注意事項:
1. 本試卷共150分，考試時間120分鐘.
2. 答題前，考生務必將班級、姓名、學號填寫在密封線內(nèi).
一、 單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.
1. 設全集，集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用補集及交集的運算即可求出結果.
【詳解】因為，，
所以，又，故,
故選：C.
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題得出結果.
【詳解】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，
故“，”的否定是“，”，
故選：B．
3. 已知 則（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C更多優(yōu)質(zhì)資源可進入 【解析】
【分析】結合函數(shù)的解析式，先求出，進而可得答案.
【詳解】∵，
∴.
故選：C.
4. 已知，則下列說法正確是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，，則D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】利用特值法判斷ABC；根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷D.
【詳解】若，取，得，故A錯誤；
若，取，得，故B錯誤；
若，，取，得，，故C錯誤；
若，即，則，即，故D正確.
故選：D.
5. 已知函數(shù)，．若有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】有2個零點，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個交點，利用函數(shù)圖象判斷實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
令可得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示：

由上圖可知，當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個交點，此時，函數(shù)有2個零點．因此，實數(shù)a的取值范圍是．
故選：D．
6. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用正切的倍角公式，求得，再結合誘導公式、三角函數(shù)的基本關系式和兩角差的正切公式，即可求解.
【詳解】因為，所以，解得或，
因為，所以，
所以
.
故選：A．
7. 若滿足，滿足，則（ ）
A. 1B. 2C. eD.
【答案】A
【解析】
【分析】將轉(zhuǎn)化為，結合函數(shù)在的單調(diào)性即可求解.
【詳解】，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即有.
故選：A
8. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，可得，則有，然后求出的單調(diào)遞減區(qū)間，再結合已知列不等式組可求出結果.
【詳解】因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
所以，得,
所以，所以，
由，，得，，
得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 （），
因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
所以（），
解得，，
因為，所以，得，
所以，
故的取值范圍為 .
故選：B
二、 多項選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 在下列各式均有意義的前提下，運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由指數(shù)對數(shù)運算法則可判斷AC，由誘導公式即可判斷B，由平方關系、商數(shù)關系以及二倍角公式可判斷D．
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，故B錯誤；
對于C，由對數(shù)的運算性質(zhì)得，故C正確；
對于D，一方面，所以有，另一方面，故D正確．
故選：ACD．
10. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（ ）
A. 函數(shù)為減函數(shù)
B. 函數(shù)為偶函數(shù)
C. 當時，
D. 當時，
【答案】CD
【解析】
【分析】A選項，由待定系數(shù)法求出解析式，得到定義域和單調(diào)性；B選項，根據(jù)定義域不關于原點對稱，得到函數(shù)不是偶函數(shù)；C選項，由函數(shù)單調(diào)性得到；D選項，作差法比較出，從而得到.
【詳解】A選項，設冪函數(shù)，則，解得，所以，
所以的定義域為，因為，故在上單調(diào)遞增，故A錯誤；
B選項，因為的定義域不關于原點對稱，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故B錯誤，
C選項，由A可知，在上單調(diào)遞增
故當時，，故C正確，
D選項，當時，
，
又，所以，D正確．
故選：CD.
11. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）．

A.
B. 為偶函數(shù)
C.
D. 函數(shù)在內(nèi)有且僅有三條對稱軸，則a的取值范圍為
【答案】BC
【解析】
【分析】首先根據(jù)圖象求出函數(shù)表達式，對于A，只需驗證是否是最大值即可；對于B，將函數(shù)表達式化簡即可驗證；對于C，只需驗證點是否為函數(shù)的對稱中心即可；對于D，先求出對稱軸方程然后得到關于的不等式組有3個整數(shù)解，求出這3個整數(shù)解，進一步即可得到關于的不等式組，解不等式組即可.
