2024.01
本試卷共4頁(yè).滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，考試號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
2.已知集合，集合，則（ ）
A.B.C.D.
3.“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（ ）
A.B.C.D.
5.如圖，已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，是底面圓的直徑，且，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的大小為（ ）
A.B.C.D.
6.定義在上的函數(shù)和的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（ ）
A.B.C.D.
7.若，則（ ）
A.B.C.D.
8.已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，若，則三棱錐的外接球的表面積是（ ）
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9.下列命題中正確的是（ ）
A.若，則
B.若且，則
C.若，，且，則的最小值為
D.若，則的最小值為4
10.已知函數(shù)的最小正周期為，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
B.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減
C.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有恰有兩個(gè)零點(diǎn)
D.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)的圖象
11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.B.
C.D.
12.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左支相交于兩點(diǎn)（在第二象限），點(diǎn)與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)的坐標(biāo)為），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.記直線(xiàn)、的斜率分別為、，則
B.若，則
C.的最小值為6
D.的取值范圍是
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則__________.
14.已知平面向量滿(mǎn)足，，，則向量夾角的余弦值為_(kāi)_________.
15.已知圓，過(guò)點(diǎn)作兩條與圓相切的直線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，則__________.
16.若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17.（本題滿(mǎn)分10分）
在中，角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最小值.
18.（本題滿(mǎn)分12分）
已知數(shù)列為公差大于0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.
19.（本題滿(mǎn)分12分）
如圖，已知三棱柱各棱長(zhǎng)均為2，分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn)，平面.
（1）求證：平面平而；
（2）求平面與平面夾角的大小.
20.（本題滿(mǎn)分12分）
如圖，點(diǎn)是圓心角為，半徑為1的扇形圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)（與不重合），在線(xiàn)段上且，記，線(xiàn)段，及圓弧的長(zhǎng)度之和為.
（1）求函數(shù)關(guān)于的解析式；
（2）求為何值時(shí)，函數(shù)取得最大值.
21.（本題滿(mǎn)分12分）
已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1.
（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，過(guò)作與軸垂直的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程.
22.（本題滿(mǎn)分12分）
已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，證明：；
（3）證明：當(dāng)時(shí)，.
2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期高三質(zhì)量檢測(cè)
數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
說(shuō)明：（1）此評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)僅供參考：
（2）學(xué)生解法若與此評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中的解法不同，請(qǐng)酌情給分。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。
1.C 2.A 3.A 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9.AC 10.ABD 11.ACD 12.BD
12.提示：設(shè)，，
由于兩點(diǎn)均在雙曲線(xiàn)的左支上，所以，，
對(duì)于A：設(shè)，，
則，
均在雙曲線(xiàn)上，，所以
所以，，A錯(cuò)誤.
對(duì)于B：由知，
由對(duì)稱(chēng)性得，且
計(jì)算可得，，B正確
對(duì)于
當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，
此時(shí)，，與矛盾，故C錯(cuò)誤
對(duì)于
又，，所以，
結(jié)合，得，的取值范圍是，故D正確.
綜上，正確答案為：BD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.4 14. 15. 16.或
16.提示：
令，則或
記，，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減
最大值為.
當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，，顯然不合題意
要使恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程只有一個(gè)實(shí)根，另一個(gè)零點(diǎn)為.
故的取值范圍為：
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17.（10分）
解：（1）
由正弦定理得：
，又，，
，
（2），
由余弦定理得：
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
即的最小值為.
18.（12分）
解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為
因?yàn)椋?br>所以
解得或（舍去）
所以，，即.
（2）由（1）得
當(dāng)，時(shí)，，所以；
當(dāng)，時(shí)，，所以；
當(dāng)，時(shí)，，所以；
當(dāng)，時(shí)，，所以；
.
19.（12分）
（1）證明：平面，平面，
，為的中點(diǎn)，
，平面，
在平行四邊形中，，
四邊形為菱形，
又分別為，的中點(diǎn)，
，平面，平面
平面平面
（2）由（1）可知，，，兩兩相互垂直，故建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
由三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2得，，，
，，，，
，，
設(shè)平面的法向量為
則，
令，則，
所以，平面的一個(gè)法向量為
由（1）知平面
所以，平面的一個(gè)法向量為
設(shè)平面與平面的夾角為
則，
所以，平面與平面的夾角為.
20.（12分）
解：（1）在中，由題可知，，，
由正弦定理得，
所以，.
在扇形中，記弧的長(zhǎng)度為，則
所以，
所以，，
（2）由（1）得，，
令，得
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減
所以，當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為.
21.（12分）
解：（1）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C的焦點(diǎn)到C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1，
所以，
所以，拋物線(xiàn)的方程為.
（2）由題意可得，直線(xiàn)存在斜率，又直線(xiàn)過(guò)，
故設(shè)直線(xiàn)的方程為，
由，消去并整理得，
，所以直線(xiàn)與拋物線(xiàn)恒有兩個(gè)交點(diǎn).
設(shè)，，則，，
所以，，.
因?yàn)?，為弦的中點(diǎn)，過(guò)作軸垂直的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，
所以，，
所以，的坐標(biāo)為
所以，，
因?yàn)?br>所以，
即
整理得
解得
所以，直線(xiàn)的方程為或.
22.（12分）
解：（1）的定義域?yàn)椋?br>由，得，由得；
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）證明：，
要證明，即證明：
即證明：，即證：
又由（1）可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
，原命題成立.
（3）要證明，
即證明
由（1）可知，在處取得最大值，
，，（等號(hào)在時(shí)成立）
下面證明：，即證明：
令，
令，得，，得
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（等號(hào)在時(shí)成立）
綜上：（等號(hào)不能同時(shí)成立）.

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