一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次不等式解法求集合A，進(jìn)而結(jié)合集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：，
可得，所以.
故選：A.
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求得，進(jìn)而求得，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.
故選：A.
3．函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用排除法，根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及特殊值法分析判斷.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋遥?br>可知為偶函數(shù)，故A錯誤；
因?yàn)椋傻迷趦?nèi)不單調(diào)，故BC錯誤；
故選：D.
4．已知，是互相不重合的直線，，，是互相不重合的平面，則在下列四個命題中，正確的是（ ）
A．若，，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】D
【分析】把數(shù)學(xué)抽象的符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言，結(jié)合具體的例子說明其真假.
【詳解】對A：平行于同一個平面的兩條直線互相平行，可知這個命題是錯誤的，它們還可以異面或者相交；
對B：垂直于同一個平面的兩個平面互相平行，由空間直角坐標(biāo)系形成的三個平面的例子可知，該命題錯誤；
對C：平行于同一條直線的兩個平面可以互相平行，也可以相交，則命題也是錯誤的；
對D：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，是真命題.
故選：D
5．已知函數(shù)，則（ ）
A．在單調(diào)遞減B．在單調(diào)遞增
C．在單調(diào)遞減D．在單調(diào)遞增
【答案】C
【分析】根據(jù)題意整理可得，結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，
且在內(nèi)不單調(diào)，所以在內(nèi)不單調(diào)，故A錯誤；
對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，
且在內(nèi)不單調(diào)，所以在內(nèi)不單調(diào)，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，
且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，故C正確；
對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，
且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，故D錯誤；
故選：C.
6．已知向量，，滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，分析可知為等邊三角形，結(jié)合向量的幾何意義分析求解.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)椋?br>可知三點(diǎn)不共線，且既是的重心也是的外心，
所以為等邊三角形，
則，
所以.
故選：C.
7．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，，兩點(diǎn)在上，，，則直線斜率的最小值和最大值分別是（ ）
A．，B．，2C．，D．，2
【答案】D
【分析】利用焦半徑公式求得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到直線斜率的情況，由此得解.
【詳解】由題意知，設(shè)，，
則由，得，得，
代入C：，得，所以或；
由，得，得，代入C：，得，
所以或；
所以直線斜率有四種情況，
則直線斜率的最小值為，最大值為.
故選：D.
8．已知無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，則“”是“，，都有恒成立”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】若，例如，則公差符合題意，
但，即充分性不成立；
若，，都有恒成立，等價于，此時，
反證：假設(shè)，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且時，則，
這樣對，，恒成立相矛盾，
假設(shè)不成立，所以，即必要性成立；
綜上所述：“”是“，，都有恒成立”的必要不充分條件.
故選：B.
9．已知圓：，點(diǎn)是圓上動點(diǎn)，點(diǎn)是圓外動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，分別與圓切于A，兩點(diǎn)，若的取值范圍是，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，進(jìn)而分析取值范圍.
【詳解】由題意可知：圓的半徑，則，
當(dāng)且僅當(dāng)為時，；當(dāng)且僅當(dāng)為時，；
設(shè)，
因?yàn)?，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值；當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值；
可得，即的取值范圍是.
故選：A.
10．在中，，，是外接圓的圓心，在線段上，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，根據(jù)外心的性質(zhì)可得，，結(jié)合三點(diǎn)共線設(shè)，進(jìn)而運(yùn)算求解即可.
【詳解】設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，則，
可得，
同理可得，
因?yàn)樵诰€段上，設(shè)，
則
，
所以的取值范圍是.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.對于外心的數(shù)量積問題，常借助于外心的性質(zhì)結(jié)合中點(diǎn)分析求解；
2.對于三點(diǎn)共線常結(jié)合結(jié)論：若三點(diǎn)共線，則，且，分析求解.
二、填空題
11．已知函數(shù)，則 .
【答案】7
【分析】根據(jù)解析式代入即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所?
故答案為：7
12．已知雙曲線的焦點(diǎn)為和，離心率為，則的方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程由離心率可得，計(jì)算出可得的方程.
【詳解】由題可知焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)雙曲線方程為，
且，又離心率為，可得，
又，解得，
所以雙曲線方程為.
故答案為：.
13．若和均為等比數(shù)列，且（），能使數(shù)列是遞增的等比數(shù)列的一組和的通項(xiàng)公式為 ， .
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】根據(jù)等比數(shù)列以及遞增數(shù)列的定義分析求解.
【詳解】例如，顯然和均為等比數(shù)列，
則，顯然，
因?yàn)?，所以?shù)列是遞增的等比數(shù)列.
故答案為：（答案不唯一）；（答案不唯一）.
14．函數(shù)，其中且，若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則的一個取值為 ，若函數(shù)存在極值，則的取值范圍為 .