【詳解】由圖可知，所以，
又根據(jù)對稱性可知，
所以，即，解得，
結合可知，只能，
所以，
又由圖可知，
所以滿足題意，
所以，
對于A，因為的值域為，而，故A錯誤；
對于B，因為，而是偶函數(shù)，故B選項正確；
對于C，若，則當且僅當點是函數(shù)的對稱中心，
又因為，所以點是函數(shù)的對稱中心，故C選項正確；
對于D，由以上分析可知是函數(shù)一條對稱軸，且，
而每相鄰兩條對稱軸之間相差，
因此函數(shù)的對稱軸方程為，
若函數(shù)在內(nèi)有且僅有三條對稱軸，
則當且僅當關于的不等式組有且僅有三個整數(shù)解，
可以發(fā)現(xiàn)不等式組的最小整數(shù)解只能為1，從而其余兩個整數(shù)解分別為2和3，
因此當且僅當關于的不等式組滿足時，符合題意，
解不等式組得，即a的取值范圍為，故D錯誤.
故選：BC.
12. 已知函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關于直線成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A. 函數(shù)的對稱中心是
B. 函數(shù)的對稱中心是
C. 函數(shù)有對稱軸
D. 函數(shù)有對稱軸
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于AB，根據(jù)函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件分析判斷，對于CD，根據(jù)函數(shù)的圖象關于直線成軸對稱圖形的充要條件分析判斷.
【詳解】對于A，因為函數(shù)，
所以為奇函數(shù)，
所以點是函數(shù)的對稱中心，所以A正確，
對于B，，則，
令，因為，
所以不是奇函數(shù)，
所以點不是函數(shù)的對稱中心，所以B錯誤，
對于C，因，所以，
當時，函數(shù)為偶函數(shù)，所以有對稱軸，所以C正確，
對于D，因為，
所以，
當時，為偶函數(shù)，
所以的圖象關于直線對稱，所以D正確，
故選：ACD
三、 填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，，則的取值范圍是____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，設，由相等關系列方程組求出，再利用不等式的性質(zhì)求解即可.
【詳解】設，
則，
所以，解得，
于是.
又，，
所以，即.
故答案為：.
14. 已知，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】在代數(shù)式上除以，再利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.
【詳解】因為，則
.
故答案：.
15. 已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是____.
【答案】
【解析】
【分析】由題意結合對數(shù)函數(shù)復合函數(shù)單調(diào)性可知二次函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，并注意到在區(qū)間上恒成立，由此即可得解.
【詳解】由于函數(shù)在上是增函數(shù)，
而函數(shù)為減函數(shù)，
所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，
所以，解得，當時，有，解得，
因此實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
16. 已知兩條直線：和：，直線，分別與函數(shù)的圖象相交于點A，B，點A，B在x軸上的投影分別為C，D，當m變化時，的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】分別求出直線，與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，再根據(jù)對數(shù)運算與基本不等式求最值.
【詳解】由與函數(shù)相交得，解得，所以，同理可得，
所以，
令，
因為， 所以,當且僅當時取最小值.
所以
所以的最小值為.
故答案為:
【點睛】利用基本不等式求最值時要注意成立的條件，一正二定三相等，遇到非正可通過提取負號轉(zhuǎn)化為正的；沒有定值時可對式子變形得到積定或和定再用基本不等式；取不到等號時可借助于函數(shù)的單調(diào)性求最值.
四、 解答題:本題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知集合， .
（1）當時，求；
（2）若，“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，再由交集的定義求得結果；
（2）由題意可得?，列出關于的不等式組，求解即可.
【小問1詳解】
當時，，
，
所以.
【小問2詳解】
由“”是“”的必要不充分條件，得?，
所以解得，
又，故實數(shù)的取值范圍為.
18. （1）已知，求的最小值；
（2）若均為正實數(shù)，且滿足，求的最小值.
【答案】（1）8；（2）
【解析】
【分析】（1）先將函數(shù)解析式變形，再利用基本不等式求出最值；
（2）結合1的妙用，利用基本不等式求出最值.
【詳解】（1） 因為，所以，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為8.
