1．（5分）已知集合M＝{﹣1，1，2}，N＝{x∈R|x2＝x}，則M∪N＝（ ）
A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，2}
2．（5分）若非零實(shí)數(shù)a，b滿足|a|＞|b|，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)﹣b＞0B．a(chǎn)2﹣b2＞0C．a(chǎn)3﹣b3＞0D．
3．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)閇﹣2，3]，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．[﹣3，7]D．[﹣3，﹣1）∪（﹣1，7]
4．（5分）已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a
5．（5分）在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直線x＝t截這個梯形位于此直線左方的圖形的面積（如圖中陰影部分）為y，則函數(shù)y＝f（t）的圖象大致為（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）“”是“函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)”的（ ）
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
7．（5分）y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，，若f（x）≥a﹣2對一切x≥0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．[﹣2，2]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，2]
8．（5分）已知函數(shù)f（x）＝2x2﹣1，g（x）＝ax，x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的較大者，記為M（x）＝max{f（x），g（x）}，若M（x）的最小值為，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．0B．±1C．D．±2
二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）
（多選）9．（5分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在（0，+∞）上單調(diào)遞增的為（ ）
A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x3C．f（x）＝2|x|D．
（多選）10．（5分）下列說法正確的有（ ）
A．“2”的否定是“?x∈R，2x≤x2”
B．若命題“?x∈R，x2+4x+m＝0”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（4，+∞）
C．若a，b，c∈R，則“ab2＞cb2”的充要條件是“a＞c”
D．“a＞1”是“”的充分不必要條件
（多選）11．（5分）下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（1，﹣2）
B．若不等式ax2+2x+c＜0的解集為{x|x＜﹣1或x＞2}，則a+c＝2
C．函數(shù)的最小值為6
D．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
（多選）12．（5分）定義域和值域均為[﹣a，a]（常數(shù)a＞0）的函數(shù)y＝f（x）和y＝g（x）圖象如圖所示，給出下列四個命題，那么，其中正確命題是（ ）
A．方程f[g（x）]＝0有且僅有三個解
B．方程g[f（x）]＝0有且僅有三個解
C．方程f[f（x）]＝0有且僅有九個解
D．方程g[g（x）]＝0有且僅有一個解
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13．（5分）已知集合A＝{1，m+2，2m2+m}，若3∈A，則實(shí)數(shù)m＝ ．
14．（5分）若關(guān)于x的不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍是 ．
15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（m﹣2）xm是冪函數(shù)，若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，則實(shí)數(shù)k的最大值是 ．
16．（5分）已知函數(shù)f（x），若對任意的x1∈[2，+∞），都存在唯一的x2∈（﹣∞，2），滿足f（x2）＝f（x1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（10分）已知集合A．
（1）當(dāng)a＝3時，求A∪B，A∩（?RB）；
（2）若A∪（?RB）＝R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
18．（12分）（1）計(jì)算：；
（2）已知，求的值．
19．（12分）已知x＞0，y＞0，x+9y﹣xy＝m．
（1）若m＝0，求x+y的最小值；
（2）若m＝﹣16，求xy的最小值．
20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x2+4．
