一、單選題
1．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】驗(yàn)證各項(xiàng)是否符合即可.
【詳解】設(shè)該數(shù)列為，.
選項(xiàng)A，，不滿(mǎn)足題意，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，，不滿(mǎn)足題意，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，，不滿(mǎn)足題意，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，，均滿(mǎn)足題意.
故選：D.
2．已知集合，，其中，則x的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定的條件，利用集合的包含關(guān)系，結(jié)合集合元素的互異性求解即得.
【詳解】由，，知，由，得，
于是或，解得，解得或（不符合題意，舍去），
經(jīng)驗(yàn)證或符合題意，所以x的取值集合為.
故選：B
3．“關(guān)于x的不等式的解集為”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】求出不等式的解集為的的范圍，再由必要不充分條件的定義判斷可得答案.
【詳解】當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為，符合題意；
當(dāng)即時(shí)，若不等式的解集為，
可得，解得，
所以不等式的解集為可得，充分性不成立，
若，則不等式的解集為，必要性成立，
所以不等式的解集為”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
4．已知為等邊三角形，分別以CA，CB為邊作正六邊形，如圖所示，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】選取為基底，表示出，結(jié)合平行向量基本定理設(shè)，即可求解.
【詳解】選取為基底，
，
，
，
設(shè)
，
，，
即.
故選：A
5．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，連接其各邊的一個(gè)三等分點(diǎn)得到等邊三角形，再連接各邊的一個(gè)三等分點(diǎn)得到等邊三角形，繼續(xù)依此方法，得到一系列等邊三角形，記的面積為，若．恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由余弦定理得出邊長(zhǎng)的關(guān)系，再由前三項(xiàng)的面積成等比數(shù)列，由此推斷出數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而由求和公式以及不等式的性質(zhì)證明.
【詳解】設(shè)，由余弦定理可得
，
則，
，
由此可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
則
因?yàn)椋愠闪?，所?
即的最小值為.

故選：C
6．阻尼器是一種以提供運(yùn)動(dòng)的阻力從而達(dá)到減震效果的專(zhuān)業(yè)工程裝置，從20世紀(jì)70年代起，人們逐步地把這種裝置運(yùn)用到建筑、橋梁、鐵路等結(jié)構(gòu)工程中．某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移（單位：cm）和時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式為，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則下列區(qū)間包含的極大值點(diǎn)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由求出，再求出的取值，結(jié)合函數(shù)的周期確定的值，即可求出函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值點(diǎn)，即可判斷.
【詳解】依題意，則，又點(diǎn)在函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間上，
結(jié)合余弦函數(shù)圖象可知，，，
又，結(jié)合圖形可知，，
解得，，，
又，即，即，解得，所以，
則，，
化簡(jiǎn)可得，
令，，解得，，
所以當(dāng)，時(shí)函數(shù)取得最大值，
當(dāng)時(shí).
故選：C
7．已知正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A．16B．C．8D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，得到，求得，結(jié)合基本不等式求得，再由指數(shù)冪的運(yùn)算公式，即可求解.
【詳解】由正數(shù)滿(mǎn)足，可得，即，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以
又由，
所以的最小值為.
故選：D.
8．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先由函數(shù)定義域的對(duì)稱(chēng)性解得，再由特值法得的方程求解驗(yàn)證即可.
【詳解】由題意知，且，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，
則是方程的根，
故，解得，則.
又由得，,解得.
故，即，
驗(yàn)證：函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>且，
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，滿(mǎn)足題意.
則.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是由題意得，從而利用對(duì)稱(chēng)軸得到，進(jìn)而得到是方程的根，由此得解.
二、多選題
9．已知復(fù)數(shù)，，則（ ）
A．的虛部為
B．
C．為純虛數(shù)
D．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
【答案】BCD
【分析】按照法則進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算后，可得虛部、模，判斷是否純虛數(shù)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.
【詳解】選項(xiàng)A，，
則的虛部為，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，，
則，故B正確；
選項(xiàng)C，為純虛數(shù)，故C正確；
選項(xiàng)D，，
其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故D正確.
故選：BCD.
10．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則根據(jù)下列條件能夠確定的值的是（ ）
A．B．
C．，D．，
【答案】AD
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】，
所以A正確，
由于，結(jié)合,所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，，，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，，
，所以，又，
所以，故D正確，
故選：AD
11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
B．若，則的最小正周期為
C．若，則在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)
D．若，則方程的最小的20個(gè)正實(shí)數(shù)根之和為
【答案】ACD
【分析】代入對(duì)稱(chēng)性的定義，即可判斷A；化簡(jiǎn)函數(shù)，即可判斷B；化簡(jiǎn)函數(shù)，并利用代入法，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可判斷C；求解方程，并結(jié)合周期，即可判斷D.
【詳解】A.時(shí)，，
，
，
即，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A正確；
B.時(shí)，
，
函數(shù)的最小正周期，故B錯(cuò)誤；
C.時(shí)，，
，
，當(dāng)，，
令，得，
設(shè)，畫(huà)出，
由圖可知，與有2個(gè)交點(diǎn)，即在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，故C正確；
D.時(shí)，，即方程，
得，解得：或，
，或或，，
方程的最小的20個(gè)正實(shí)數(shù)根之和為
，故D正確.
