注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5 分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2. 已知集合 則=（ ）
A B. C. D.
3. 為更好地滿足民眾個(gè)性化、多元化、便利化的消費(fèi)需求，豐富購(gòu)物體驗(yàn)和休閑業(yè)態(tài)，某市積極打造夜間經(jīng)濟(jì).為不斷創(chuàng)優(yōu)夜間經(jīng)濟(jì)發(fā)展環(huán)境、推動(dòng)消費(fèi)升級(jí)，有關(guān)部門對(duì)某熱門夜市開展“服務(wù)滿意度調(diào)查”，隨機(jī)選取了100 名顧客進(jìn)行問卷調(diào)查，對(duì)夜市服務(wù)進(jìn)行評(píng)分(滿分100 分)，根據(jù)評(píng)分情況繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第55 百分位數(shù)為（ ）

A. 65B. 72C. 72.5D. 75
4. 已知圓O:與 x 軸交于A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) M 是直線 上任意一點(diǎn).設(shè)，則p是q的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
5. 已知 則 （ ）
A. B. C. D.
6. 斜率為1的直線l過拋物線的焦點(diǎn)F，且與C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積是，則（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
7. 設(shè)，，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
8. 小明參加答題闖關(guān)游戲，答題時(shí)小明可以從A，B，C三塊題板中任選一個(gè)進(jìn)行答題，答對(duì)則闖關(guān)成功.已知他選中A，B，C三塊題板的概率分別為0.2，0.3，0.5，且他答對(duì)A，B，C三塊題板中題目的概率依次為0.91，0.92，0.93.則小明闖關(guān)失敗的概率是（ ）
A. 0.24B. 0.14C. 0.077D. 0.067
二、選擇題：本題共4小題，每小題5 分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，其中，則（ ）
A. 直線為函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸
B. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，
C. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?br>D. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象
10. 大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，大衍數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項(xiàng)起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….記大衍數(shù)列的前項(xiàng)和為，其通項(xiàng)公式 .則（ ）
參考公式：
A. 是數(shù)列中的項(xiàng)B.
C. D.
11. 在 的展開式中，若第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（ ）
A. 展開式中 的系數(shù)為
B. 展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為
C. 展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第項(xiàng)
D. 從展開式中任取2項(xiàng)，取到項(xiàng)都是的整數(shù)次冪的概率為
12. 已知 則（ ）
A 當(dāng) 時(shí)，無(wú)最大值
B. 當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值
C. 當(dāng)時(shí)，值域是( -∞，2]
D. 當(dāng)時(shí)，的值域是[2，+∞)
三、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共20分.
13. 已知雙曲線 的離心率為則_____.
14. 在平行四邊形中，，，點(diǎn)為線段 的中點(diǎn)，則 ______________.
15. 如圖，在棱長(zhǎng)為1 的正方體中，是棱 (不包含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐 的體積的取值范圍為 __________ .

16. 已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_______________.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知的三個(gè)角的對(duì)邊分別為，且
（1）求 B；
（2）若，求的面積.
18. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足 .
（1）求通項(xiàng)公式；
（2）已知 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為當(dāng)n∈時(shí)，，求實(shí)數(shù) λ 的范圍.
條件:①，且 等差數(shù)列；②； ③請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，并將其序號(hào)填寫在答題卡對(duì)應(yīng)位置，并完成解答.
19. 黨的二十大以來，國(guó)家不斷加大對(duì)科技創(chuàng)新的支持力度，極大鼓舞了企業(yè)持續(xù)投入研發(fā)的信心.某科技企業(yè)在國(guó)家一系列優(yōu)惠政策的大力扶持下，通過不斷的研發(fā)和技術(shù)革新，提升了企業(yè)收益水平.下表是對(duì)2023 年1 ~5月份該企業(yè)的利潤(rùn)y(單位：百萬(wàn))的統(tǒng)計(jì).
（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，求該企業(yè)的利潤(rùn)y與月份編號(hào)x的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系（，則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)性較強(qiáng)，，則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)性較弱.）；
（2）該企業(yè)現(xiàn)有甲、乙兩條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品.為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲、乙兩條流水線上分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進(jìn)行初檢，再?gòu)闹须S機(jī)選取3件做進(jìn)一步的質(zhì)檢，記抽到“甲流水線產(chǎn)品”的件數(shù)為，試求的分布列與期望.
附：相關(guān)系數(shù)
20. 如圖，在多面體中，四邊形為菱形，且∠ABC =60°，AE⊥平面 ABCD，AB =AE =2DF，AEDF.