（1）設(shè)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明g（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)a＞0時，解關(guān)于x的不等式f（x）＞（1﹣a）x2+2（a+1）x．
21．（12分）某企業(yè)為了增加工作崗位和增加員工收入，投入90萬元安裝了一套新的生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備后前n（n∈N*）年的支出成本為（10n2﹣5n）萬元，每年的銷售收入95萬元．設(shè)使用該設(shè)備前n年的總盈利額為f（n）萬元．
（1）寫出f（n）關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)該設(shè)備從第幾年開始盈利；
（2）使用若干年后對該設(shè)備處理的方案有兩種：
方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時，該設(shè)備以20萬元的價(jià)格處理；
方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，該設(shè)備以60萬元的價(jià)格處理；
問哪種方案較為合理？并說明理由．
22．（12分）已知f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，且滿足f（x）﹣g（x）＝21﹣x．
（1）求f（x），g（x）；
（2）若方程mf（x）＝[g（x）]2+2m+9有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若h（x）＝|[f（x）+g（x）]﹣1|，且方程[h（x）]2﹣（2k）h（x）+k＝0有三個解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
2022-2023學(xué)年湖南省長沙市天心區(qū)長郡中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（5分）已知集合M＝{﹣1，1，2}，N＝{x∈R|x2＝x}，則M∪N＝（ ）
A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，2}
【解答】解：集合M＝{﹣1，1，2}，N＝{x∈R|x2＝x}＝{0，1}，
則M∪N＝{﹣1，0，1，2}．
故選：C．
2．（5分）若非零實(shí)數(shù)a，b滿足|a|＞|b|，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a(chǎn)﹣b＞0B．a(chǎn)2﹣b2＞0C．a(chǎn)3﹣b3＞0D．
【解答】解：對于A，令a＝﹣2，b＝1，滿足|a|＞|b|，但是a﹣b＜0，故A錯誤，
對于B，由|a|＞|b|可得，a2＞b2，所以a2﹣b2＞0，故B正確，
對于C，令a＝﹣2，b＝1，滿足|a|＞|b|，但是a3﹣b3＜0，故B錯誤，
對于D，令a＝2，b＝﹣1，滿足|a|＞|b|，但是，故D錯誤，
故選：B．
3．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)閇﹣2，3]，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．[﹣3，7]D．[﹣3，﹣1）∪（﹣1，7]
【解答】解：由題意得，，
解得，且x≠﹣1．
故選：B．
4．（5分）已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a
【解答】解：∵0＜0.40.6＜0.40.2＜0.40＝1，∴0＜c＜b＜1，
∵20.2＞20＝1，∴a＞1，
∴a＞b＞c，
故選：A．
5．（5分）在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直線x＝t截這個梯形位于此直線左方的圖形的面積（如圖中陰影部分）為y，則函數(shù)y＝f（t）的圖象大致為（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如圖，點(diǎn)A作AE垂直于OC，垂足為E，可證得四邊形ABCE為長方形，再由，|AB|＝1，|OC|＝|BC|＝2，可得出三角形AOE為等直角三角形，
∴EC＝AB＝1，
∴AE＝BC＝2，OE＝1，
直線l：x＝t，直線左方的圖形面積為S，
直線l運(yùn)動到A點(diǎn)時，函數(shù)解析式為y＝t2，
當(dāng)直線l運(yùn)動由A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)時，函數(shù)解析式為S＝1+2（t﹣1），因此為一次函數(shù)，
因此符合S與t關(guān)系的大致圖象只有C．
故選：C．
6．（5分）“”是“函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)”的（ ）
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
所以，解得a≤2，
因?yàn)椋ǎ?]?（，3]，所以“”是“a∈（，2]”的必要不充分條件．
故選：A．
7．（5分）y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，，若f（x）≥a﹣2對一切x≥0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．[﹣2，2]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，2]
【解答】解：因?yàn)閥＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（0）＝0，
