B
6. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式求出，再由及兩角和的正切公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，
所以.
故選：D
7. 圓錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長(zhǎng)線會(huì)經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，一個(gè)鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，是它的一條對(duì)稱軸，是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)，反射光線是，若，，則該雙曲線的離心率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，由題中條件可得，，在直角三角形中，，，由雙曲線的定義可得，再求出離心率即可.
【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，

反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，
由，，可得，.
則，
，
記雙曲線的焦距為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，
在直角三角形中，，，
由雙曲線定義，可得，所以，
即，
所以離心率.
故選：A
8. 若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，則答案可求.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>令，所以，則，
，
所以，
即恒為遞增函數(shù)，
則，即，所以，
綜上：，
故選：A.
二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．
9. 已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)，到直線的距離相等，則直線的方程可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不滿足題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用距離相等列方程求解即可.
【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.
由已知得，
所以或，
所以直線的方程為或.
故選：AC.
10. 已知圓O：與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 線段AB的垂直平分線所在的直線方程為
B. 直線AB的方程為
C.
D. 若點(diǎn)P是圓O上的一點(diǎn)，則△PAB面積的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)相交圓的公共弦與兩圓心連線垂直平分判斷A，再由兩圓方程作差得公共弦所在直線判斷B，根據(jù)弦心距、半徑、半弦長(zhǎng)關(guān)系求弦長(zhǎng)判斷C，再由圓上點(diǎn)到直線的最大距離為圓心到直線距離加半徑長(zhǎng)判斷D.
【詳解】由圓C：知圓心為，
所以直線OC的方程為，即，
所以線段AB的垂直平分線所在的直線方程為，故A正確；
因?yàn)閳AO：與圓C：，兩圓方程作差，
可得直線AB的方程為，故B正確；
點(diǎn)O到直線AB的距離，所以，故C錯(cuò)誤；
點(diǎn)到直線的距離的最大值為，則面積的最大值為，故D正確．
故選：ABD．
11. 如圖，拋物線：的焦點(diǎn)為，過的直線交于兩點(diǎn)，過分別作的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則直線的方程為或
B.
C. 以線段為直徑的圓與軸相切
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A：設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及焦半徑公式計(jì)算；對(duì)于B：通過計(jì)算來(lái)判斷；對(duì)于C：通過計(jì)算線段的中點(diǎn)到軸的距離來(lái)判斷；對(duì)于D：利用韋達(dá)定理分別計(jì)算即可判斷.
【詳解】對(duì)于A：由題意知，，顯然直線的斜率不為0，
設(shè)直線的方程為，，，
所以，，由得，
所以，.
若，
則，
解得或，
所以直線的方程為或，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：因?yàn)?，?br>所以，所以，故B正確；
對(duì)于C：由拋物線定義知，，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
即線段的中點(diǎn)到軸的距離是，
所以以線段為直徑的圓與軸相切，故C正確；
對(duì)于D：，
，
所以，故D正確.
故選：BCD.
12. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的，恒有，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B. 為偶函數(shù)
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A：令，后計(jì)算可判斷；對(duì)于B：令后計(jì)算可判斷；對(duì)于C：令后計(jì)算可判斷；對(duì)于D：先通過變形確定函數(shù)的周期，然后利用周期來(lái)求解.
【詳解】對(duì)于A：令，，則，
又，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：令，則，
所以，所以為偶函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C：令，則，
所以，由于，令，，即，
即，故C正確；
對(duì)于D：令，則，
所以，所以，
所以，所以，
所以是周期為6的周期函數(shù).
令，則，即，所以，
所以，，，，所以，
故，
故D正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共4小題．
13. 過點(diǎn)且與圓：相切的直線方程為________
【答案】或
【解析】
【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線方程.
【詳解】圓：即，圓心為，半徑，
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線恰好與圓相切；
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線為，即，則，
解得，所求切線方程為，
綜上可得過點(diǎn)與圓相切的直線方程為或.
故答案為：或
14. 若點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則的最小值為________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線方程求出、、，設(shè)右焦點(diǎn)為，再由雙曲線的定義計(jì)算可得.
【詳解】雙曲線，則，，所以，設(shè)右焦點(diǎn)為，
圓，圓心為，半徑，
圓，圓心為，半徑，
且恰為雙曲線的左焦點(diǎn)，，
又點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線（在之間）時(shí)取等號(hào).
故答案為：
15. 古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，圓：，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)求出點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，再根據(jù)該圓與已知圓有交點(diǎn)列不等式求出的取值范圍.
【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，整理得，
所以點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，
所以圓與圓有公共點(diǎn)，
所以，
又，
所以，解得，
即的取值范圍是.