（1）證明：平面AEC⊥平面 CEF；
（2）求平面ABE 與平面CEF 夾角的余弦值.
21. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程;
（2）當(dāng)時(shí)，證明：.
22. 已知橢圓E 的左、右焦點(diǎn)為，過 的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.
（1）求橢圓 的方程;
（2）點(diǎn)，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，過直線上任意一點(diǎn) 作直線 和 ，分別交橢圓于 ，兩點(diǎn).證明：直線 過定點(diǎn).月份
1 月
2 月
3 月
4 月
5 月
月份編號(hào)x
1
2
3
4
5
利潤(rùn)y(百萬(wàn))
7
12
13
19
24
許濟(jì)洛平2023—2024學(xué)年高三第二次質(zhì)量檢測(cè)
數(shù) 學(xué)
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5 分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，求出復(fù)數(shù)z，即可得，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得答案.
【詳解】由得，
故，其實(shí)部為，虛部為，
故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，
故選：A
2. 已知集合 則=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解兩個(gè)集合中的不等式，得到這兩個(gè)集合，再求交集.
【詳解】不等式，等價(jià)于，解得，即，
不等式，等價(jià)于，解得，即，
所以
故選：B
3. 為更好地滿足民眾個(gè)性化、多元化、便利化的消費(fèi)需求，豐富購(gòu)物體驗(yàn)和休閑業(yè)態(tài)，某市積極打造夜間經(jīng)濟(jì).為不斷創(chuàng)優(yōu)夜間經(jīng)濟(jì)發(fā)展環(huán)境、推動(dòng)消費(fèi)升級(jí)，有關(guān)部門對(duì)某熱門夜市開展“服務(wù)滿意度調(diào)查”，隨機(jī)選取了100 名顧客進(jìn)行問卷調(diào)查，對(duì)夜市服務(wù)進(jìn)行評(píng)分(滿分100 分)，根據(jù)評(píng)分情況繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第55 百分位數(shù)為（ ）

A. 65B. 72C. 72.5D. 75
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)頻率分布直方圖先估算出第數(shù)所在區(qū)間為，然后即可求出.
【詳解】由題中頻率分布直方圖知區(qū)間，，三個(gè)區(qū)間頻率為，
所以第數(shù)所在區(qū)間為，且設(shè)為，則，解得，故D正確.
故選：D.
4. 已知圓O:與 x 軸交于A，B 兩點(diǎn)，點(diǎn) M 是直線 上任意一點(diǎn).設(shè)，則p是q的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由圖結(jié)合幾何知識(shí)可知等價(jià)于過定點(diǎn)直線與圓O:相離，即可得答案.
【詳解】如圖，由題可知直線過定點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)N.
當(dāng)直線與圓相離時(shí)，設(shè)M為直線上任意點(diǎn)，連接MA，MB，設(shè)MA（或MB）與圓O交于C點(diǎn)，
連接CB（CA），則，由外角性質(zhì)，總有；

如圖，當(dāng)直線與圓相切或相交時(shí)，在直線上均存在點(diǎn)M，使.

綜上，等價(jià)于直線與圓O:相離，則.
注意到是的真子集，則p是q的充分不必要條件.
故選：A
5. 已知 則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定的條件，利用輔助角公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算即得.
【詳解】由，得，
所以.
故選：C
6. 斜率為1的直線l過拋物線的焦點(diǎn)F，且與C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積是，則（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，結(jié)合的面積求得參數(shù)p，即可求得答案.
【詳解】由題意知拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，
設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，
得，，
設(shè)，則，
故，

