總分：150分 考試時間：120分鐘；
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的.
1. 如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是，則|z1＋z2|＝( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
2. 函數(shù)的部分圖像大致為（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知圓為的外接圓，，，則（ ）
A. 2B. C. 4D.
4. 直線、是異面直線，、是平面，若，，，則下列說法正確的是（ ）
A. 至少與、中的一條相交B. 至多與、中的一條相交
C. 與、都相交D. 與、都不相交
5. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點，則曲線在點處的切線方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，且在R上為嚴格增函數(shù)，關(guān)于下列兩個命題的判斷，說法正確的是（ ）
①“”是“”的充要條件；
②“對任意都有”是“在R上為嚴格增函數(shù)”的充要條件．
A. ①真命題；②假命題B. ①假命題；②真命題
C. ①真命題；②真命題D. ①假命題；②假命題
7. 已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，滿足，且.若，則與的關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)，將的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，對于，則下列說法中正確的是（ ）
A. B.
C. 數(shù)列是遞增數(shù)列D.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 單位向量與的夾角為銳角，則的取值可能為（ ）
A B. C. D.
10. 中，內(nèi)角A，B的對邊分別為a，b，則下列能成為“”的充要條件的有（ ）
A. B. C. D.
11. 若將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A. 的最小正周期為B. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 是函數(shù)圖象的一個對稱軸D. 的圖象關(guān)于點對稱
12. 商場某區(qū)域的行走路線圖可以抽象為一個的正方體道路網(wǎng)（如圖，圖中線段均為可行走的通道），甲、乙兩人分別從，兩點出發(fā)，隨機地選擇一條最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達，為止，下列說法正確的是（ ）

A. 甲從必須經(jīng)過到達的方法數(shù)共有9種
B. 甲從到的方法數(shù)共有180種
C. 甲、乙兩人在處相遇的概率為
D. 甲、乙兩人相遇的概率為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 二項式的展開式的中間項系數(shù)為 _____．
14. 記函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則________．
15. 設(shè)是橢圓的左、右焦點，為坐標原點，為上一個動點，且的取值范圍為，則橢C的長軸長為______．
16. 已知是單位向量，向量滿足，且，其中，且．則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是___________．
①；
②；
③存在x，y，使得；
④當取最小值時，．
四、解答題：本題共6小題，共70分.
17. 在中，角，，所對的邊分別是，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求值.
18. 已知數(shù)列的前項和為，，等比數(shù)列的公比為，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前10項和．
19. 某校在一次慶?；顒又校O(shè)計了一個“套圈游戲”，規(guī)則如下：每人3個套圈，向，兩個目標投擲，先向目標擲一次，套中得1分，沒有套中不得分，再向目標連續(xù)擲兩次，每套中一次得2分，沒套中不得分，根據(jù)累計得分發(fā)放獎品．已知小明每投擲一次，套中目標概率為，套中目標的概率為，假設(shè)小明每次投擲的結(jié)果相互獨立，累計得分記為．
（1）求小明恰好套中2次的概率；
（2）求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
20. 如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面且．
（1）證明：平面.
（2）求平面與平面的夾角的大?。?br>21. 已知拋物線的焦點為，點在上，且的最小值為1.
（1）求的方程；
（2）過點的直線與相交于，兩點，過點的直線與相交于，兩點，且，不重合，判斷直線是否過定點.若是，求出該定點；若不是，請說明理由.
22 設(shè).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.衡陽市八中2024屆高三第五次月考
數(shù)學(xué)試卷
總分：150分 考試時間：120分鐘；
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的.
1. 如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是，則|z1＋z2|＝( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【詳解】由題圖可知，z1＝－2－i，z2＝i，則z1＋z2＝－2，∴|z1＋z2|＝2，故選A.
2. 函數(shù)部分圖像大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求解函數(shù)的定義域，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，排除BC；
再求出，排除D，選出正確答案.
