一?單選題
1. 已知是等差數(shù)列，且是和的等差中項(xiàng)，則的公差為（ ）
A. 1B. 2C. -2D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)得導(dǎo)方程，利用通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，即可求得公差的值.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d.
由已知條件，得，
即，解得.
故選B.
2. 棱長(zhǎng)為的正四面體中，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.
【詳解】.
故選：A.
3. 直線與圓交于A，兩點(diǎn)，則當(dāng)弦最短時(shí)直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求直線所過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合圖形分析，由直線l與CP垂直時(shí)弦最短可解.更多優(yōu)質(zhì)資源可進(jìn)入 【詳解】由得，
則令，解得，故直線過(guò)定點(diǎn)，
由，則圓心，半徑，
當(dāng)時(shí)，弦最短，直線的斜率，則直線的斜率，
故直線為，則．
故選：D
4. 若，則“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A. 充要條件B. 既不充分也不必要條件
C. 充分不必要條件D. 必要不充分條件
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)方程表示橢圓求出實(shí)數(shù)的取值范圍，再利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.
【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或，
因?yàn)?或，
因此，“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.
故選：D.
5. 已知等差數(shù)列的公差為2，為其前項(xiàng)和，若，則=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)已知條件判斷，再利用通項(xiàng)公式代入計(jì)算，解出即可.
【詳解】由知，，即，解得.
故選：D.
6. 雙曲線（）的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由橢圓的焦點(diǎn)確定雙曲線的焦點(diǎn)，得到，再結(jié)合漸近線知，解得參數(shù)a，b，即得的方程.
【詳解】依題意橢圓的焦點(diǎn)為，故雙曲線的焦點(diǎn)也是，
故，又由漸近線可知，解得，
故的方程為.
故選：A.
7. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，那么取得最小正值時(shí)為（ ）
A. 11B. 12C. 7D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，判斷出，的符號(hào)，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算公式，即可求得.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和有最大值，故可得，
因，故可得，即，
所以，可得，
又因?yàn)椋?br>故可得，所以數(shù)列的前6項(xiàng)和有最大值，
且，
又因?yàn)椋?br>故取得最小正值時(shí)n等于.
故選：A.
8. 已知過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】不妨設(shè)在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，易得，代入橢圓方程可得，又，兩式相結(jié)合即可求解
【詳解】
不妨設(shè)在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，
則為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，所以，則
即，所以，，
將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，即，
又，所以，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
故選：B
二?多選題
9. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A. 為等差數(shù)列B.
C. 最小值為D. 為單調(diào)遞增數(shù)列
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)求出，并確定為等差數(shù)列，進(jìn)而可結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項(xiàng)和分析求解.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，
時(shí)滿足上式，所以,
所以，
所以為等差數(shù)列，故A正確；
對(duì)于B，由上述過(guò)程可知，
，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，?duì)稱軸為，
又因?yàn)?，所以?dāng)或3時(shí)，最小值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由上述過(guò)程可知的公差等于2，
所以為單調(diào)遞增數(shù)列，故D正確.
故選:BC.
10. 已知曲線，則下列判斷正確的是（ ）
A. 若，則是圓，其半徑為
B. 若，則是雙曲線，其漸近線方程為
C. 若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上
D. 若，則是兩條直線
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓，雙曲線的幾何性質(zhì)，圓的定義逐個(gè)進(jìn)行判斷即可
【詳解】若時(shí)，轉(zhuǎn)化為，半徑為，故A錯(cuò)誤；
若，當(dāng)，是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，當(dāng)，是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，無(wú)論焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，令，整理可得均是的漸近線，故B正確；
若，轉(zhuǎn)化為，由于可知，是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C正確；
若，轉(zhuǎn)化為，是雙曲線不是兩條直線，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
11. 設(shè)，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)為的左支上一點(diǎn)，的焦距等于，且，則（ ）
A. 為銳角三角形B. 雙曲線C的離心率為
C. 為鈍角三角形D. 雙曲線C的離心率為
【答案】AD
【解析】
【分析】
在焦點(diǎn)三角形中，利用余弦定理列式得關(guān)于的等式，即可求得離心率，然后再利用余弦定理計(jì)算三角形中的最大角的余弦值，即可判斷最大角為銳角.
【詳解】在中，，根據(jù)余弦定理，即，得，所以離心率為，可得，因?yàn)椋宰畲蠼鞘卿J角，所以為銳角三角形
故選：AD
【點(diǎn)睛】雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為雙曲線的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、，得到的關(guān)系．
12. 已知三棱錐B-ACD的側(cè)棱兩兩垂直，E為棱CD的中點(diǎn)，且，，，則（ ）
A.
B. 異面直線BE與AD所成角的正弦值為
C. 平面ABE與平面ABD不垂直
D. 平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
A．證明，所以該選項(xiàng)正確；
B．利用向量法求出異面直線BE與AD所成角的正弦值為，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C. 反證法證明平面ABE與平面ABD不垂直，所以該選項(xiàng)正確；
