1. 橢圓：的左右焦點分別是，，P在橢圓上，且，則（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
2. 直線平分圓C：，則（ ）
A. B. 1C. -1D. -3
3. 從由1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)中任取一個，則這個兩位數(shù)大于40的個數(shù)是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
4. 已知雙曲線C：的漸近線方程為，且C過點，則C的方程為（ ）
A. B. C. D.
5. 在四面體中，點E滿足F為BE的中點，且則實數(shù)λ=（ ）
A. B. C. D.
6. 如圖所示，用不同五種顏色分別為A，B，C，D，E五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，則復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有（ ）
A. 500種B. 520種C. 540種D. 560種
7. 已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點，使得過點所作的圓的兩條切線，切點為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如圖，在棱長為3的正方體中，為線段上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A. 當(dāng)時，
B. 當(dāng)時，點到平面的距離為1
C. 直線與所成的角可能是
D. 若二面角的平面角的正弦值為，則或
二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，錯選0分)
9. 已知方程表示的曲線為C，則下列四個結(jié)論中正確的是（ ）
A. 當(dāng)時，曲線C是橢圓
B. 當(dāng)或時，曲線C雙曲線
C. 若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則
D. 若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則
10. 給出下列命題，其中正確的是（ ）
A. 若空間向量，，且，則實數(shù)
B. 若，則存在唯一的實數(shù)，使得
C. 若空間向量，，則向量在向量上的投影向量是
D. 點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是
11. 校園師生安全重于泰山，越來越多學(xué)校紛紛引進(jìn)各類急救設(shè)備.福清融城中學(xué)準(zhǔn)備引進(jìn)5個不同顏色的自動體外除顫器（簡稱AED），則下面正確的是（ ）
A. 從5個AED中隨機取出3個，共有10種不同的取法
B. 從5個AED中選3個分別給3位教師志愿者培訓(xùn)使用，每人1個，共有60種選法
C. 把5個AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個不同的地方，共有129種方法
D. 把5個AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個不同的地方，每個地方至少放一個，共有150種方法
12. 小明同學(xué)在完成教材橢圓和雙曲線的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)后，提出了新的疑問：平面上到兩個定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡是什么呢？又具備哪些性質(zhì)呢？老師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上法國天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，這類曲線被稱為“卡西尼卵形線”．在老師的鼓勵下，小明決定先從特殊情況開始研究，假設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的兩個定點，滿足的動點P的軌跡為曲線C，從而得到以下4個結(jié)論，其中正確結(jié)論的為（ ）
A. 曲線C既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
B. 動點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是
C. 的取值范圍是
D. 的面積的最大值為
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知點在圓的外部，則k的取值范圍是______.
14. 的展開式的第4項為________．
15. 設(shè)常數(shù)．如圖在矩形中，平面．若線段上存在點，使得，則的取值范圍是__________．

16. 在空間直角坐標(biāo)系中，若一條直線經(jīng)過點，且以向量為方向向量，則這條直線可以用方程來表示.已知直線l的方程為，則到直線l的距離為______.
四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18~22每題12分，共70分）
17. 已知直線.
（1）若直線過點，且，求直線的方程；
（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.
18. 如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的余弦值．
19. 已知拋物線的焦點為，拋物線上一點橫坐標(biāo)為3，且點到焦點的距離為4.
（1）求拋物線的方程；
（2）過點作直線交拋物線于點，求面積的最小值（其中為坐標(biāo)原點）.
20. （1）現(xiàn)有4男2女共6個人排成一排照相，其中兩個女生相鄰的排法種數(shù)為多少？
（2）8個體育生名額，分配給5個班級，每班至少1個名額，有多少種分法？
（3）要排一份有4個不同朗誦節(jié)目和3個不同的說唱節(jié)目的節(jié)目單，如果說唱節(jié)目不排在開頭，并且任意兩個說唱節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數(shù)為多少？
（4）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生7名，其中3名女醫(yī)生，有外科醫(yī)生5名，其中只有1名女醫(yī)生．現(xiàn)選派6名去甲、乙兩地參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，要求每隊必須2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生，且每隊由2名外科醫(yī)生1名內(nèi)科醫(yī)生組成，有多少種派法？（最后結(jié)果都用數(shù)字作答）
21. 在直角梯形中，，，，如圖①把沿翻折，使得平面平面（如圖②）．

