一、 單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.
1. 已知全集,則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題中條件知，圖中陰影部分表示集合,進一步計算即可.
【詳解】因為全集，
所以，則由韋恩圖知陰影部分為，
故選：D.
2. 已知，，,則 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)，利用中間值進行比較.
【詳解】因為，即，
因為，
所以，所以，
因為，
所以，
又，所以，
所以.更多優(yōu)質(zhì)資源可進入 故選：.
3. 設(shè),則“”是“”的 ( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】考查命題成立時，變量的范圍，根據(jù)集合之間的關(guān)系即可判定.
【詳解】因為,
，
設(shè)，
則?，
故“”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
4. 冪函數(shù)（）的大致圖像是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性判斷圖像形狀.
【詳解】∵時，為偶數(shù)且大于0，∴的定義域為，且在定義域上單調(diào)遞增．
只有B選項符合條件.
答案：B．
5. 已知,,則= ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件求得，把化為，利用兩角和的余弦公式展開，進行計算即可.
【詳解】因為,所以.
又,
所以,
則
，
故選：C.
6. 已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】依題意可得，令，，即可得到是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
【詳解】解:，令，，于是
，所以是奇函數(shù)，從而的最大值G與最小值g的和為0，而.
故選：B
7. 已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A. 6B. 5C. 12D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】利用得出，結(jié)合基本不等式求解.
【詳解】因為，所以，而，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
故選：B
8. 已知函數(shù)，若方程僅有兩個不同的根，則的取值范圍為 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】探討給定函數(shù)性質(zhì)，并畫出函數(shù)的圖象，借助圖象求出的取值范圍，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求出值域得解.
【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，
方程的根，即為直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，
觀察圖象知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有且只有兩個交點，
即當(dāng)時，方程僅有兩個不同的根，
函數(shù)上單調(diào)遞增，，
所以的取值范圍為.
故選：A
【點睛】思路點睛：涉及給定函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.
二、 多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9. 已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】對兩邊平方得，結(jié)合的范圍得到，AD正確；結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系得到正弦和余弦值，進而求出正切值，BC錯誤.
【詳解】，兩邊平方得：，
解得：，D正確；
故異號，
因，所以，A正確；
因為，結(jié)合，得到，
解得：，故，BC錯誤.
故選：AD
10. 已知函數(shù)的圖象過點，最小正周期為，則（ ）
A. 在上單調(diào)遞減
B. 的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)為偶函數(shù)
C. 函數(shù)在上有且僅有4個零點
D. 函數(shù)在區(qū)間上有最小值無最大值
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件， 求出 與 ， 再逐項分析求解， 判斷作答.
【詳解】依題意，，即，而，
則.
由最小正周期為，得，得，則，
對于A，由，得，則在上不單調(diào)，A不正確；
對于B，的圖象向右平移個單位長度后得函數(shù)，是偶函數(shù)，B正確；
對于C，當(dāng)時，，則，
則，可得在上有且僅有4個零點，C正確；
對于D，當(dāng)時，，
當(dāng)，解得時，取得最小值，無最大值，D正確.
故選：BCD.
11. 函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 圖象關(guān)于y軸對稱B. 在[0，+）上單調(diào)遞減
C. 值域為D. 有最大值
【答案】AD
【解析】
【分析】對選項A，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)即可判斷A正確，對選項B，根據(jù)定義域為，即可判斷B錯誤，對選項C，根據(jù)的值域為，即可判斷C錯誤，根據(jù)的值域為，即可判斷D正確.
【詳解】對選項A，，定義域為，
，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
圖象關(guān)于軸對稱，故A正確.
對選項B，因為定義域為，
所以在上單調(diào)遞減錯誤，故B錯誤.
對選項C，，
因為，所以，且，
所以的值域為，故C錯誤.
對選項D，因為的值域為，所以的最大值為，故D正確.
故選：AD
12. 已知實數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式結(jié)合已知等式，即可求得與的取值范圍，即可逐項判斷.
【詳解】因為，所以，則，
又，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，則，故A正確，B不正確；
因為，所以，
又，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；
因為，所以，所以，即，C正確.
故選：ACD.
三、 填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13. 若是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，又，則不等式的解集為______．
【答案】
【解析】
【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性求解即可；
【詳解】因為是偶函數(shù)，所以
所以，
又因為在上單調(diào)遞增，
所以，
解得：，
故答案為：.
14. 若“存在x∈[﹣1，1]，成立”為真命題，則a的取值范圍是___．
【答案】
【解析】
【分析】
轉(zhuǎn)化為在上有解，不等式右邊構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求出最大值即可得解.
【詳解】存在x∈[﹣1，1]，成立，即在上有解，
設(shè)，，
易得y＝f(x)在[﹣1，1]為減函數(shù)，
所以，即，即，
即，所以，
故答案為：．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：將問題轉(zhuǎn)化為在上有解進行求解是解題關(guān)鍵.
15. 已知且，若存在,存在,使得成立,則實數(shù)a的取值范圍是____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意知，建立不等式求解即可.
【詳解】因為，
當(dāng)時,，
因為存在,存在,
使得成立,
所以函數(shù)在上最小值小于函數(shù)在上的最大值.
當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
則，解得;
當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
則，解得，
綜上,實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,那么實數(shù)ω的取值范圍是____.
【答案】
【解析】
【分析】化簡函數(shù)的解析式，根據(jù)題中條件可得，，繼而解得的值，進一步計算即可.