此時0≥a﹣2，解得a≤2，
當(dāng)x＜0時，，
令x＞0時，則﹣x＜0，
所以f（x）＝﹣f（﹣x），
當(dāng)且僅當(dāng)，即x時取等號，
因?yàn)閒（x）≥a﹣2對一切x＞0成立，
則2a≥a﹣2，解得a≥﹣2．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[﹣2，2]．
故選：B．
8．（5分）已知函數(shù)f（x）＝2x2﹣1，g（x）＝ax，x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的較大者，記為M（x）＝max{f（x），g（x）}，若M（x）的最小值為，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．0B．±1C．D．±2
【解答】解：函數(shù)f（x）＝2x2﹣1，g（x）＝ax，x∈R，根據(jù)題意作出f（x）、g（x）圖象如圖所示：
如果a＞0，如圖所示：
由圖象可知：在交點(diǎn)A處取得最小值為，
故2x2﹣1，解得x＝±，
由圖象可知x，
將點(diǎn)（，）代入g（x）＝ax得a，解得a＝1；
同理如果a＜0，則2x2﹣1，解得x＝±，
∴x，
將點(diǎn)（，）代入g（x）＝ax得a，解得a＝﹣1；
綜上所述：a＝±1，
故選：B．
二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）
（多選）9．（5分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在（0，+∞）上單調(diào)遞增的為（ ）
A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x3C．f（x）＝2|x|D．
【解答】解：對于A，函數(shù)為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；
對于B，函數(shù)為奇函數(shù)，故選項(xiàng)B錯誤；
對于C，函數(shù)為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確；
對于D，函數(shù)為偶函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D錯誤．
故選：AC．
（多選）10．（5分）下列說法正確的有（ ）
A．“2”的否定是“?x∈R，2x≤x2”
B．若命題“?x∈R，x2+4x+m＝0”為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（4，+∞）
C．若a，b，c∈R，則“ab2＞cb2”的充要條件是“a＞c”
D．“a＞1”是“”的充分不必要條件
【解答】解：對于A，命題“2”的否定是“?x∈R，2x≤x2”，故正確；
對于B，因?yàn)槊}“?x∈R，x2+4x+m＝0”為假命題，即?x∈R，x2+4x+m≠0為真，所以Δ＝16﹣4m＜0，解得m＞4，故正確；
對于C，由a＞c不能得出ab2＞cb2（b＝0時不成立），所以充分性不滿足，但“ab2＞cb2”可得b≠0，進(jìn)而可得a＞c，必要性滿足，所以a＞c是ab2＞cb2的必要不充分條件，故錯誤；
對于D，由a＞1可得，但由不能得a＞1（如a＝﹣1，滿足，但不滿足a＞1），所以“a＞1”是“”的充分不必要條件，故正確．
故選：ABD．
（多選）11．（5分）下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（1，﹣2）
B．若不等式ax2+2x+c＜0的解集為{x|x＜﹣1或x＞2}，則a+c＝2
C．函數(shù)的最小值為6
D．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
【解答】解：對于A，因?yàn)閥＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（1，1），所以函數(shù)f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（1，﹣1），故錯誤；
對于B，因?yàn)椴坏仁絘x2+2x+c＜0的解集為{x|x＜﹣1或x＞2}，所以，解得，所以a+c＝2，故正確；
對于C，因?yàn)?，令t，則t≥4，所以yt，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得y＝t在[4，+∞）上單調(diào)遞增，所以ymin＝4，故錯誤；
對于D，令t＝﹣x2﹣x+2，由﹣x2﹣x+2≥0可得：﹣2≤x≤1，所以f（x）的定義域?yàn)閇﹣2，1]，所以當(dāng)x∈[﹣2，]時，t單調(diào)遞增，u單調(diào)遞增；當(dāng)x∈[，1]時，t單調(diào)遞減，u單調(diào)遞減；又因?yàn)閥＝（）u為減函數(shù)，所以的單調(diào)增區(qū)間為[，1]，故正確．
故選：BD．
（多選）12．（5分）定義域和值域均為[﹣a，a]（常數(shù)a＞0）的函數(shù)y＝f（x）和y＝g（x）圖象如圖所示，給出下列四個命題，那么，其中正確命題是（ ）
A．方程f[g（x）]＝0有且僅有三個解
B．方程g[f（x）]＝0有且僅有三個解
C．方程f[f（x）]＝0有且僅有九個解
D．方程g[g（x）]＝0有且僅有一個解
【解答】解：對于A，∵g（x）∈[﹣a，a]，g（x）是單調(diào)減函數(shù)，∴方程f[g（x）]＝0有且僅有三個解，正確；
對于B，∵f（x）∈[﹣a，a]，∴方程g[f（x）]＝0有且僅有兩個解，故不正確；
對于C，方程f[f（x）]＝0的解最多有八個解，因此不正確；