（1）求證：；
（2）在線段上是否存在點，使得與平面所成的角為60°？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
22. 已知橢圓（）的離心率為，一個焦點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為原點，直線（）與橢圓交于不同的兩點，且與x軸交于點，為線段的中點，點關(guān)于軸的對稱點為.證明：是等腰直角三角形. A
B
C
D
E
江西省宜豐中學(xué)2023-2024（上）創(chuàng)新部高二12月考試數(shù)學(xué)試卷
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 橢圓：的左右焦點分別是，，P在橢圓上，且，則（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】求出橢圓的長軸長，根據(jù)橢圓的定義，即可求得答案.
【詳解】由題意知橢圓：的長軸長為，
又P在橢圓上，，故，
故選：D
2. 直線平分圓C：，則（ ）
A. B. 1C. -1D. -3
【答案】D
【解析】
【分析】求出圓心，結(jié)合圓心在直線上，代入求值即可.
【詳解】變形為，故圓心為，
由題意得圓心在上，故，解得.
故選：D
3. 從由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)中任取一個，則這個兩位數(shù)大于40的個數(shù)是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】數(shù)字排列問題，根據(jù)符合題意的要求選取十位數(shù)為4或5，個位數(shù)不重復(fù)則在剩余的4個數(shù)字里選擇1個，即可計算結(jié)果.
【詳解】這個兩位數(shù)大于40的個數(shù)為．
故選：B．
4. 已知雙曲線C：的漸近線方程為，且C過點，則C的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用待定系數(shù)法即可得解.
【詳解】因為雙曲線C的漸近線方程為，
所以可設(shè)C的方程為，
把點的坐標(biāo)代入得，
所以C的方程為，即.
故選：B.
5. 在四面體中，點E滿足F為BE的中點，且則實數(shù)λ=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由空間向量線性和基本定理運算可解.
【詳解】由F為BE 的中點，得
又
所以，由
得
即所以
故選：D