【詳解】定義域為R，且，
故為偶函數(shù)，所以排除選項B和選項C；
又，排除D.
故選：A．
3. 已知圓為的外接圓，，，則（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用正弦定理求外接圓的半徑，再根據(jù)數(shù)量積的定義分析運算.
【詳解】如圖，圓的直徑為，
故，，
故.
故選：B.
4. 直線、是異面直線，、是平面，若，，，則下列說法正確的是（ ）
A. 至少與、中的一條相交B. 至多與、中的一條相交
C. 與、都相交D. 與、都不相交
【答案】A
【解析】
【分析】依題意可知，共面于，共面于.利用空間兩條直線的位置關(guān)系，對選項舉出反例進行排除，由此得出正確選項.
【詳解】解：由直線、是異面直線，、是平面，若，，，知：對于選項，可以與、都相交，交點為不同點即可，故選項不正確；對于選項，，，滿足題意，故選項不正確；對于選項，與、都不相交，則與、都平行，所以，平行，與異面矛盾，故選項不正確；對于選項，由，、是錯誤的，可知正確.由于共面，共面，若與都平行，根據(jù)平行公理可知平行，這與已知異面矛盾，故選項正確.故本小題選.
【點睛】本小題主要考查空間直線的位置關(guān)系，包括平行、相交、異面和平行公理的考查，屬于基礎(chǔ)題.
5. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點，則曲線在點處的切線方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由曲線過原點求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.
【詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點，
所以，所以，
所以
所以．
因為，所以．
所以所求切線方程為，
即．
故選：A.
6. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，且在R上為嚴格增函數(shù)，關(guān)于下列兩個命題的判斷，說法正確的是（ ）
①“”是“”的充要條件；
②“對任意都有”是“在R上為嚴格增函數(shù)”的充要條件．
A. ①真命題；②假命題B. ①假命題；②真命題
C. ①真命題；②真命題D. ①假命題；②假命題
【答案】C
【解析】
【分析】對于①，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題設(shè)，判斷“”和“”之間的邏輯推理關(guān)系，可判斷其真假；對于②，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，判斷必要性；采用反證思想，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，說明充分性成立，判斷②的真假.
【詳解】對于①：
設(shè)，，則，
因為在R上為嚴格增函數(shù)，故，
即，則在R上單調(diào)遞增，
由于，故，即。
即；
當成立時，即，
由于在R上單調(diào)遞增，故，
故“”是“”的充要條件，①為真命題；
對于②，當在R上為嚴格增函數(shù)時，由對任意，則都有成立；
當對任意都有時，假設(shè)在R上不為嚴格增函數(shù)，
即不恒大于等于0，即，使得，
由于在R上為嚴格增函數(shù)，故時，，
此時在上單調(diào)遞減，且其圖象為一個嚴格遞減的凹型曲線，
故當趨近于負無窮時，的值將趨近于正無窮大，
這與對任意都有矛盾，
則假設(shè)不成立，即“在R上為嚴格增函數(shù)”成立，
即“對任意都有”是“在R上為嚴格增函數(shù)”的充要條件，②為真命題，
故選：C
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是判斷②中命題的充分性成立，解答時采用反證思想，推得矛盾，說明充分性成立.
7. 已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，滿足，且.若，則與的關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可求的值，結(jié)合在上的單調(diào)且即可知為單調(diào)增函數(shù)，結(jié)合即可得的唯一值，進而得到與的關(guān)系
【詳解】由，若令，則，即或
∵是定義在上的單調(diào)函數(shù)，而，知：(為常數(shù))
∴，即在上為單調(diào)增函數(shù)
∵
∴，故，即有
故選：A
【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性判斷參數(shù)的大小關(guān)系，進而確定參數(shù)所構(gòu)成對數(shù)的值，從而得到參數(shù)間的等量關(guān)系
8. 已知函數(shù)，將的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，對于，則下列說法中正確的是（ ）
A. B.
C. 數(shù)列是遞增數(shù)列D.
【答案】D
【解析】
【分析】的極值點為的變號零點，即為函數(shù)與函數(shù)圖像在交點的橫坐標.將兩函數(shù)圖像畫在同一坐標系下.A選項，利用零點存在性定理及圖像可判斷選項；BC選項，由圖像可判斷選項；D選項，注意到，由圖像可得單調(diào)性，后可判斷選項.