對于D，∵g（x）∈[﹣a，a]，∴方程g[g（x）]＝0有且僅有一個解，正確．
綜上可得：正確的是AD．
故選：AD．
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13．（5分）已知集合A＝{1，m+2，2m2+m}，若3∈A，則實(shí)數(shù)m＝ ．
【解答】解：∵集合A＝{1，m+2，2m2+m}，3∈A，
∴m+2＝3且2m2+m≠3，或m+2≠3且2m2+m＝3，
即或，解得m，
當(dāng)m時，符合條件．
故答案為：．
14．（5分）若關(guān)于x的不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍是 [0，3） ．
【解答】解：當(dāng)k＝0時，不等式顯然成立，符合條件；
若k≠0，依據(jù)二次函數(shù)圖像可知，k＞0且Δ＝k2＝4×2k0，
解得，0＜k＜3，
綜上，0≤k＜3，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為[0，3）．
故答案為：[0，3）．
15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝（m﹣2）xm是冪函數(shù)，若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，則實(shí)數(shù)k的最大值是 6 ．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝（m﹣2）xm是冪函數(shù)，
∴m﹣2＝1，m＝3，f（x）＝x3，故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增．
若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，則f（k2+3）≤f（8k﹣9），∴k2+3≤8k﹣9，求得2≤k≤6，
實(shí)數(shù)k的最大值為6，
故答案為：6．
16．（5分）已知函數(shù)f（x），若對任意的x1∈[2，+∞），都存在唯一的x2∈（﹣∞，2），滿足f（x2）＝f（x1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 [0，4） ．
【解答】解：當(dāng)x≥2時，f（x）x4，
當(dāng)且僅當(dāng)x，即x＝2時，等號成立，
∴y＝f（x）在[2，+∞）上的值域?yàn)閇4，+∞），
當(dāng)x＜2時，f（x）＝2|x﹣a|，
①當(dāng)a≥2時，f（x）＝2a﹣x在（﹣∞，2）上單調(diào)遞減，
要使對任意的x1∈[2，+∞），都存在唯一的x2∈（﹣∞，2），滿足f（x2）＝f（x1），
則2a﹣2＜4，即a＜4，
∴2≤a＜4，
②當(dāng)a＜2時，f（x）＝2|x﹣a|在（﹣∞，a）上單調(diào)遞減，在（a，2）上單調(diào)遞增，又f（a）＝1＜4，
要使對任意的x1∈[2，+∞），都存在唯一的x2∈（﹣∞，2），滿足f（x2）＝f（x1），
則2|2﹣a|≤4，即0≤a≤4，
又∵a＜2，
∴0≤a＜2，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，4）．
故答案為：[0，4）．
四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（10分）已知集合A．
（1）當(dāng)a＝3時，求A∪B，A∩（?RB）；
（2）若A∪（?RB）＝R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：（1）B＝{x|﹣2＜x﹣1＜1}＝{x|﹣1＜x＜2}，a＝3時，A＝{x|1≤x≤5}，
∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤5}，?RB＝{x|x≤﹣1或x≥2}，A∩（?RB）＝{x|2≤x≤5}；
（2）∵A∪（?RB）＝R，
∴，解得0≤a≤1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，1]．
18．（12分）（1）計(jì)算：；
（2）已知，求的值．
【解答】解：（1）原式；
（2）由，
則7，
則a2+a﹣2＝（a+a﹣1）2﹣2＝47，
則a3+a﹣3＝（a+a﹣1）（a2+a﹣2﹣1）＝322，
即．
19．（12分）已知x＞0，y＞0，x+9y﹣xy＝m．
（1）若m＝0，求x+y的最小值；
（2）若m＝﹣16，求xy的最小值．
【解答】解：（1）當(dāng)m＝0時，x＞0，y＞0，x+9y﹣xy＝0．
即1，
x+y＝（x+y）（）＝1016，
當(dāng)且僅當(dāng)且1，即y＝4，x＝12時取等號，
此時x+y取得最小值16；
（2）若m＝﹣16，則x+9y﹣xy＝﹣16，
所以xy﹣16＝x+9y，當(dāng)且僅當(dāng)x＝9y且x+9y﹣xy＝﹣16，即y，x＝24時取等號，
解得xy≥64，
故xy的最小值為64．
20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x2+4．
（1）設(shè)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明g（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)a＞0時，解關(guān)于x的不等式f（x）＞（1﹣a）x2+2（a+1）x．
【解答】解：（1）證明：g（x），對于任意的x?，x?∈[2，+∞），且x?＜x?，
則g（x?）﹣g（x?）＝（x?）﹣（），
由x?，x?∈[2，+∞），且x?＜x?，
得x?﹣x?＜0，x?x?﹣4＞0，