【答案】 2（滿足均可）
【分析】空1：若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，分析可知：在上單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性列式求解；空2：若函數(shù)存在極值，則在上不單調(diào)，直接取反空1的取值范圍即可.
【詳解】因?yàn)榍?，若函?shù)是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)可知：在上單調(diào)遞增，
則，解得，例如；
可知為連續(xù)不斷函數(shù)，若函數(shù)存在極值，則在上不單調(diào)，
所以的取值范圍為.
故答案為：2（滿足均可）；.
15．隨著自然語言大模型技術(shù)的飛速發(fā)展，ChatGPT等預(yù)訓(xùn)練語言模型正在深刻影響和改變著各衍各業(yè).為了解決復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題，預(yù)訓(xùn)練模型需要在模擬的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中引入激活函數(shù)，將上一層神經(jīng)元的輸出通過非線性變化得到下一層神經(jīng)元的輸入.經(jīng)過實(shí)踐研究，人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)選擇的激活函數(shù)不合適時，容易出現(xiàn)梯度消失和梯度爆炸的問題.某工程師在進(jìn)行新聞數(shù)據(jù)的參數(shù)訓(xùn)練時，采用作為激活函數(shù)，為了快速測試該函數(shù)的有效性，在一段代碼中自定義：若輸?shù)臐M足則提示“可能出現(xiàn)梯度消失”，滿足則提示“可能出現(xiàn)梯度爆炸”，其中表示梯度消失閾值，表示梯度爆炸間值.給出下列四個結(jié)論：
①是上的增函數(shù)；
②當(dāng)時，，輸入會提示“可能出現(xiàn)梯度爆炸”；
③當(dāng)時，，輸入會提示“可能出現(xiàn)梯度消失”；
④，輸入會提示“可能出現(xiàn)梯度消失”.
其中所有正確結(jié)論的序號是 .
【答案】①③④
【分析】對于①：根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)分析判斷；對于②：根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)運(yùn)算以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于③④：整理可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和值域，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對于①：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>且在上單調(diào)遞減，所以是上的增函數(shù)，故①正確；
對于②：因?yàn)閷θ我夂愠闪ⅲ?br>則，
令，整理得，
且是上的增函數(shù)，則，即無解，
所以不存在，輸入會提示“可能出現(xiàn)梯度爆炸”，故②錯誤；
對于③④：因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，則，即，
則，
令，
則，
令，則在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時，，即，可知在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，即，可知在上單調(diào)遞增；
則，
且當(dāng)x趨近于或時，趨近于0，
所以的值域?yàn)椋?br>所以對，輸入會提示“可能出現(xiàn)梯度消失”，故④正確；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，
且，即對任意恒成立，
所以當(dāng)時，，輸入會提示“可能出現(xiàn)梯度消失”，故③正確；
故答案為：①③④.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.充分理解新定義的含義，根據(jù)定義分析判斷；
2.再處理問題③④時，可以通過構(gòu)建函數(shù)求單調(diào)性和值域，進(jìn)而分析判斷.
三、解答題
16．如圖，在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)，，.
(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可證明線面平行.
（2）根據(jù)題意，利用空間向量的夾角的余弦表示，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由為直三棱柱，得平面，又，
以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，
由題意可得：，
于是，，
設(shè)平面的法向量為，則，取，得，
顯然，即平面，而平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，平面的一個法向量為，顯然軸垂直于平面，
不妨取其法向量為，設(shè)二面角所對應(yīng)的平面角為，
則，
顯然二面角為銳二面角，則，
即二面角的余弦值為.
17．已知圓：，若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線：對稱.
(1)求圓的半徑；
(2)過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出圓的圓心，由已知可得直線經(jīng)過圓心，代入即可得解；
（2）根據(jù)弦長求出圓心到直線距離，討論直線的斜率是否存在，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)閳A：可化為，
所以圓心為，半徑為，
因?yàn)閳AC上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線：對稱，
則直線經(jīng)過圓心，
將代入，即 ，解得,
此時圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半徑．
（2）依題意，設(shè)圓心到直線距離為d，因?yàn)椋?br>則．
當(dāng)直線l斜率不存在時，直線方程l為，符合題意；
當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l方程為，即，
所以圓心到直線l的距離，解得，
直線l的方程為，即，
綜上所述，直線l的方程為或.
18．在中，，.
(1)求的大??；
(2)是的中點(diǎn).從條件①，條件②，條件③中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積；
(3)如圖為某壘球比賽的預(yù)計(jì)場景，是的中點(diǎn)，，某教練為研究戰(zhàn)術(shù)，要求擊球手在點(diǎn)A沿如圖方向把球擊出，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)及測速儀的顯示，球速為游擊手最大跑速的4倍，問若游擊手由點(diǎn)出發(fā)沿如圖方向奔跑，游擊手能不能接到球？并說明理由.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個個解答計(jì)分.