故選：ACD
12．已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意可得，即，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性和函數(shù)值確定，進(jìn)而等量代換將雙未知量變?yōu)閱挝粗?，即可一一求?
【詳解】由可得，，
即，則有，
也即，
設(shè)函數(shù)，則，
，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
因?yàn)?，所以?br>即，所以，即，A正確；
，B錯(cuò)誤；
設(shè)，在恒成立，
且，
所以存在唯一使得，
由可得，，所以，
，設(shè)在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，C正確；
，
設(shè)，，
令，，
易得函數(shù)在單調(diào)遞增，且，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，
且，所以恒成立，
所以單調(diào)遞增，
所以，即，
所以正確，故D正確；
故選:ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于利用同構(gòu)思想，將原等式化為，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性和函數(shù)值確定，進(jìn)而利用等量代換，即可求解.
三、填空題
13．已知向量，，，若，則 ．
【答案】9
【分析】確定，根據(jù)計(jì)算得到答案.
【詳解】，，則，，
，則，解得.
故答案為：
14．已知集合，，則Venn圖中陰影部分表示的集合為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的解法，求得集合，結(jié)合集合的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由，所以集合，
又由，即，解得，即，
則或，所以.
故答案為：.
15．若，且，則 ．
【答案】/
【分析】確定，根據(jù)范圍得到，再利用二倍角公式計(jì)算得到答案.
【詳解】，則，
解得或，
，故，滿(mǎn)足，
故.
故答案為：.
16．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由條件可得，再由時(shí)，可得，從而，可求得答案.
【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，則，，所以上式可變?yōu)椋?br>即，則，即，
化簡(jiǎn)得；
又，，則，所以；
，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題
17．已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線l與直線相互垂直．
(1)求l的方程；
(2)求的極值．
【答案】(1)
(2)極大值為，極小值為
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，求得，得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；
（2）由（1）得，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)的極值.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，
因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線l與直線相互垂直，
可得，解得，所以
又因?yàn)椋?br>故所求切線方程為，即．
（2）解：由（1）可知，，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，
故的極大值為，
極小值為．
18．已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，，設(shè)其前n項(xiàng)和為，且是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解公差，進(jìn)而可求解，
（2）分情況，即可根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.
【詳解】（1）設(shè)的公差為d，依題意得，
所以，即，
化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），
故，
（2）依題意，．
當(dāng)時(shí)，，故；
當(dāng)時(shí)，，
故．
故
19．在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求周長(zhǎng)的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意，利用余弦定理化簡(jiǎn)求得，求得，即可求解；
（2）由余弦定理得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：由，
所以，
得，
得，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以為銳角，所以，
所以，即，
又因?yàn)椋傻茫?br>（2）解：由余弦定理知，
所以，即，
所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即周長(zhǎng)的最大值為．
20．設(shè)，，已知函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)恰有4條對(duì)稱(chēng)軸，且函數(shù)為偶函數(shù)．
(1)求的值以及的取值范圍；
(2)當(dāng)取得最大值時(shí)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)為偶函數(shù)得到的取值，依據(jù)圖象在區(qū)間內(nèi)恰有4條對(duì)稱(chēng)軸，即可求解的取值范圍；
（2）根據(jù)圖形變換規(guī)則得到函數(shù)的圖象，然后討論其在區(qū)間上的值域即可．
【詳解】（1）依題意得，
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
所以，故．
因?yàn)椋裕?br>．
令，則，
則，解得，
即的取值范圍為．
（2）依題意得，
將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到的圖象，
再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象．
當(dāng)時(shí)，，
故的值域?yàn)椋?br>即在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>21．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求；
(2)若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)公式，消去，轉(zhuǎn)化為關(guān)于數(shù)列的遞推關(guān)系式，構(gòu)造等比數(shù)列，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，可知，再根據(jù)放縮法求得的范圍，即可證明不等式.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，，則，
因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，即；
（2）由（1）知，
依題意，
因?yàn)椋?，則，即；
因?yàn)椋?br>所以，
而，
故，即．
綜上所述，．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)考查數(shù)列，不等式，放縮法的綜合應(yīng)用問(wèn)題，第二問(wèn)的難點(diǎn)是證明，關(guān)鍵是證明，后面的問(wèn)題迎刃而解.
22．已知函數(shù)．
(1)若在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將變量分離出得在區(qū)間無(wú)解，求得的值域，即可求解；
（2）根據(jù)時(shí)求得m的取值范圍，再證時(shí)也成立，即，應(yīng)用放縮法，先證，再證，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可證明..
【詳解】（1）令，得，令，
則，
當(dāng)時(shí)，，，故，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
（2）依題意在時(shí)恒成立，
令，解得．
下證當(dāng)時(shí)，不等式在時(shí)恒成立．
先證明：當(dāng)時(shí)，．
令，則，
令，則，
易知，所以在上單調(diào)遞增，，即，
所以在上單調(diào)遞增，得，即當(dāng)時(shí)，．
再證明：當(dāng)時(shí)，，（*）
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故只需證明．
令，
則．
①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
；
②當(dāng)時(shí)，由知，
所以，
所以（*）成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】證明不等式恒成立，結(jié)合常用的指對(duì)不等式進(jìn)行適當(dāng)放縮是比較常用的方法.

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