【詳解】因為，
由且，知，
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
則,其中,
所以其中,
解得，其中,
由，
得，又，
所以或，
因為,所以當(dāng)時,;
當(dāng)時,，
所以實數(shù)ω的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵點睛是求出右邊界的范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組，解出的范圍，再對合理賦值即可.
四、 解答題:本題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 化簡求值:
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由指數(shù)運算和對數(shù)運算的法則逐項求解即可；
（2）由三角函數(shù)的公式求值即可.
【小問1詳解】
原式；
【小問2詳解】
原式.
18. 設(shè)全集,已知函數(shù)的定義域為集合A,集合.
（1）當(dāng)時,求,；
（2）若,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）；；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解出集合,根據(jù)集合的運算法則進行運算即可；
（2）根據(jù)集合之間的關(guān)系，列出不等式組，解出即可.
【小問1詳解】
由題可知
解得,故集合.
當(dāng)時,,
則,,
所以.
【小問2詳解】
因為,所以需滿足
解得,
所以實數(shù)m的取值范圍為.
19. “實施科教興國戰(zhàn)略,強化現(xiàn)代化建設(shè)人才支撐”是2022年10月16日習(xí)近平同志在中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會上報告的一部分.必須堅持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動力,深入實施科教興國戰(zhàn)略、人才強國戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略,開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道,不斷塑造發(fā)展新動能新優(yōu)勢.某科技企業(yè)通過加大科技研發(fā)投資,提高了企業(yè)的技術(shù)競爭力,也提高了收入.下列一組數(shù)據(jù)是該公司從2017年以來每年的收入(單位:億元),2017年記為1,后面的年份依次類推.
（1）給出以下兩個函數(shù)模型:①y=;②y=.試問:用哪個模型更適合模擬該企業(yè)的收入?
（2）該企業(yè)大約在哪一年收入超過100億元?(參考數(shù)據(jù):）
【答案】（1）用模型②y=更適合模擬該企業(yè)的收入
（2）大約在2025年該企業(yè)的收入超過100億元.
【解析】
【分析】（1）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象,并在此坐標(biāo)系內(nèi)描出表格提供的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點,觀察即可；
（2）解出，,則，即可求解.
【小問1詳解】
在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象,
并在此坐標(biāo)系內(nèi)描出表格提供的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點如圖所示.
觀察圖象知,這些點基本上都落在函數(shù)的圖象上或附近,
所以用模型②更適合模擬該企業(yè)的收入.
【小問2詳解】
當(dāng)時,,
因此=≈,
而,則,
所以大約在2025年該企業(yè)的收入超過100億元.
20. 已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
（1）求證：函數(shù)為奇函數(shù).
（2）將的圖象向左平移個單位，再將橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，得到的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)圖象關(guān)于對稱，求，進而得到函數(shù)解析式，從而證明；
（2）由函數(shù)圖象的變換規(guī)律，得到的解析式，即可求出單調(diào)增區(qū)間.
【小問1詳解】
因為的圖象關(guān)于直線對稱，
所以，
得，，因為，所以當(dāng)時，，
所以，
所以，
因為，
所以為奇函數(shù)成立.
【小問2詳解】
由（1）可得：，
將的圖象向左平移個單位，再將橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，
則
由可得，
，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
21. 已知函數(shù).
（1）若，試討論不等式的解集；
（2）若對于任意，恒成立，求參數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用含參一元二次不等式的解法分類討論求解；
（2）利用分離參變量的方法求解.
【小問1詳解】
若不等式，即，
①當(dāng)時，不等式，解得，該不等式的解集為；
②當(dāng)時，因式分解可得，
因為，不等式可變?yōu)椋?br>（i）當(dāng)即時，不等式的解集為；
（ii）當(dāng)即時，不等式的解集為；
（iii）當(dāng)即時，不等式的解集為；
綜上所述：當(dāng)時，該不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為.
【小問2詳解】
對于，恒成立，
化簡得在上恒成立，
設(shè)，該函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，對稱軸，
所以在上單調(diào)遞增，，所以，
則的取值范圍為.
22. 已知函數(shù)與.
（1）請用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性;
（2）當(dāng)時,求在區(qū)間上的值域;
（3）對于函數(shù)和,設(shè),若存在α,β,使得,則稱函數(shù)和互為“零點相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與是“零點相鄰函數(shù)”,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義直接證明即可；
（2）當(dāng)時，令，，函數(shù)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得值域；
（3）根據(jù)題中條件知，在上單調(diào)遞增,且,據(jù)此可知，進而求得，又根據(jù)題意在上有解，換元后，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
任取,且,
則
,
因為,
所以,
所以,即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
當(dāng)時,.
又,令,則，
函數(shù)的圖象開口向上且對稱軸為直線,
由，
，
得，
故在區(qū)間上的值域為.
【小問3詳解】
由(1)知函數(shù)在上單調(diào)遞增,
且,據(jù)此可知.
結(jié)合“零點相鄰函數(shù)”的定義可得，
據(jù)此可知函數(shù)在區(qū)間上存在零點,
即方程在區(qū)間上存在實數(shù)根,
整理得，
令,則，.
根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì),
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
又，
所以，即，
故實數(shù)a的取值范圍是.x/年
1
2
3
4
5
6
y/億元
0.9
1.40
2.56
5.31
11
21.30

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