6. 如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，B，C，D，E五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，則復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有（ ）
A. 500種B. 520種C. 540種D. 560種
【答案】C
【解析】
【分析】由于規(guī)定一個區(qū)域只·涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行，區(qū)域A有5種涂法，B區(qū)有4種涂法，C區(qū)有3種，D區(qū)有3種，E區(qū)有3種，根據(jù)乘法原理即可.
【詳解】先涂A，則A有5種涂法，再涂B，因為B與A相鄰，所以B的顏色只要與A不同即可，有4種涂法
同理C有3種涂法，D有3種涂法，E有3種涂法
由分步乘法計數(shù)原理可知，復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有為5×4×3×3×3＝540
故選：C.
7. 已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點，使得過點所作的圓的兩條切線，切點為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】連接、、，則，，設(shè)點，則，分析可得，可得出的取值范圍，由可求得的取值范圍.
【詳解】連接、、，則，，
由切線長定理可知，，
又因為，，所以，，
所以，，則，
設(shè)點，則，且，
所以，，
所以，，故，
故選：B.
8. 如圖，在棱長為3的正方體中，為線段上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A. 當(dāng)時，
B. 當(dāng)時，點到平面的距離為1
C. 直線與所成的角可能是
D. 若二面角的平面角的正弦值為，則或
【答案】C
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系后，容易求得即可判斷A；對于B，利用空間向量法求解距離即可，對于C，利用空間向量法求解直線所成角即可，對D，根據(jù)面面角的空間向量求法即可判斷.
【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則，
對于A，因為，所以，所以，
故，故A說法正確；
對于B，，因為，由選項A知，所以，
設(shè)平面的一個法向量為，則，即，
令，則，故，
所以點到平面的距離為，故B說法正確；
對于C，假設(shè)直線與所成的角可能是，則
設(shè)，則，所以，
又，所以，
整理得，解得，矛盾，
所以直線與所成的角不可能是，故C說法錯誤；
對于D，，由選項知，
設(shè)平面，平面的一個法向量分別為，
所以，，即，，
分別令，則，故，
設(shè)二面角的平面角為，則，故，
故由，解得或，
即或，故D說法正確.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是建立合適的空間坐標(biāo)系，利用空間向量法求解角度與距離問題即可.
二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，錯選0分)
9. 已知方程表示的曲線為C，則下列四個結(jié)論中正確的是（ ）
A. 當(dāng)時，曲線C是橢圓
B. 當(dāng)或時，曲線C是雙曲線
C. 若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則
D. 若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用橢圓以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征可逐一判斷各選項.
【詳解】A選項，曲線是橢圓等價于，解得且，故A錯誤；
B選項，曲線是雙曲線等價于，解得或，故B正確；
C選項，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，故C正確；
D選項，若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，解得，故D正確.
故選：BCD.
10. 給出下列命題，其中正確是（ ）
A. 若空間向量，，且，則實數(shù)
B. 若，則存在唯一的實數(shù)，使得
C. 若空間向量，，則向量在向量上的投影向量是
D. 點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是
【答案】AC
【解析】
【分析】利用空間向量的對稱特征可判定D，利用空間向量平行的充要條件及坐標(biāo)表示可判定A、B，利用投影向量的概念可判定C.
【詳解】對于A，可知，即A正確；
對于B，顯然時，恒成立，此時不唯一或者不存在，故B錯誤；
對于C，向量在向量上的投影向量，故C正確；
對于D，易知點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是，故D錯誤.
故選：AC
11. 校園師生安全重于泰山，越來越多的學(xué)校紛紛引進(jìn)各類急救設(shè)備.福清融城中學(xué)準(zhǔn)備引進(jìn)5個不同顏色的自動體外除顫器（簡稱AED），則下面正確的是（ ）
A. 從5個AED中隨機取出3個，共有10種不同的取法
B. 從5個AED中選3個分別給3位教師志愿者培訓(xùn)使用，每人1個，共有60種選法
C. 把5個AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個不同的地方，共有129種方法
D. 把5個AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個不同的地方，每個地方至少放一個，共有150種方法
【答案】ABD
【解析】
【分析】由排列組合的方法逐一計算驗證即可.
【詳解】從5個AED中隨機取出3個，共有種不同的取法，故A正確；
從5個AED中選3個分別給3位教師志愿者培訓(xùn)使用，每人1個，
共有種選法，故B正確；
把5個AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個不同的地方，則每個AED都有3種安放方法，故共有種方法，故C錯誤；
把5個AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個不同的地方，每個地方至少放一個，
可先將5個AED分成3組，每組至少1個，再把這3組AED放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個地方，每個地方放1組，故共有方法，故D正確.
故選：ABD
12. 小明同學(xué)在完成教材橢圓和雙曲線的相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)后，提出了新的疑問：平面上到兩個定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡是什么呢？又具備哪些性質(zhì)呢？老師特別贊賞他的探究精神，并告訴他這正是歷史上法國天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的，這類曲線被稱為“卡西尼卵形線”．在老師的鼓勵下，小明決定先從特殊情況開始研究，假設(shè)、是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的兩個定點，滿足的動點P的軌跡為曲線C，從而得到以下4個結(jié)論，其中正確結(jié)論的為（ ）
A. 曲線C既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
B. 動點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是
C. 取值范圍是
D. 的面積的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】設(shè)，由題設(shè)可得曲線C為，將、、代入即可判斷；令，由在上有解，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求P的橫坐標(biāo)的取值范圍判斷；由②分析可得，進(jìn)而求范圍判斷；由基本不等式、余弦定理確定范圍，再根據(jù)三角形面積公式求最值判斷.
【詳解】令，則，
所以，則，
將、、代入上述方程后，均有，
所以曲線C既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，正確；
令，則，
對于，對稱軸為，
所以在上遞增，要使在上有解，只需，
所以，即，可得，正確；
由，由中，，
所以，其中負(fù)值舍去，
綜上，，又，即，
所以，則，錯誤；
由，僅當(dāng)時等號成立，
的面積，
而，所以，
所以的面積的最大值為，正確.
故選：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：,通過換元，構(gòu)造，利用根的分布求P的橫坐標(biāo)、的取值范圍.
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知點在圓的外部，則k的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件以及點在圓外，列出不等式求解，即得答案.
【詳解】由題意圓滿足，
點在圓的外部，
得，
即的取值范圍是
故答案為：
14. 的展開式的第4項為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式求出第四項.
【詳解】的展開式的第4項為
故答案為：
15. 設(shè)常數(shù)．如圖在矩形中，平面．若線段上存在點，使得，則的取值范圍是__________．

