1.等差數(shù)列中，已知，則（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
2.已知空間向量滿足，則實數(shù)的值是（ ）
A.-5 B.-4 C.4 D.5
3.直線平分圓，則（ ）
A. B.1 C.-1 D.-3
4.已知拋物線經(jīng)過點，點到拋物線的焦點的距離為3，則拋物線的準線方程為（ ）
A. B.
C. D.
5.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
6.在直三棱柱中，是的中點，則直線與夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
7.的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是（ ）
更多優(yōu)質(zhì)資源可進入 A. B.
C. D.
8.雙曲線的兩個焦點為，以的實軸為直徑的圓記為，過作圓的切線與的兩支分別交于兩點，且，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.下列說法正確的是（ ）
A.直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2
B.點關(guān)于直線的對稱點為
C.過兩點的直線方程為
D.已知點，向量，過點作以向量為方向向量的直線為，則點到直線的距離為
10.已知圓與圓，下列說法正確的是（ ）
A.與的公切線恰有4條
B.與相交弦的方程為
C.與相交弦的弦長為
D.若分別是圓上動點，則
11.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.當時，取得最大值
C.
D.使得成立的最大自然數(shù)是15
12.如圖，棱長為2的正方體中，分別為棱的中點，為線段上的動點，則（ ）
A.三棱錐的體積為定值
B.存在點，使得平面
C.為中點時，直線與所成角最小
D.點到直線距離的最小值為
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知，其中，若，則的值為__________.
14.函數(shù)的導函數(shù)__________.
15.如圖甲是第七屆國際數(shù)學教育大會（簡稱）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長度構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的通項公式為__________.
16.曲線過原點的切線方程為__________.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.已知是等差數(shù)列的前項和，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前項和.
18.已知圓心為的圓經(jīng)過點和，且圓心在直線上.
（1）求圓心為的圓的一般方程；
（2）已知為圓上的點，求的最大值和最小值.
19.如圖，已知正方體，點為棱的中點.
（1）證明：平面.
（2）求異面直線與所成角的正弦值.
20.已知函數(shù).
（1）求的圖象在處的切線方程；
（2）求的極值.
21.已知直線與拋物線交于兩點.
（1）若直線過拋物線的焦點，線段中點的縱坐標為2，求的長；
（2）若直線經(jīng)過點，求的值.
22.已知橢圓的中心在坐標原點，兩焦點在軸上，離心率為，點在上，且的周長為6.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點的動直線與相交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，直線與軸的交點為，求的面積的最大值.
府谷中學高二數(shù)學期末模擬試卷
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.【答案】D
【解析】因為，為等差數(shù)列，所以有，
所以，.
故選：D.
2.【答案】D
【解析】由已知條件得出，解得.
故選：D.
3.【答案】D
【解析】變形為，故圓心為，
由題意得圓心在上，故，解得.
故選：D
4.【答案】A
【解析】由已知，解得，
故拋物線的準線方程為，
故選：A.
5.【答案】D
【詳解】，
當時的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故選：D.
6.【答案】C
【解析】在直三棱柱中，，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，
，則，線段的中點，于是，
所以直線與夾角的余弦值為.
故選：C
7.【答案】C
【詳解】由導函數(shù)的圖象可知，當或時，；當時，.所以，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為，
所以，函數(shù)的圖象為C選項中的圖象.
故選：C.
8.【答案】C
【解析】
如圖，設(shè)雙曲線的方程為，則.
設(shè)切線與圓相切于點，過點作，垂足為，則.
所以，有，所以.
又，所以為等腰直角三角形，
所以，
根據(jù)雙曲線的定義可得，，所以.
在中，由余弦定理可得，.
所以，，
所以，
所以，的離心率.
故選：C.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.【答案】ABD
【解析】對于A中，令，可得，令，可得，
則直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積，所以A正確；
對于B中，設(shè)關(guān)于直線對稱點坐標為，
則，解得，所以B正確；
對于C中，直線的兩點式使用的前提是，所以錯誤；
對于中，以向量為方向向量的直線的斜率，
則過點的直線的方程為，即，
則點到直線距離，所以正確.