【詳解】解：的極值點為在上的變號零點.
即為函數(shù)與函數(shù)圖像在交點的橫坐標.
又注意到時，，時，，
，時，.
據(jù)此可將兩函數(shù)圖像畫在同一坐標系中，如下圖所示.
A選項，注意到時，，，.
結(jié)合圖像可知當，.
當，.故A錯誤；
B選項，由圖像可知，則，故B錯誤；
C選項，表示兩點與間距離，由圖像可知，
隨著n的增大，兩點間距離越來越近，即為遞減數(shù)列，故C錯誤；
D選項，由A選項分析可知，，
又結(jié)合圖像可知，當時，，即此時，
得在上單調(diào)遞增，
則，故D正確.
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及函數(shù)的極值點，因函數(shù)本身通過求導(dǎo)難以求得單調(diào)性，故將兩相關(guān)函數(shù)畫在同一坐標系下，利用圖像解決問題.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 單位向量與的夾角為銳角，則的取值可能為（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】令與的夾角為，則，利用向量的模的運算，即可得出相應(yīng)的范圍.
【詳解】由題知，令與的夾角為，則，
，
所以，，
故選：BC
10. 中，內(nèi)角A，B的對邊分別為a，b，則下列能成為“”的充要條件的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理判斷A，利用余弦函數(shù)性質(zhì)判斷B，結(jié)合余弦二倍角公式判斷C，舉反例判斷D．
【詳解】由正弦定理，A是充要條件，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角都在上，B也是充要條件，
中，，，即，C是充要條件，
，滿足，但，，，D不是充要條件．
故選：ABC．
11. 若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A. 的最小正周期為B. 在區(qū)間上單調(diào)遞減
C. 是函數(shù)圖象的一個對稱軸D. 的圖象關(guān)于點對稱
【答案】ACD
【解析】
【分析】由題可得，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，
得到函數(shù)的圖象.
對于A，的周期為，故A正確；
對于B，由，得，從而
即時，單調(diào)遞減，故B不正確；
對于C，，
所以是函數(shù)圖象的一個對稱軸，故C正確；
對于D，，
所以的圖象關(guān)于點對稱，故D正確．
故選：ACD.
12. 商場某區(qū)域的行走路線圖可以抽象為一個的正方體道路網(wǎng)（如圖，圖中線段均為可行走的通道），甲、乙兩人分別從，兩點出發(fā)，隨機地選擇一條最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達，為止，下列說法正確的是（ ）

A. 甲從必須經(jīng)過到達的方法數(shù)共有9種
B. 甲從到的方法數(shù)共有180種
C. 甲、乙兩人在處相遇的概率為
D. 甲、乙兩人相遇的概率為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用組合計數(shù)原理結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可判斷A選項；分析可知從點到點，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可判斷B選項；利用古典概型的概率公式可判斷C選項；找出兩人相遇的位置，求出兩人相遇的概率，可判斷D選項．
【詳解】對于A，從點到點，需要向上走2步，向前走1步，
從點到點，需要向右走2步，向前走1步，
所以，甲從必須經(jīng)過到達的方法數(shù)為種，A正確；
對于B,從點到點，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，
所以，甲從到的方法數(shù)為種，B錯誤；
對于C，甲從點運動到點，需要向上、前、右各走一步，
再從點運動到點，也需要向上、前、右各走一步，