故g（x?）﹣g（x?）＜0，
所以g（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）不等式f（x）＞（1﹣a）x2+2（a+1）x，化簡得不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0，
因?yàn)閍＞0，故上式化簡得，
當(dāng)，即a＝1時，得x≠2；
當(dāng)a＞1時，2，得x∈（﹣∞，）∪（2，+∞）；
當(dāng)a＜1時，2，得x∈（，+∞）∪（﹣∞，2）；
綜上，a＝1時，不等式的解集為{x|x≠2}；
當(dāng)a＞1時，不等式的解集為（﹣∞，）∪（2，+∞）；
當(dāng)a＜1時，不等式的解集為（，+∞）∪（﹣∞，2）；
21．（12分）某企業(yè)為了增加工作崗位和增加員工收入，投入90萬元安裝了一套新的生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備后前n（n∈N*）年的支出成本為（10n2﹣5n）萬元，每年的銷售收入95萬元．設(shè)使用該設(shè)備前n年的總盈利額為f（n）萬元．
（1）寫出f（n）關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)該設(shè)備從第幾年開始盈利；
（2）使用若干年后對該設(shè)備處理的方案有兩種：
方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時，該設(shè)備以20萬元的價(jià)格處理；
方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，該設(shè)備以60萬元的價(jià)格處理；
問哪種方案較為合理？并說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)f（n）為前n年的總盈利額，單位：萬元；
由題意可得f（n）＝95n﹣（10n2﹣5n）﹣90＝﹣10n2+100n﹣90＝﹣10（n﹣1）（n﹣9），
由f（n）＞0得1＜n＜9，
又n∈N*，所以該設(shè)備從第2年開始實(shí)現(xiàn)總盈利；
（2）方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，總盈利額f（n）＝﹣10n2+100n﹣90＝﹣10（n﹣5）2+160，
當(dāng)n＝5時，f（n）取得最大值160；此時處理掉設(shè)備，則總利潤為160+20＝180萬元；
方案二：由（1）可得，平均盈利額為10（n）+100≤100﹣2040．
當(dāng)且僅當(dāng)n，即n＝3時，等號成立；
即n＝3時，平均盈利額最大，此時f（n）＝120，此時處理掉設(shè)備，總利潤為120+60＝180萬元；
綜上，兩種方案獲利都是180萬元，但方案二僅需要三年即可，故方案二更合適．
22．（12分）已知f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，且滿足f（x）﹣g（x）＝21﹣x．
（1）求f（x），g（x）；
（2）若方程mf（x）＝[g（x）]2+2m+9有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若h（x）＝|[f（x）+g（x）]﹣1|，且方程[h（x）]2﹣（2k）h（x）+k＝0有三個解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，
∵f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，
且f（x）﹣g（x）＝21﹣x①，
∴f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝21+x，即f（x）+g（x）＝21+x②；
由①+②解得f（x）＝2x+2﹣x，
①﹣②解得g（x）＝2x﹣2﹣x；
（2）方程mf（x）＝[g（x）]2+2m+9有解，
則m（2x+2﹣x）＝22x+2﹣2x﹣2+2m+9＝（2x+2﹣x）2+2m+5有解，
令t＝2x+2﹣x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號，
∴mt＝t2+2m+5在[2，+∞）有解，
即m（t﹣2）＝t2+5，
當(dāng)t＝2時，不成立，
當(dāng)t＞2時，m（t﹣2）4≥24＝6+4＝10，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝5時取等號，
故m的取值范圍為[10，+∞）；
（3）h（x）＝|[f（x）+g（x）]﹣1|＝|2x﹣1|∈[0，+∞），
令h（x）＝a，則a∈[0，+∞），
函數(shù)h（x）的圖象，如圖所示為：
∵方程[h（x）]2﹣（2k）h（x）+k＝0有三個解，
∴a2﹣（2k）a+k＝0有兩個根，且0＜a1＜1＜a2，或者a1＝0，0＜a2＜1，或者0＜a1＜1，a2＝1
當(dāng)a1＝0，0＜a2＜1，有k＝0，a2a＝0，解得a2滿足題意，
當(dāng)0＜a1＜1，a2＝1時，有k，，解得a1，滿足題意；
當(dāng)0＜a1＜1＜a2時，令p（a）＝a2﹣（2k）a+k，則，
解得k，
綜上可得，k的取值范圍為{0}∪[，+∞）．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/10/31 9:17:44；用戶：高中數(shù)學(xué)朱老師；郵箱：rFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0fc@；學(xué)號：37103942

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