（2） 因為均為正實數(shù)，，
所以，，，
則
，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為.
19. 學校鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時間有60分鐘，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分與當天鍛煉時間（單位：分）的函數(shù)關系.要求及圖示如下：
（i）函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；
（ii）每天運動時間為0分鐘時，當天得分為0分；
（iii）每天運動時間為20分鐘時，當天得分為3分；
（iiii）每天最多得分不超過6分.
現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：
①，②，③.
（1）請你根據(jù)條件及圖像從中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出函數(shù)的解析式；
（2）求每天得分不少于分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結果保留整數(shù)）.
【答案】（1）模型③，
（2）至少需要鍛煉37分鐘.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知圖象的增長特征，結合模型中函數(shù)所過的點，以及函數(shù)的增長速度，即可確定模型，將對應的點代入，求得參數(shù)，可得解析式，并驗證，即可求解；
（2）由（1）得，令，求出的范圍，即可得出答案．
【小問1詳解】
解：對于模型①，，當滿足同時過點時，，即，當時，，不合題意；
由圖可知，該函數(shù)的增長速度較慢，對于模型②，是指數(shù)型的函數(shù)，其增長是爆炸型增長，故②不合適；
對于模型③，對數(shù)型的函數(shù)增長速度較慢，符合題意，故選項模型③，此時，所求函數(shù)過點，
則，解得，
故所求函數(shù)為，
經(jīng)檢驗，當時，，符合題意
綜上所述，函數(shù)的解析式為.
【小問2詳解】
解：由（1）得，
因為每天得分不少于分，
所以，即，
所以，即，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉37分鐘.
20. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸方程;
（2）解關于x的不等式;
（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，求函數(shù)在上的值域.
【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為；對稱軸
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）應用兩角和的正弦公式及二倍角公式化簡得，應用整體代入法即可求解單調(diào)區(qū)間與對稱軸；
（2）結合函數(shù)圖像解不等式；
（3）應用換元法求值域;
【小問1詳解】
，
函數(shù)的最小正周期.
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
令，解得，
所以的對稱軸方程為.
【小問2詳解】
即，
所以，解得.
【小問3詳解】
由題知，
則
，
令，則，
當時，;當時，.
綜上可知所求值域為.
21. 已知函數(shù).
（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值;
（2）判斷（1）中函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明你的結論;
（3）對于（1）中的，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）結論：在上單調(diào)遞增，證明見解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）定義域為的奇函數(shù)滿足，求解即可；
（2）由定義證明函數(shù)的單調(diào)性；
（3）由函數(shù)為奇函數(shù)且在上為增函數(shù)，可將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【小問1詳解】
的定義域為，由為奇函數(shù)，
所以，即，
所以.
【小問2詳解】
結論：在上單調(diào)遞增，證明如下：
，
設，，且，則
，
因為，所以，，，所以，即，
所以在上單調(diào)遞增.
小問3詳解】
因為為奇函數(shù)且在上為增函數(shù)，
所以不等式可化為，
所以，
即對任意的恒成立，
所以，
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當時，，當時，，所以，所以，
即實數(shù)的取值范圍為.
22. 如圖，正方形的邊長為1，，分別為邊，上的動點.
（1）設，，請用含有的式子表示的周長；
（2）若點，在運動的過程中，的大小保持不變，試探究的周長的變化情況．
【答案】（1）
（2）的周長為定值2
【解析】
【分析】（1）求出后即可得解；
（2）由題意可得的大小保持不變，即為定值，結合三角形周長的表達式及兩角和的正切公式，得出的表達式，即可求解．
【小問1詳解】
由題知，，，，
所以的周長.
【小問2詳解】
因為點在運動的過程中，的大小保持不變，
所以的大小保持不變，則為定值.
，
令，，
則有，化簡得，
=，
要使得為定值，則有，解得，
此時， ，即.
所以若在運動的過程中，的大小保持不變，
則的周長為定值2.

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