北京市海淀區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題（含答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷共6頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
（1）已知集合，，，則
（A）（B）（C）（D）
（2）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則復(fù)數(shù)的虛部為
（A）（B）（C）（D）
（3）已知直線，直線，且，則
（A）1（B）（C）4（D）
（4）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則
（A）（B）4（C）5（D）
（5）在正四棱錐中，，二面角的大小為，則該四棱錐的體積為
（A）4（B）2（C）（D）
（6）已知，直線與交于，兩點(diǎn)．若為直角三角形，則
（A）（B）（C）（D）
（7）若關(guān)于的方程（且）有實(shí)數(shù)解，則的值可以為
（A）10（B）（C）2（D）
（8）已知直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為，，則“”是“”的
（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件
（9）已知是公比為的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若對(duì)任意的，恒成立，則
（A）是遞增數(shù)列（B）是遞減數(shù)列
（C）是遞增數(shù)列（D）是遞減數(shù)列
（10）蜜蜂被譽(yù)為“天才的建筑師”．蜂巢結(jié)構(gòu)是一種在一定條件下建筑用材面積最小的結(jié)構(gòu)．右圖是一個(gè)蜂房的立體模型，底面是正六邊形，棱，，，，，均垂直于底面，上頂由三個(gè)全等的菱形，，構(gòu)成．設(shè)，，則上頂?shù)拿娣e為
（參考數(shù)據(jù)：，）
（A）（B）（C）（D）
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
（11）在的展開式中，的系數(shù)為__________．
（12）已知雙曲線的一條漸近線為，則該雙曲線的離心率為__________．
（13）已知點(diǎn)，，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則__________；點(diǎn)到直線的距離為__________．
（14）已知無窮等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公差為，則能使得為某一個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的一組，的值為__________，__________．
（15）已知函數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①任意，函數(shù)的最大值與最小值的差為2；
②存在，使得對(duì)任意；
③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，；
④當(dāng)時(shí)，存在，使得對(duì)任意，都有．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．
三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
（16）（本小題13分）
如圖，在四棱柱中，側(cè)面是正方形，平面平面，，，為線段的中點(diǎn)，．
（I）求證：平面；
（II）求直線與平面所成角的正弦值．
（17）（本小題14分）
在中，．
（I）求的大?。?br>（II）若，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在，求邊上中線的長(zhǎng)．
條件①：的面積為；
條件②：；
條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
（18）（本小題13分）
甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場(chǎng)，規(guī)定每場(chǎng)比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計(jì)如下：
（I）從上述10場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求甲獲勝的概率；
（II）在上述10場(chǎng)比賽中，從甲得分不低于10分的場(chǎng)次中隨機(jī)選擇兩場(chǎng)，設(shè)表示乙得分大于丙得分的場(chǎng)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（III）假設(shè)每場(chǎng)比賽獲勝者唯一，且各場(chǎng)相互獨(dú)立，用上述10場(chǎng)比賽中每人獲勝的頻率估計(jì)其獲勝的概率．甲、乙、丙三人接下來又將進(jìn)行6場(chǎng)投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場(chǎng)數(shù)，為乙獲勝的場(chǎng)數(shù)，為丙獲勝的場(chǎng)數(shù)，寫出方差，，的大小關(guān)系．
（19）（本小題15分）
已知橢圓過點(diǎn)，焦距為．
（I）求橢圓的方程，并求其短軸長(zhǎng)；
（II）過點(diǎn)且不與軸重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，其中為原點(diǎn)．設(shè)直線的斜率為，求的最大值．
（20）（本小題15分）
已知函數(shù)．
（I）當(dāng)時(shí)，求證：
①當(dāng)時(shí)，；
②函數(shù)有唯一極值點(diǎn)；
（II）若曲線與曲線在某公共點(diǎn)處的切線重合，則稱該切線為和的“優(yōu)切線”．若曲線與曲線存在兩條互相垂直的“優(yōu)切線”，求，的值．
（21）（本小題15分）
對(duì)于給定的奇數(shù)，設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，且中所有數(shù)不全相同，中第行第列的數(shù)，記為的第行各數(shù)之和，為的第列各數(shù)之和，其中．記．設(shè)集合或，記為集合所含元素的個(gè)數(shù)．
（I）對(duì)以下兩個(gè)數(shù)表，，寫出，，，的值；

（II）若中恰有個(gè)正數(shù)，中恰有個(gè)正數(shù)．
求證：；
（III）當(dāng)時(shí)，求的最小值．