D.利用向量法證明平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值為，所以該選項(xiàng)正確.
【詳解】
因?yàn)槿忮FB-ACD的側(cè)棱兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,
A.，所以，所以該選項(xiàng)正確；
B.，所以異面直線BE與AD所成角的余弦值為
所以異面直線BE與AD所成角的正弦值為，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C. 假設(shè)平面ABE與平面ABD垂直，因?yàn)槠矫鍭BE與平面ABD交于,,
平面，故平面，因?yàn)槠矫妫?br>所以,顯然不成立，所以平面ABE與平面ABD不垂直，所以該選項(xiàng)正確；
D.設(shè)平面ABE的法向量為所以，所以，
設(shè)平面ACD的法向量為所以，所以，
所以平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值為.所以該選項(xiàng)正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：二面角的求法
方法一：（幾何法）找作（定義法、三垂線法、垂面法）證（定義）指求（解三角形）；方法二：（向量法）首先求出兩個(gè)平面的法向量；再代入公式（其中分別是兩個(gè)平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通過(guò)觀察二面角的大小選擇“”號(hào)）.
三?填空題
13. 設(shè)向量，，，則實(shí)數(shù)________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量數(shù)量積坐標(biāo)計(jì)算公式直接求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
解得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．
14. 已知圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，請(qǐng)寫(xiě)出滿足上述條件的一條直線方程__________.（寫(xiě)出一個(gè)正確答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】找出一條滿足條件的直線方程即可.
【詳解】圓的圓心為，半徑為2，
若要使圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則圓心到直線的距離應(yīng)該為1，
則直線可以為：，
此時(shí)由圓得圓心為：，半徑為2，
則如圖所示：
由圖可知圓上只有點(diǎn)到直線的距離為1，
故答案為：（答案不唯一）.
15. 已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則離心率為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)可得，進(jìn)而根據(jù)雙曲線方程得，由離心率公式即可求解.
【詳解】雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，
所以雙曲線方程為，所以雙曲線焦點(diǎn)在軸上，，
所以它的離心率為.
故答案為：.
16. 已知點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由的幾何意義以及拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離.
【詳解】由，得，則的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：.
幾何意義是點(diǎn)到與點(diǎn)的距離之和，
根據(jù)拋物線的定義點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，
所以的最小值為.
故答案為：.
四?解答題
17. 已知數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)累加迭代即可求解通項(xiàng)；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，滿足上式，
；
【小問(wèn)2詳解】
，則，
所以是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
故，
.
18. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn)，
（1）求證：
（2）求EF與CG所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，易知坐標(biāo)表示，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算易得，故；
（2）在（1）的條件下，易知的坐標(biāo)表示，利用可求得EF與CG所成角的余弦值.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，建立以D為原點(diǎn)，以DA，DC，分別為x，y，z軸的空直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
則，
所以，故，即EFCF.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，則，
所以，
所以EF與CG所成角的余弦值為.
19. 已知，，為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足.
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）若直線為，求直線被曲線截得的弦的長(zhǎng)度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)首先設(shè)點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離表示，化簡(jiǎn)求軌跡方程；
（2）代入直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由及兩點(diǎn)間的距離公式可得
，整理得.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，曲線
圓心到直線的距離，
所以弦的長(zhǎng)度.
20. 如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，平面，，，是的中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接交于，則是的中點(diǎn)連結(jié)，則，從而平面，再由，即可得到平面，由此能證明平面平面．
（2）連接，即可證明平面，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與面成的角的正弦值．
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接交于，則是的中點(diǎn)，
連接，是的中點(diǎn)，，
平面，平面，
平面；
又，平面，平面，平面，
又與相交于點(diǎn)，平面，
所以平面平面．
【小問(wèn)2詳解】
解：連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以?br>又，，所以為等邊三角形，所以，又，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
設(shè)面的法向量為，
依題意有，則，
令，，，則，
所以，
所以直線與面成的角的正弦值是．
21. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的兩條漸近線的夾角為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)及這個(gè)定值；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）存在；定點(diǎn)，
【解析】
【分析】（1）由漸近線夾角得出漸近線的傾斜角，從而得的值，再由求得得雙曲線方程；
（2）當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程，設(shè)點(diǎn)，得，再設(shè)，計(jì)算，由其為常數(shù)求得，同時(shí)驗(yàn)證當(dāng)直線斜率為0時(shí)，此值也使得為剛才的常數(shù)，即得結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