【答案】
【解析】
【分析】通過建系，把轉(zhuǎn)換成向量垂直坐標(biāo)運算，結(jié)合存在點，進(jìn)而轉(zhuǎn)換為方程有解問題.
【詳解】
因為在矩形中，平面，
所以以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，其中或不符題意，
則，，，
則有，
由，得
即，
若線段上存在點，即方程在有解，
設(shè)函數(shù)為，，對稱軸為，
則方程有解需滿足，
又因為，
所以.
故答案為：
16. 在空間直角坐標(biāo)系中，若一條直線經(jīng)過點，且以向量為方向向量，則這條直線可以用方程來表示.已知直線l的方程為，則到直線l的距離為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可得直線恒過定點，即可得到其方向向量，再由空間向量的坐標(biāo)運算，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】直線l的方程標(biāo)準(zhǔn)化：，
直線l過點，方向向量為.
，，，
M到直線l的距離.
故答案為：
四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18~22每題12分，共70分）
17. 已知直線.
（1）若直線過點，且，求直線的方程；
（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.
【答案】（1） （2）或.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直，斜率之積為，可求得直線的斜率，
再由直線的點斜式方程，即可寫出直線方程；
（2）先根據(jù)兩直線平行，斜率相等，設(shè)出直線的方程為，
再根據(jù)兩平行直線的距離公式即可求出．
【詳解】（1）因為直線的方程為，所以直線的斜率為.
因為，所以直線的斜率為.
因為直線過點，所以直線的方程為，即.
（2）因為直線與直線之間的距離為，所以可設(shè)直線的方程為，
所以，解得或.
故直線的方程為或.
【點睛】本題主要考查直線方程的求法，涉及兩直線垂直，平行關(guān)系的應(yīng)用，以及平行直線的距離公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
18. 如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）法一，通過構(gòu)造平行四邊形，找到線線平行，利用線面平行的判定定理即可證明；法二，通過證明面面平行，證明線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的公式即可求.
【小問1詳解】
證明：（法一）：
取中點，連接，，
∵直三棱柱中，為的中點，
所以，且，
因為，分別，的中點，
∴，，
，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
又∵平面，平面，
故平面.
（法二）：
取AB的中點，連接，，
由直三棱柱可得四邊形為平行四邊形
又為的中點，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
又∵平面，平面
故平面．
∵點，分別為，的中點，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
而，平面，平面，
∴平面平面，
而平面，故平面.
【小問2詳解】
∵在直三棱柱中又有，
∴，，兩兩垂直，分別以直線，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
∴，，，
設(shè)是平面的法向量，
則，取，則
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
所以直線與平面所成的角的余弦為．
19. 已知拋物線的焦點為，拋物線上一點橫坐標(biāo)為3，且點到焦點的距離為4.
（1）求拋物線的方程；
（2）過點作直線交拋物線于點，求面積的最小值（其中為坐標(biāo)原點）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由拋物線的焦半徑公式，結(jié)合拋物線定義即可求解，
（2）聯(lián)立直線與拋物線方程可得，進(jìn)而根據(jù)面積求解，結(jié)合基本不等式即可求解最值.
【小問1詳解】
由題意知,
所以.
【小問2詳解】
由 (1) 知, 拋物線, 直線過,
可設(shè)直線的方程為,
聯(lián)立
設(shè),不妨設(shè)，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
∴面積最小值為.