所以，甲從點運動到點，且經(jīng)過點，不同的走法種數(shù)為種，
乙從點運動到點，且經(jīng)過點，不同的走法種數(shù)也為36種，
所以，甲、乙兩人在處相遇的概率為，C正確；
對于D，若甲、乙兩人相遇，則甲、乙兩人只能在點、、、、、、，

甲從點運動到點，需要向上走2步，向前走1步，再從點運動到點，需要向前走1步，向右走2步，
所以甲從點運動到點且經(jīng)過點的走法種數(shù)為，
所以甲、乙兩人在點處相遇的走法種數(shù)為，
同理可知，甲、乙兩人在點、、、、處相遇的走法種數(shù)都為，
因此，甲、乙兩人相遇的概率為，D正確．
故選：ACD．
【點睛】解答本題的關(guān)鍵在于利用組合數(shù)去計算對應(yīng)的方法數(shù)，將從到的路線轉(zhuǎn)變?yōu)榱剑渲忻恳粭l路線向上步數(shù)確定后，則對應(yīng)向右的步數(shù)也能確定，因此可以考慮從六步中選取向上或向右的步數(shù)，由此得到的組合數(shù)可表示對應(yīng)路線的方法數(shù)．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 二項式的展開式的中間項系數(shù)為 _____．
【答案】20
【解析】
【分析】先確定展開式的項數(shù)，進而找到中間項求系數(shù)即可.
【詳解】二項式的展開式共有7項，第四項為中間項，系數(shù)為.
故答案為20.
【點睛】本題主要考查了二項式的展開，屬于基礎(chǔ)題.
14. 記函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則________．
【答案】
【解析】
分析】求導(dǎo)后可得，結(jié)合對數(shù)運算法則可求得結(jié)果.
【詳解】，，即，
.
故答案為：.
15. 設(shè)是橢圓的左、右焦點，為坐標原點，為上一個動點，且的取值范圍為，則橢C的長軸長為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量數(shù)量積的運算律，結(jié)合橢圓的范圍求得，再列式計算即得.
【詳解】橢圓的半焦距為c，為的中點，
，顯然，于是，
因此，即，解得，，即，
所以橢圓C的長軸長為.
故答案為：
16. 已知是單位向量，向量滿足，且，其中，且．則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是___________．
①；
②；
③存在x，y，使得；
④當取最小值時，．
【答案】①③④
【解析】
【分析】由結(jié)合數(shù)量積運算得；又由，求得，進而得；結(jié)合基本不等式求得；進而得到，同時平方即得.
【詳解】由可得，即，①正確；
又且，則，即，所以，
又，則，同理，
則，即，②錯誤；
由知至少一正，若一正一負，則，顯然不滿足，
故均為正，則，當且僅當時等號成立，則，
當且僅當時等號成立，則存在x，y，使得，③正確；
當取最小值2時，，由可得，則，
即，則，④正確.
故答案為：①③④.
【點睛】本題關(guān)鍵點在于由結(jié)合得到，進而得，再結(jié)合基本不等式求得，最后由平方即可求解.
四、解答題：本題共6小題，共70分.
17. 在中，角，，所對的邊分別是，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值.
【答案】17. ；
18.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及兩角差的余弦公式進行化簡求解；（2）由余弦定理得，由正弦定理得，即得的值.
【小問1詳解】
因為，根據(jù)正弦定理可得
在中，，所以有，
則有，即，
又，所以.
【小問2詳解】
根據(jù)余弦定理，，所以
根據(jù)正弦定理，，則有，
所以.
18. 已知數(shù)列的前項和為，，等比數(shù)列的公比為，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前10項和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）當時求出，可得通項與，由求數(shù)列的通項公式；
（2）利用分組求和法求數(shù)列的前10項和.