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)游擊手不能接到球，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意利用正余弦定理分析求解；
（2）對于①：在，利用余弦定理求得，進(jìn)而可得面積；對于②：根據(jù)（1）中邊的關(guān)系分析可得，進(jìn)而可得面積；對于③：根據(jù)（1）中邊的關(guān)系分析判斷；
（3）根據(jù)題意結(jié)合分析可得，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得?br>又因?yàn)椋?br>由余弦定理可得，
即，則，所以.
（2）對于①：AB邊上的中線長為，
在，由余弦定理得
即，解得，
則，
所以的面積為；
對于②：因?yàn)椋獾茫?br>則，
所以的面積為；
對于③：若，這與相矛盾，不合題意；
（3）游擊手不能接到球，理由如下：
由題意可知：，則，
因?yàn)椋?br>即，可得，所以游擊手不能接到球.
19．已知橢圓：（）的四個頂點(diǎn)相連構(gòu)成菱形，且點(diǎn)A，的坐標(biāo)分別為，.
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)設(shè)為第一象限內(nèi)上的動點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線交軸于點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)橢圓的方程為，離心率
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意可得，進(jìn)而可求橢圓方程和離心率；
（2）設(shè)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)垂直求得，利用導(dǎo)數(shù)分析求解.
【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，
由題意可知：，則，
所以橢圓的方程為，離心率.
（2）由（1）可知，則直線的方程，即，
設(shè)，
則直線的方程為，
聯(lián)立方程，解得，
即，
又，可設(shè)點(diǎn)且垂直于的直線方程為，
代入點(diǎn)可得，
解得，
令，
則在上恒成立，
可知在上單調(diào)遞減，可得，
且，
則，可得，即，
所以的取值范圍為.
20．已知函數(shù)（）.
(1)若，求在處的切線方程；
(2)若為的極大值點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)若存在最小值，直接寫出的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析求解；
（2）求導(dǎo)，分三種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性和極值之間的關(guān)系分析求解；
（3）結(jié)合（2）中的單調(diào)性分析可知存在，使得且，結(jié)合二次函數(shù)分析求解.
【詳解】（1）因?yàn)?br>則，
若，可得，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，
所以在處的切線方程為.
（2）由（1）可知：，
因?yàn)椋?，解得或?br>若，則，
令，解得或；令，解得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以為的極大值點(diǎn)，符合題意；
若，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；
若，則，
令，解得或；令，解得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以為的極小值點(diǎn)，不合題意；
綜上所述：的取值范圍.
（3）因?yàn)?，可知：?dāng)x趨近于時，趨近于0，當(dāng)x趨近于時，趨近于，
結(jié)合（2）中單調(diào)性可知：存在，使得且，
即且，
則，解得，
所以的取值范圍為.
21．已知為所有元有序數(shù)組所組成的集合.其中（）.
對于中的任意元素，定義，的距離：
若，為的子集，且有個元素，并且滿足任意，都存在唯一的，使得，則稱為“好集”.
(1)若，，，，，，求，及的值；
(2)當(dāng)時，求證：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距離為5；
(3)求證：當(dāng)時，“好集”不存在.
【答案】(1)，，
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意直接代入運(yùn)算求解；
（2）對任意，定義，可得，結(jié)合“好集”的定義分析證明；
（3）先證對于任意，可知均存在，使得，對的以為基礎(chǔ)，結(jié)合定義分析證明.
【詳解】（1）因?yàn)?，，?br>則，，
，，
所以.
（2）對任意，定義，
對任意，
因?yàn)?，則，
可得，
對于任意，可得有2個元素，
若，則，滿足“好集”的定義；
若，則，滿足“好集”的定義；
綜上所述：為“好集”，且，
即當(dāng)時，存在“好集”，且“好集”中不同元素的距離為5.
（3）顯然，
先證：當(dāng)時，對任意的 ，含有的“好集”只能是，
反證：假設(shè)存在“好集”，
則對于任意，可得，
則，可得，不滿足“好集”的定義，
例如，則，可取，
則，即存在，使得，
結(jié)合可得：就相當(dāng)于對0，1的順序進(jìn)行重組，
對于任意，可知均存在，使得，
當(dāng)時，對任意，
定義，其中，
可知：對任意，其中，
可知，
反證：假設(shè)存在“好集”，
則對任意，以為基礎(chǔ)構(gòu)建“好集”，
對任意，
對任意的，均有，與之對應(yīng)的項(xiàng)只能是和，
每個均有2種選擇，共有種組合可能，
按照以上構(gòu)建方法得到的元素，
可知對任意，均存在，使得，，
所以必然存在，
使得，
故假設(shè)不成立，所以當(dāng)時，“好集”不存在.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：新定義問題要充分理解定義，可以通過舉例和推理去理解定義，對于本題可以利用反證法來分析證明.

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2023屆北京市海淀區(qū)北大附中高三預(yù)部12月階段練習(xí)數(shù)學(xué)試題（解析版）

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