海淀區(qū)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末練習(xí)
高三數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）
（1）A （2）D （3）B （4）D （5）C
（6）A （7）D （8）B （9）B （10）D
二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）
（11）（12）2 （13）（14）1 1（答案不唯一）（15）②④
三、解答題（共6小題，共85分）
（16）（共13分）
解：（I）連接．
在四棱柱中，側(cè)面為平行四邊形，
所以，．
因?yàn)椋?，為中點(diǎn)，
所以，．
所以，．
所以四邊形為平行四邊形．
所以．
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面．
（II）在正方形中，．
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面．
所以．
因?yàn)椋矫?，與相交，
所以平面．
所以．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)，則，，，．
所以，，．
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，則，．于是．
因?yàn)椋?br>所以直線與平面所成角的正弦值為．
（17）（共14分）
解：（I）由正弦定理及，得．①
因?yàn)椋?br>所以．②
由①②得．
因?yàn)?，所以?br>所以．
因?yàn)椋?br>所以．
（II）選條件②：．
由（I）知，．
所以
．
所以．
因?yàn)?，所以?br>所以，即．
所以是以為斜邊的直角三角形．
因?yàn)椋?br>所以．
所以邊上的中線的長(zhǎng)為1．
選條件③：．
由余弦定理得．
設(shè)邊上的中線長(zhǎng)為，由余弦定理得
．
所以邊上的中線的長(zhǎng)為1．
（18）（共13分）
解：（I）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場(chǎng)比賽中，甲共獲勝3場(chǎng)，分別是第3場(chǎng)，第8場(chǎng)，第10場(chǎng)．
設(shè)表示“從10場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，甲獲勝”，則．
（II）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場(chǎng)比賽中，甲得分不低于10分的場(chǎng)次有6場(chǎng)，分別是第2場(chǎng)，第3場(chǎng)，第5場(chǎng)，第8場(chǎng)，第9場(chǎng)，第10場(chǎng)，其中乙得分大于丙得分的場(chǎng)次有4場(chǎng)，分別是第2場(chǎng)、第5場(chǎng)、第8場(chǎng)、第9場(chǎng)．
所以的所有可能取值為0，1，2．
，，．
所以的分布列為
所以．
（III）．
（19）（共15分）
解：（I）由題意知，．
所以，．
所以橢圓的方程為，其短軸長(zhǎng)為4．
（II）設(shè)直線的方程為，，，則．
由得．
所以．
由得直線的方程為．
由得．
因?yàn)椋?br>所以，．
所以．
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，
所以．
所以直線的斜率
．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
所以．
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．
（20）（共15分）
解：（I）①當(dāng)時(shí)，．
記，則．
所以在上是增函數(shù)．
所以當(dāng)時(shí)，．
所以當(dāng)時(shí)，．
②由得，且．
當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)?，?br>所以．
因?yàn)閷?duì)任意恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，．
所以0是的唯一極值點(diǎn)．
（II）設(shè)曲線與曲線的兩條互相垂直的“優(yōu)切線”的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，其斜率分別為，，則．
因?yàn)椋?br>所以．
所以．
不妨設(shè)，則．
因?yàn)椋?br>由“優(yōu)切線”的定義可知．
所以．
由“優(yōu)切線”的定義可知，
所以．
當(dāng)，，時(shí)，取，，則
，，，，
符合題意．
所以．
（21）（共15分）
解：
（I），；，．
由定義可知：將數(shù)表中的每個(gè)數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)，或交換兩行（列），，的值不變．因?yàn)闉槠鏀?shù)，，所以，均不為0．
（II）當(dāng)或時(shí)，不妨設(shè)，即，．
若，結(jié)論顯然成立；
若，不妨設(shè)，，則，，．
所以，結(jié)論成立．
當(dāng)且時(shí)，不妨設(shè)，，，，
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，，，
所以．
所以．
同理可得：，，．
所以．
（III）當(dāng)時(shí)，的最小值為．對(duì)于如下的數(shù)表，．
下面證明：．
設(shè)中恰有個(gè)正數(shù)，中恰有個(gè)正數(shù)，．
①若或，不妨設(shè)，即，．
所以當(dāng)時(shí)，．
由中所有數(shù)不全相同，記數(shù)表中1的個(gè)數(shù)為，則，且
，．
所以．
②由①設(shè)且．若或，不妨設(shè)，則由（II）中結(jié)論知：．
因?yàn)椋?br>所以．
③由①②設(shè)且．
若，則由（II）中結(jié)論知：．
因?yàn)椋?br>所以．
若，，不妨設(shè)，，，且，由（II）中結(jié)論知：．所以．
若數(shù)表中存在為1，將其替換為后得到數(shù)表．
因?yàn)?，?br>所以．
所以將數(shù)表中第行第列為1的數(shù)替換為后值變?。?br>所以不妨設(shè)．
因?yàn)?，?br>所以．
場(chǎng)次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
8
10
10
7
12
8
8
10
10
13
乙
9
13
8
12
14
11
7
9
12
10
丙
12
11
9
11
11
9
9
8
9
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1

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