16. 已知，，是橢圓上不同的三點(diǎn)，直線，直線交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，記，的面積分別為，，若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)三角形面積公式及或得，再應(yīng)用相交弦長(zhǎng)公式列方程，即可求.
【詳解】由，即，則，
由圖知：當(dāng)位置變化時(shí)，或，
故，
所以，而直線、斜率存在且不，
故，
，
所以，即或，
當(dāng)，化簡(jiǎn)得.
當(dāng)時(shí)，，顯然，無(wú)解.
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是由面積公式得到，再由弦長(zhǎng)公式得到.
四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．
17. 在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
（1）求角的大??；
（2）若，，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用乘法公式及余弦定理得到，再由正弦定理將邊化角，即可得到，最后由輔助角公式計(jì)算可得；
（2）由正弦定理可得，由余弦定理求出、，最后由面積公式計(jì)算可得.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
又，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
又，所以，所以，即，
又，所以，所以，則.
【小問2詳解】
因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又，由?br>所以，解得或（舍去），
所以，所以.
18. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
（1）求通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用關(guān)系，構(gòu)造數(shù)列及等比數(shù)列定義寫出的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）得，討論、求前n項(xiàng)和．
【小問1詳解】
當(dāng)，則；
當(dāng)，則，
所以，而，則是首項(xiàng)、公比為2的等比數(shù)列，
所以，且也滿足，
綜上，.
【小問2詳解】
由（1）得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
.
所以.
19. 已知，是雙曲線：上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).
（1）求直線的方程；
（2）若線段的垂直平分線與相交于，兩點(diǎn)，證明：，，，四點(diǎn)共圓.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）通過作差法求解直線的斜率，然后求解直線方程；
（2）首先求解出線段中垂線的方程為：，然后求解中點(diǎn)，最后證明驗(yàn)證即可證明；
【小問1詳解】
依題意，直線的斜率必定存在，設(shè)其斜率為，，，
所以，，所以，
又，，所以，
故直線的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，
所以直線的方程為.
【小問2詳解】
證明：由得，
解得或，所以，.
線段中垂線方程為：，
設(shè)，
由得，
所以，
故的中點(diǎn)，所以，
，
所以，，，在以為圓心，為半徑的圓上，
所以，，，四點(diǎn)共圓.
20. 如圖，在四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，．
（1）求證：平面平面ABCD；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，即可得到，再由勾股定理逆定理證明，即可得到平面，從而得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【小問1詳解】
連接交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為的菱形，所以為、的中點(diǎn)且，
又，，所以，，
，同理可得，
所以，
所以，所以，即，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
由（1）可知，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
21. 已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，其離心率為，點(diǎn)P是C上的一點(diǎn)（不同于A，B兩點(diǎn)），且面積的最大值為．
（1）求C的方程；
（2）若點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AP交直線于點(diǎn)G，過點(diǎn)O且與直線BG垂直的直線記為l，直線BP交y軸于點(diǎn)E，直線BP交直線l于點(diǎn)F，試判斷是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；
（2）是定值，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率及焦點(diǎn)三角形性質(zhì)、橢圓參數(shù)關(guān)系求參數(shù)，即可得方程；
（2）設(shè)，且，求得，再根據(jù)已知可得直線，而直線，進(jìn)而求出坐標(biāo)，過作軸，利用等比例關(guān)系求即可得結(jié)論.
【小問1詳解】
由題意，故.
【小問2詳解】
由（1）及題設(shè)知：，直線的斜率存在且不為0，
設(shè)，則，即，
所以，又過點(diǎn)O且與直線BG垂直的直線記為l，則，
故直線，而直線，則，
聯(lián)立，而，可得，
所以，故，過作軸，如圖，
所以為定值.
22. 已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)，求證：．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；
（2）首先求出的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，則，由此可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間：和，則可得函數(shù)的單調(diào)性，從而得到極大值，結(jié)合條件和基本不等式即可證明結(jié)論.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，則，，所以，
所以在處的切線方程為.
【小問2詳解】
函數(shù)，則，
若在區(qū)間內(nèi)恒成立，
即在區(qū)間內(nèi)恒成立，
令，，則.
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故，
所以，
又，所以當(dāng)時(shí)恒成立，則在上單調(diào)遞增，則不存在極大值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，.
由，令，，則，
顯然在上單調(diào)遞增，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
又，，，
其中的證明如下：
令，則，所以在上單調(diào)遞增，
則，
故存在，使得，存在，使得，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，
故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，即，則.
由，得，，
由，得，
故，所以
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．

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