故選：ABD.
10.【答案】BCD
【解析】由已知得圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
因為，故兩圓相交，
所以與的公切線恰有2條，故錯誤；
兩圓方程做差可得與相交弦的方程為，故B正確；
由點到直線的距離公式得到相交弦的距離為，
故相交弦的弦長為正確；
由圖可知，，故D正確.
故選：BCD
11.【答案】ABC
【詳解】解：因為等差數(shù)列中，，
所以，A正確；
當時，取得最大值，B正確；
，C正確；
，
故成立的最大自然數(shù)錯誤.
故選：ABC.
12.【答案】ABD
【解析】
如圖，以點坐標原點，建立空間直角坐標系.
則，
.
對于項，由正方體以及面面平行的性質(zhì)可得，平面，
點在線段上，所以到平面的距離等于.
因為，所以.
則是個定值，故A項正確；
對于項，假設(shè)存在點，使得平面.
設(shè).
，
則.
所以
，所以，滿足條件.
此時有平面平面，
所以，存在點，使得平面，故B項正確；
對于項，設(shè)直線與所成角為.
因為.
所以
所以.
因為，所以當時，有最小值，顯然有，
則有最大值，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，當時，有最小值，故C項錯誤；
對于項，因為，
所以，在方向上投影的絕對值為，
由知，當時，有最小值，則有最大值為，
又，所以，點到直線距離的最小值為，故項正確.
故選：ABD.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.【答案】
【解析】由已知可得，.
因為'，所以，解得，
所以，.
故答案為：.
14.【答案】
【分析】利用導函數(shù)的乘法公式和復合函數(shù)求導法則進行求解
【解析】
故答案為：
15.【答案】
【解析】根據(jù)圖形，
因為都是直角三角形，
，
是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
，
，故答案為.
16.【答案】或.
【詳解】由題意可得，
設(shè)切點為，則，
所以函數(shù)過原點的切線方程為，
解之得，則，
此時切線方程為，
若切點為原點，則，此時切線方程為.
故答案為：或.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.【答案】（1）；
（2）.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的前項為，公差為，則，解得.
故數(shù)列的通項公式；
（2），故
18.【答案】（1）；
（2）最大值為，最小值為.
【解析】（1），
弦的垂直平分線的斜率為，
又弦的中點坐標為弦的垂直平分線的方程為，即，
與直線聯(lián)立，解得：，
圓心坐標為圓的半徑，
則圓的方程為.
圓的一般方程為；
（2）由（1）知圓的方程為，
所以在圓外，
的最大值為，最小值為.
19.【答案】（1）證明見解析
（2）
【詳解】（1）連接，交于點，連接，
因為為棱的中點，
所以是的中位線，
故，
因為平面平面，
所以平面
（2）以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體邊長為2，則，
則，
故，
又，所以
故與所成角的正弦值為.
20.【答案】（1）
（2）極大值為，無極小值.
【詳解】（1）因為的定義域為.
所以.
的圖象在處的切線方程為.
（2）
當時，，當時，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
.
故的極大值為，無極小值.
21.【答案】（1）6
（2）-4
【詳解】（1）設(shè)，線段中點設(shè)為，則，
由題意，拋物線的焦點為，
根據(jù)拋物線的定義得；
（2）當直線斜率不存在時，，與拋物線只有一個交點，不符合題意.
所以直線斜率必存在，設(shè)為，
與拋物線聯(lián)立得：，得，
所以.
22.【答案】（1）
（2）
【解析】（1）
由題知：，
所以橢圓
（2）如圖所示：
設(shè)直線.
.
，解得.
.
因為點關(guān)于軸對稱，所以.
設(shè)，因為三點共線，所以.
即，即.
解得
.
所以點為定點，.
.
令，
則，
當且僅當，即時取等號.
所以的面積的最大值為.

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