又點(diǎn)O到直線的距離為，
則，即，
故，
故選：B
7. 設(shè)，，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性比較b，c；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性比較a，b即得.
【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
因此，即，
令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
因此，即
所以.
故選：D
8. 小明參加答題闖關(guān)游戲，答題時(shí)小明可以從A，B，C三塊題板中任選一個(gè)進(jìn)行答題，答對(duì)則闖關(guān)成功.已知他選中A，B，C三塊題板的概率分別為0.2，0.3，0.5，且他答對(duì)A，B，C三塊題板中題目的概率依次為0.91，0.92，0.93.則小明闖關(guān)失敗的概率是（ ）
A. 0.24B. 0.14C. 0.077D. 0.067
【答案】C
【解析】
【分析】利用全概率公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意，小明闖關(guān)失敗的概率
.
故選：C.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5 分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，其中，則（ ）
A. 直線為函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸
B. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，
C. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?br>D. 將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式，利用整體代入的方法判斷函數(shù)的對(duì)稱軸即可判斷A；利用整體代入的方法求解函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間即可判斷B；利用整體思想換元，結(jié)合一次函數(shù)以及正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域即可判斷C；根據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮變換求出平移后的解析式即可判斷D．
【詳解】由函數(shù) 的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為 ，
則，得，即，，
又，得，所以．
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以直線為函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，故A正確；
對(duì)于B，令，，解得，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，則，所以，故C正確；
對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，故D正確．
故選：ACD．
10. 大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，大衍數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項(xiàng)起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….記大衍數(shù)列的前項(xiàng)和為，其通項(xiàng)公式 .則（ ）
參考公式：
A. 是數(shù)列中的項(xiàng)B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)的通項(xiàng)公式，分類討論為奇偶情況，即可逐項(xiàng)求解判斷.
【詳解】對(duì)A：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，解得，不符題意；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，解得，符合題意，故A正確；
對(duì)B：
，故B正確；
對(duì)C：由題意知
，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：
故D正確；
故選：ABD.
11. 在 的展開式中，若第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（ ）
A. 展開式中 的系數(shù)為
B. 展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為
C. 展開式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第項(xiàng)
D. 從展開式中任取2項(xiàng)，取到的項(xiàng)都是的整數(shù)次冪的概率為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到展開式的總項(xiàng)數(shù)為11項(xiàng)，，然后利用展開式的通項(xiàng)公式即可對(duì)各項(xiàng)判斷求解.
【詳解】由題知展開式，
其中第項(xiàng)與第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，
所以，得，得
對(duì)A：由展開式，得，
所以得的系數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：由的展開式中，
令，得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為，故B正確；
對(duì)C：展開式中的系數(shù)加絕對(duì)值后為，第項(xiàng)系數(shù)為，
第項(xiàng)系數(shù)為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：由，共有項(xiàng)，
其中當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，
所以在展開式中任取項(xiàng)，取到的項(xiàng)都是的整數(shù)次冪的概率為，故D正確.
故選：BD.
12. 已知 則（ ）
A. 當(dāng) 時(shí)，無(wú)最大值
B. 當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值
C. 當(dāng)時(shí)，的值域是( -∞，2]
D. 當(dāng)時(shí)，的值域是[2，+∞)
【答案】AD
【解析】
【分析】對(duì)于AB選項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可得答案；
對(duì)于CD選項(xiàng)，分，兩種情況討論單調(diào)性即可得答案
【詳解】對(duì)于AB選項(xiàng)，，.
，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故無(wú)最大值，則A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)于CD選項(xiàng)，.
當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，則此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，注意到，
則.
令.
注意到，均在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增.
因，，則，使.
則.
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
注意到，則，
則，
又，則，即在上單調(diào)遞減，則，綜上，當(dāng)時(shí)，的值域是[2，+∞).
故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于帶有三角函數(shù)的復(fù)雜函數(shù)，常利用分區(qū)間段討論，放縮，估值等手段，消除三角函數(shù)對(duì)于問題的影響.本題所涉函數(shù)較為復(fù)雜，為研究其單調(diào)性，將所涉區(qū)間分段，并引入新函數(shù)加以研究.
三、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共20分.
13. 已知雙曲線 的離心率為則_____.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線離心率計(jì)算公式列式計(jì)算即得.
【詳解】依題意，雙曲線的離心率，
所以.
故答案為：1
14. 在平行四邊形中，，，點(diǎn)為線段 的中點(diǎn)，則 ______________.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量數(shù)量積.
【詳解】，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
，則，
有，，，，，
.
故答案為：
15. 如圖，在棱長(zhǎng)為1 的正方體中，是棱 (不包含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐 的體積的取值范圍為 __________ .