雙曲線的漸近線為，
又，，故其漸近線的傾斜角小于，而雙曲線的兩條漸近線的夾角為，
則漸近線的的傾斜角為，
則，即．
又，則．
所以雙曲線的方程是．
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，
代入，得，即．
設(shè)點(diǎn)，則．
設(shè)點(diǎn)，則
令，得，
此時(shí)．
當(dāng)直線與軸重合時(shí)，則點(diǎn)為雙曲線的兩頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)．
對(duì)于點(diǎn)．
所以存在定點(diǎn)，使為定值．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線方程，圓錐曲線中的的定值問(wèn)題，解題方法是設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程并代入圓錐曲線方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得（或），代入題設(shè)要得定值的式子，利用定值得出參數(shù)值．并驗(yàn)證特殊表形下也成立．
22. 已知直線與垂直,且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求的方程;
（2）若與圓相交于兩點(diǎn),求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，求得直線的斜率為，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；
（2）根據(jù)題意，利用直線與圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：由直線，可得斜率，
因?yàn)?，所以直線的斜率為，
又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即.
小問(wèn)2詳解】
解：由圓，可得圓心，半徑，
則圓心到直線的距離為，
又由圓的弦長(zhǎng)公式，可得弦長(zhǎng).
附加：
23. 已知拋物線和圓交于兩點(diǎn),且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求的方程.
（2）過(guò)的焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸平行的直線與交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，的準(zhǔn)線為，且，垂足為.證明:直線的斜率之積為定值，并求該定值.
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析，定值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到，代入即可得到答案；
（2）根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得到進(jìn)而求出定值即可.
【小問(wèn)1詳解】
由O為坐標(biāo)原點(diǎn),且，得直線的方程為，
代入圓的方程，得，
解得或，則，
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入的方程，得，則，
故C1方程為
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，，，
因?yàn)橹本€不與坐標(biāo)軸平行，所以直線斜率存在且不為，
設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立，
整理得，.
設(shè)，則，
所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,
所以，則，
所以，故T是定值,且定值為
24. 已知橢圓的離心率為，且焦距為8．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線l的傾斜角為，且與C交于A，B兩點(diǎn)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由橢圓的離心率，焦距，再結(jié)合，即可求出C的方程；
（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離求出，即可求出面積的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式即可求出的面積有最大值.
【詳解】解：（1）依題意可知：，
解得：，
故C的方程為：；
（2）依題意可設(shè)直線l的方程為：，
聯(lián)立：，
整理得：，
則，
解得：，
設(shè)，，
則，，
原點(diǎn)到直線l的距離，
則的面積
，
當(dāng)且僅當(dāng)“”，即“”時(shí)，的面積有最大值，且最大值為．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解橢圓中的面積問(wèn)題時(shí)，一般需要聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式，求出弦長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線的距離求出高，即可求出結(jié)果.

相關(guān)試卷

河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（五）：

這是一份河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（五），共20頁(yè)。試卷主要包含了 直線傾斜角的取值范圍為等內(nèi)容，歡迎下載使用。

精品解析：河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（四）：

這是一份精品解析：河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（四），文件包含精品解析河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題四原卷版docx、精品解析河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題四解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共27頁(yè)， 歡迎下載使用。

精品解析：河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（一）：

這是一份精品解析：河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（一），文件包含精品解析河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題一原卷版docx、精品解析河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題一解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共26頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)模擬題三

河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)模擬題三
重慶市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（A卷）（Word版附解析）

重慶市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（A卷）（Word版附解析）
2023-2024學(xué)年河南省鄭州市第四高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案

2023-2024學(xué)年河南省鄭州市第四高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案
河南省鄭州市第四高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(無(wú)答案)

河南省鄭州市第四高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(無(wú)答案)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部