20. （1）現(xiàn)有4男2女共6個人排成一排照相，其中兩個女生相鄰的排法種數(shù)為多少？
（2）8個體育生名額，分配給5個班級，每班至少1個名額，有多少種分法？
（3）要排一份有4個不同的朗誦節(jié)目和3個不同的說唱節(jié)目的節(jié)目單，如果說唱節(jié)目不排在開頭，并且任意兩個說唱節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數(shù)為多少？
（4）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生7名，其中3名女醫(yī)生，有外科醫(yī)生5名，其中只有1名女醫(yī)生．現(xiàn)選派6名去甲、乙兩地參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，要求每隊必須2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生，且每隊由2名外科醫(yī)生1名內(nèi)科醫(yī)生組成，有多少種派法？（最后結(jié)果都用數(shù)字作答）
【答案】（1）；（2）；（3）576；（4）.
【解析】
【分析】（1）利用捆綁法即可求得兩個女生相鄰的排法種數(shù)；
（2）利用隔板法即可求得名額的分法種數(shù)；
（3）利用插空法即可求得不同的排法種數(shù)；
（4）按外科女醫(yī)生來或不來分類討論，再依據(jù)分步計數(shù)原理即可求得所有不同的派法種數(shù).
【詳解】（1）兩個女生相鄰捆綁處理，有種；
（2）將8個體育生名額排成一列，在形成的中間7個空隙中插入4塊隔板，
所以不同的放法種數(shù)為；
（3）第1步，先排4個朗誦節(jié)目共種；
第2步，排說唱節(jié)目，不相鄰則用插空法，且保證不放到開頭，
從剩下4個空中選3個插空共有種，所以一共有=576種排法；
（4）先分類：
①若外科女醫(yī)生必選，則一組內(nèi)科4男選1，外科4男選1；
另一組內(nèi)科3女中選1女，外科3男選2，共有種；
②若外科女醫(yī)生不選，則一組內(nèi)科3女選1，外科4男選2；
另一組內(nèi)科2女選1，外科2男選2 ，共有種；
由于分赴甲乙兩地，所以共有種．
21. 在直角梯形中，，，，如圖①把沿翻折，使得平面平面（如圖②）．

（1）求證：；
（2）在線段上是否存在點，使得與平面所成的角為60°？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；
（2）存在，，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）若為中點，連接，易得，由面面、線面垂直的性質(zhì)有，最后根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)證結(jié)論；
（2）過作，并構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法及已知線面角的余弦值求出滿足要求的點坐標(biāo)，即可判斷存在性并求的值.
【小問1詳解】
由題設(shè)，若中點，連接，則，
由面面，面面，面，則面，
而面，故，

又，，則，且，
所以，故，
所以，
，面，則面，
又面，所以.
【小問2詳解】
過作，由（1）知：，且面，
所以可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，
設(shè)且，則，且，
若是面的一個法向量，則，
令，則，又與平面所成的角為60°，
所以，
整理得，可得或（舍），即，
而，則，，即，故.

22. 已知橢圓（）的離心率為，一個焦點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為原點，直線（）與橢圓交于不同的兩點，且與x軸交于點，為線段的中點，點關(guān)于軸的對稱點為.證明：是等腰直角三角形.
【答案】（1）
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由題知，進(jìn)而結(jié)合求解即可得答案；
（2）設(shè)點，，進(jìn)而聯(lián)立并結(jié)合題意得或，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理得，再的中點為，證明，進(jìn)而得，，故，綜合即可得證明.
【小問1詳解】
解：因為橢圓的離心率為，一個焦點為
所以，所以
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
解：設(shè)點，則點,
所以聯(lián)立方程得，
所以有，解得，
因為，故或
設(shè)，
所以
設(shè)向量，
所以
，
所以，即，
設(shè)的中點為，則
所以，
又因為，所以，
所以，
因為點關(guān)于軸的對稱點為.
所以，
所以，
所以是等腰直角三角形. A
B
C
D
E

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