【答案】
【解析】
【分析】利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離，從而求解.
【詳解】由題知以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，，，，
，，，
設(shè)，，得，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，得，
所以點(diǎn)到平面的距離，
又因?yàn)?，所以?br>由題知，
所以為等邊三角形，其面積，
所以三棱錐的體積，
故答案為：.
16. 已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_______________.
【答案】
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，由已知條件得在上是偶函數(shù)，然后根據(jù)其單調(diào)性從而可求解.
【詳解】令，所以，
因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，
所以在上是偶函數(shù)，
因?yàn)椋?br>因?yàn)楫?dāng)，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所有在上單調(diào)遞減，
由，得，又因?yàn)?，所以?br>所以，解得或，
所以不等式的解集為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知函數(shù)求出函數(shù)為偶函數(shù)和其單調(diào)性，從而求解.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知的三個(gè)角的對(duì)邊分別為，且
（1）求 B；
（2）若，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可得解；
（2）先利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.
【小問1詳解】
在中，因
由正弦定理可得：
所以
所以
整理得 又， 所以，
所以得
因?yàn)?，所以?br>【小問2詳解】
由（1）知， ，又，
在中， 由余弦定理，得，
所以，解得或（舍去），
所以的面積.
18. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足 .
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）已知 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為當(dāng)n∈時(shí)，，求實(shí)數(shù) λ 的范圍.
條件:①，且 等差數(shù)列；②； ③請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，并將其序號(hào)填寫在答題卡對(duì)應(yīng)位置，并完成解答.
【答案】（1）選項(xiàng)見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）選①可得為等比數(shù)列，后由題意可得首項(xiàng)，公比，即可得答案；選②，由可得，即 ，后可得答案；選③可得，進(jìn)而可得，后可得，即可得答案;
（2）由（1）結(jié)合錯(cuò)位相減法可得，后分n為偶數(shù)，奇數(shù)兩種情況可λ的范圍.
【小問1詳解】
若選①， 因?yàn)閿?shù)列中， ， 所以數(shù)列{}為等比數(shù)列.
設(shè){}的公比為q， 則， 由題意得，
又 ， 可得 ，即 ，
則有 ，
因?yàn)? ，解得， 故 ；
若選②，因?yàn)椋?.
所以 .
當(dāng)時(shí)， 有 ，且 ，.
所以數(shù)列{}是首項(xiàng),公比的等比數(shù)列， 所以；
若選③， 由 ，
所以 ，所以.
當(dāng)時(shí)， ，所以
所以， 數(shù)列{}為以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列， 所以 ；
【小問2詳解】
由（1）可知: 數(shù)列滿足，
數(shù)列的前 n項(xiàng)和，則，
兩式相減可得: ，所以 .
不等式 ,
注意到數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，， 取，可得；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， ，取，可得.
綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.
19. 黨的二十大以來，國(guó)家不斷加大對(duì)科技創(chuàng)新的支持力度，極大鼓舞了企業(yè)持續(xù)投入研發(fā)的信心.某科技企業(yè)在國(guó)家一系列優(yōu)惠政策的大力扶持下，通過不斷的研發(fā)和技術(shù)革新，提升了企業(yè)收益水平.下表是對(duì)2023 年1 ~5月份該企業(yè)的利潤(rùn)y(單位：百萬(wàn))的統(tǒng)計(jì).
（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，求該企業(yè)的利潤(rùn)y與月份編號(hào)x的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系（，則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)性較強(qiáng)，，則認(rèn)為y與x的線性相關(guān)性較弱.）；
（2）該企業(yè)現(xiàn)有甲、乙兩條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品.為對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)控，質(zhì)檢人員先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲、乙兩條流水線上分別抽取了5件、3件產(chǎn)品進(jìn)行初檢，再?gòu)闹须S機(jī)選取3件做進(jìn)一步的質(zhì)檢，記抽到“甲流水線產(chǎn)品”的件數(shù)為，試求的分布列與期望.
附：相關(guān)系數(shù)
【答案】（1）；具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性
（2）分布列見解析；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)公式求出相關(guān)系數(shù)的值，即可判斷；
（2）根據(jù)題意可知可取的為，然后計(jì)算列出分布列，求出期望即可求解.
【小問1詳解】
由統(tǒng)計(jì)表數(shù)據(jù)可得:

所以


所以相關(guān)系數(shù) ，
因此，兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.
【小問2詳解】
由題意知，的可能取值為
因?yàn)?，
，
所以 的分布列為：
所以
20. 如圖，在多面體中，四邊形為菱形，且∠ABC =60°，AE⊥平面 ABCD，AB =AE =2DF，AEDF.