【小問1詳解】
當時，，，，
等比數(shù)列的公比為，則有，
由，可得．
當時，．
經(jīng)檢驗，當時，滿足上式，
所以．
【小問2詳解】
，
設(shè)的前10項和為，
．
19. 某校在一次慶?；顒又?，設(shè)計了一個“套圈游戲”，規(guī)則如下：每人3個套圈，向，兩個目標投擲，先向目標擲一次，套中得1分，沒有套中不得分，再向目標連續(xù)擲兩次，每套中一次得2分，沒套中不得分，根據(jù)累計得分發(fā)放獎品．已知小明每投擲一次，套中目標的概率為，套中目標的概率為，假設(shè)小明每次投擲的結(jié)果相互獨立，累計得分記為．
（1）求小明恰好套中2次的概率；
（2）求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；
（2）分布列見解析，.
【解析】
【分析】（1）分類討論及利用概率乘法公式計算即可；
（2）利用隨機變量的分布列與期望公式計算即可.
【小問1詳解】
記“小明恰好套中2次”為事件A，
分3種情況第一次，第二次套中；第一次，第三次套中；第二次第三次套中；
則：，
小明恰好套中2次的概率為；
【小問2詳解】
由題意可得：的可能取值為0，1，2，3，4，5，
，，
，，
，，
所以的分布列為
所以.
20. 如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面且．
（1）證明：平面.
（2）求平面與平面的夾角的大?。?br>【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點，連接，利用面面垂直、線面垂直，以及線段長度求證線面垂直即可.
（2）建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，進而求出其夾角大小即可.
【小問1詳解】
取中點，連接
都是邊長為2的正三角形，
，，
又，面，面，
面，
又平面平面，
面且
又面且
，，，
是正方形，
又，平面，平面，
平面
【小問2詳解】
由（1）知兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系
由于軸垂直面
∴平面的法向量為
又，，
，
設(shè)平面的法向量，
則，
令，則，，所以
∴平面與平面的夾角為
21. 已知拋物線的焦點為，點在上，且的最小值為1.
（1）求的方程；
（2）過點的直線與相交于，兩點，過點的直線與相交于，兩點，且，不重合，判斷直線是否過定點.若是，求出該定點；若不是，請說明理由.
【答案】21.
22. 過定點，定點為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線上點的坐標特點，確定的最小值即可得，從而得拋物線方程；
（2）根據(jù)直線的斜率公式結(jié)合點共線得到A、C縱坐標的關(guān)系，點斜式得到直線，從而確定定點.
【小問1詳解】
由題意可設(shè)，則
所以
則的最小值為，則，得.
所以的方程為.
【小問2詳解】
因為A，C不重合，所以直線，，的斜率必然存在.
設(shè)，，.
直線的斜率，
得.
直線的斜率.
得.
由，可得.
直線的斜率.
所以直線的方程.
故直線過定點.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問解題關(guān)鍵是利用三點共線得到A、C縱坐標的關(guān)系，再結(jié)合點斜式方程寫出直線AC的方程可得解.
22. 設(shè).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)因式分解，分，，三種情況，求出單調(diào)性；
（2）不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到當且僅當 時等號成立，并且存在，滿足，故當時，滿足要求，當時，不合要求，得到答案.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，
①，令，得；令，得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
②，令得，，
當時，，當或時，；當時，，
則在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當時，恒成立，故在單調(diào)遞增；
當時，，當或時，，當時，，
則在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
綜上，當時，，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當時，在單調(diào)遞增；
當時，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
將代入中，，
化簡得，不等式兩邊同減去得，，
可化為，
令，則，
易知當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，
所以，從而，當且僅當時等號成立，
則，當且僅當時等號成立，
令，，
故當或時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
，，，
故存在，滿足，
當時，，，可得原不等式成立；
當時，由于存在，滿足，
從而使得，
而，于是不恒成立.
綜上，實數(shù)a的取值范圍是.
【點睛】難點點睛：導(dǎo)函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進行求解，本題難點是兩邊同減去得，從而構(gòu)造進行求解.0
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