一、單選題
1．在四面體中，空間的一個點滿足，若四點共面，則等于（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，在正三棱臺中，，為中點，為中點，設(shè)，，，則可用，，表示為（ ）
A．B．
C． D．
3．兩平行直線和間的距離是（ ）
A． B． C． D．
4．記等比數(shù)列的前項和為.若，，則（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，是雙曲線與橢圓的公共焦點，點A是在第一象限內(nèi)的交點，若，則（ ）
A．雙曲線的漸近線為 B．的離心率為
C．的方程為 D．的面積為
6．有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則不同的監(jiān)考方法有
A．8種B．9種C．10種D．11種
7．已知長方體中，若是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知長方體，，，M是 的中點，點P滿足，其中，，且平面，則動點P的軌跡所形成的軌跡長度是（ ）
A．B．6C．D．5
二、多選題
9．已知二項式的展開式中各項的系數(shù)和為64，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為32
C．展開式中的常數(shù)項為540
D．展開式中二項式系數(shù)最大的項是第四項
10．若方程所表示的曲線為，則下面四個說法中錯誤的是（ ）
A．若，則為橢圓
B．若為橢圓，且焦點在軸上，則
C．曲線可能是圓
D．若為雙曲線，則
11．已知，則（ ）
A．與均有公共點的直線斜率最大為
B．與均有公共點的圓的半徑最大為4
C．向引切線，切線長相等的點的軌跡是圓
D．向引兩切線的夾角與向引兩切線的夾角相等的點的軌跡是圓
12．在數(shù)列中，.則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．是等比數(shù)列
C．D．
三、填空題
13．已知的展開式中的常數(shù)項為240，則 ．
14．函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸交于點A，B，C，則過A，B，C三點的圓的方程為
15．過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則
16．如圖所示，有兩個相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為3a，4a，．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是 ．
四：解答題
17（本小題10分）
（1）若，求的值；
（2）在的展開式中，求系數(shù)最大的項；
18（本小題12分）．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，點，且滿足（為坐標(biāo)原點）.
(1)求的方程；
(2)求的角平分線所在直線的方程.
19（本小題12分）．如圖，在三棱錐中，為正三角形，平面平面.
(1)求證：；
(2)若是的中點，求直線與平面所成角的正弦值.
20（本小題12分）．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓N過原點O及點且與圓C外切.
(1)求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過點A的直線l被兩圓截得的弦長相等，求直線l的方程.
21（本小題12分）．記為數(shù)列的前項和，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
22（本小題12分）．已知雙曲線()左、右焦點為，其中焦距為，雙曲線經(jīng)過點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過右焦點作直線交雙曲線于M，N兩點(M，N均在雙曲線的右支上)，過原點O作射線，其中，垂足為為射線與雙曲線右支的交點，求的最大值．
龍巖一中2025屆高二數(shù)學(xué)第三次月考試題參考答案：
1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．B 8．D
9．ABD 10．AD 11．AD 12．ABD
【詳解】由，易知，
所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列.
對于A項，易知，，累加得，，當(dāng)時，符合上式，故，
若為奇數(shù)，則，且單調(diào)遞增，
若為偶數(shù)，則，且單調(diào)遞減，
故，即A正確；對于B項，由上可知，
顯然是以1為首項，為等比的等比數(shù)列，即B正確；
對于C、D選項，由A可知，故C錯誤，D正確.
13: 3 14． 15: 16．
拼成一個三棱柱時，全面積有三種情況：①上下底面對接，其全面積為.
②邊合在一起時，全面積為.
③邊合在一起時，全面積為.

拼成一個四棱柱時，有四種情況，全面積有三種情況：
讓邊長為所在的側(cè)面重合，其上下底面積之和都是，
但側(cè)面積分別為，
顯然，三種情況中全面積最小的是；
因為比小，所以由題意得，
解得.

17:（1）∵，
令，可得，令，可得，
∴．
（2）①．
二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第5項．所以．
②設(shè)第項系數(shù)的絕對值最大，
則所以解得
故系數(shù)絕對值最大的項是第6項和第7項．
18:（1）因為，所以，所以，
設(shè)，則，解得.因為點在上，所以，
所以，所以.
2）由（1）知，所以直線的方程為，
又，所以直線的方程為，即.
由拋物線的圖形知，的角平分線所在直線的斜率為正數(shù).
設(shè)為的角平分線所在直線上任一點，則有，
若，得，其斜率為負(fù)，不合題意，舍去.
所以，即，
所以的角平分線所在直線的方程為.
19（1）如圖，設(shè)為的中點，
因為為正三角形，所以.
平面平面，平面平面，平面，
底面，而底面，
，又，平面，
平面，而平面，
；
（2）設(shè)的中點為，.
由（1）知兩兩垂直，以為軸、軸、軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，，取，
則，.
.
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則.
直線與平面所成角的正弦值為.
20（1）由題意知，圓的圓心在直線上，設(shè)，半徑為，
因為圓與圓C外切，且圓C的圓心，半徑為，
所以，即①，
又，即②，由①得，，代入②得，，
解得或(舍)，所以，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為：，與圓相離，不符合題意.
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)為，故的方程為，
則圓心C到直線的距離為：；圓心到直線的距離為：，
因為圓的弦長一半與圓心到弦的距離的平方和等于圓的半徑的平方，
又被兩圓截得的弦長相等，所以，即，
解得或，故直線的方程為或.
21:（1）因為，可得，
兩式相減得，
整理得，可知數(shù)列是3為首項，2為公差的等差數(shù)列，
所以．
（2）由（1）可得：，
則
，所以．
22．（1）由題意得，，，解得，，
雙曲線的方程為：.
（2）當(dāng)直線斜率不存在時，，，則，
當(dāng)直線斜率存在時，假設(shè)直線方程為，
聯(lián)立雙曲線方程得，
則，，，
∵直線與雙曲線交于右支，∴，
則，
設(shè)射線OP方程為：，聯(lián)立與雙曲線的方程，
∴，，，∴，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，最大值為．
綜上，的最大值為.

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