（1）證明：平面AEC⊥平面 CEF；
（2）求平面ABE 與平面CEF 夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通過證明BD⊥平面AEC，HF∥BD，可證明結(jié)論；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，算出平面CEF的一個(gè)法向量，利用向量方法可得答案.
【小問1詳解】
如圖，取EC的中點(diǎn)H， 連結(jié)BD交 AC于點(diǎn)O，連結(jié)HO、HF.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，則AC⊥BD.
又AE⊥平面 ABCD，BD?平面ABCD，所以AE⊥BD.
因?yàn)锳E?平面AEC， AC?平面AEC， 且AE∩AC=A，
所以BD⊥平面AEC. 因?yàn)镠、 O分別為EC、 AC的中點(diǎn)，所以HO∥EA，且 又AE∥DF，且 .
所以HO∥DF，且HO=DF，所以四邊形HODF 為平行四邊形，所以HF∥OD，即HF∥BD，所以HF⊥平面AEC.
因?yàn)镠F?平面CEF，所以平面AEC⊥平面CEF.
【小問2詳解】
取CD中點(diǎn)M ， 連接AM. 因?yàn)榱庑?ABCD中， ∠ABC=60°， 所以ACD為正三角形，又M 為CD中點(diǎn)，所以AM⊥CD，
因?yàn)锳B∥CD，所以AM⊥AB. 因?yàn)锳E⊥平面ABCD， AB，AM?平面ABCD，所以AE⊥AB， AE⊥AM .如圖，
以A為原點(diǎn)，AB，AM，AE所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè)AB=AD=AE=2DF=2，
則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1， 0)，，E(0，0，2)，
因?yàn)锳M⊥平面ABE，所以為平面ABE的一個(gè)法向量，
設(shè)平面CEF的法向量為， 因?yàn)?，
所以，不妨令， 得.
設(shè)平面 ABE與平面CEF 夾角為θ，
則 ，
所以平面 ABE 與平面CEF夾角的余弦值為.

21. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程;
（2）當(dāng)時(shí)，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）分別求出，再利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；
（2）利用作差法并構(gòu)造函數(shù)，并利用二次導(dǎo)數(shù)求出恒成立，即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，則
所以，又因?yàn)椋?br>故所求切線方程為，即.
【小問2詳解】
因?yàn)榈亩x域是，
所以當(dāng)時(shí)，
設(shè)，則，
設(shè)則在上恒成立，
所以在上是增函數(shù)，則，
又因?yàn)椋驗(yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋裕?br>所以在上存在唯一零點(diǎn)，也是在上的唯一零點(diǎn)，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以
由于，所以，，，
所以，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，即成立
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（2）問中通過作差法后構(gòu)造函數(shù)，利用構(gòu)造函數(shù)的二次求導(dǎo)求出其最小值大于零，從而求證.
22. 已知橢圓E 的左、右焦點(diǎn)為，過 的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.
（1）求橢圓 的方程;
（2）點(diǎn)，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，過直線上任意一點(diǎn) 作直線 和 ，分別交橢圓于 ，兩點(diǎn).證明：直線 過定點(diǎn).
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由橢圓定義并結(jié)合的周長(zhǎng)為，從而可求解；
（2）利用數(shù)型結(jié)合，設(shè)出直線，分別與橢圓聯(lián)立，然后利用根與系數(shù)關(guān)系從而求解.
【小問1詳解】
由題意知，的周長(zhǎng)為，則，所以，
又 ， 則
所以橢圓的方程為 .
【小問2詳解】
由題意可作出圖形，如圖，
由題意知，， ， 直線，， 斜率均存在，
設(shè)， ， 則直線： ，
由 ， 得
因?yàn)?恒成立，所以 ，
即 ， 所以 ，
直線：，由得，
因?yàn)楹愠闪?，所?br>所以 ，，
所以 ，
所以直線方程為：
所以直線 過定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】（2）問中設(shè)出直線分別與橢圓聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系，從而可求解.月份
1 月
2 月
3 月
4 月
5 月
月份編號(hào)x
1
2
3
4
5
利潤(rùn)y(百萬(wàn))
7
12
13
19
24

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