一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，當(dāng)時，當(dāng)時，
所以，
當(dāng)時，，其中，即，
所以，所以.
故選：D.
2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，求出復(fù)數(shù)z，可求.
【詳解】由題意得，所以，所以，
故，所以.
故選：B.
3．已知直線，直線，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)，推出，得到充分條件，再根據(jù)，求解,得到必要條件，推出結(jié)果.
【詳解】若，則，，易知，
所以“”是“”的充分條件；
若，則，且，所以，
所以“”也是“”的必要條件，
故“”是“”的充要條件.
故選：C
4．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求解值.
【詳解】.
故選:B
5．已知P為雙曲線右支上的一個動點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線的距離大于m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把所求問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的最小距離，結(jié)合漸近線和與之平行線間的距離公式可求.
【詳解】雙曲線C的漸近線方程為，
直線與其中一條漸近線平行，
二者之間的距離，且直線在直線的左邊，
由題意知點(diǎn)P到直線的距離大于，
所以，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
故選：C.
6．在平面直角坐標(biāo)系中，，，，動點(diǎn)P滿足，則的最大值是（ ）
A．6B．C．5D．
【答案】A
【分析】首先求出點(diǎn)P的軌跡方程，再根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出，再由幾何意義求出點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最大值即可.
【詳解】由，得動點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，其方程為，設(shè)，則，表示圓C上的點(diǎn)P到點(diǎn)的距離，所以.
故選：A.
7．已知棱長為4的正四面體，用所有與點(diǎn)A，B，C，D距離均相等的平面截該四面體，則所有截面的面積和為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】找到兩類截面，分別為一類是平面的一側(cè)是1個點(diǎn)，另外一側(cè)有3個點(diǎn)（如圖1），
此時截面過棱的中點(diǎn)，且與一個面平行；另外一類是平面的兩側(cè)各有2個頂點(diǎn)（如圖2），
因?yàn)檎拿骟w對棱垂直，分別計(jì)算出面積即可.
【詳解】與點(diǎn)A，B，C，D距離均相等的平面可分為兩類，
一類是平面的一側(cè)是1個點(diǎn)，另外一側(cè)有3個點(diǎn)（如圖1），
此時截面過棱的中點(diǎn)，且與一個面平行，
故截面三角形與平行的面（三角形）相似，相似比為，故其面積為，
這樣的截面共有4個，故這類截面的面積和為，
另外一類是平面的兩側(cè)各有2個頂點(diǎn)（如圖2），
因?yàn)檎拿骟w對棱垂直，易知四邊形PQMN是邊長為2的正方形，其面積為4，
這樣的截面共有3個，故這類截面的面積和為12，
故符合條件的截面的面積和為.
故選：A．
圖1 圖2
8．若為R上的奇函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則不等式的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)性，進(jìn)而得到為偶函數(shù)，從而得到不等式，求出答案.
【詳解】令，則，
由題意知當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增．
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
即為偶函數(shù)，所以原不等式變?yōu)椋裕?br>所以，解得或，
故原不等式的解集為.
故選：D．
二、多選題
9．已知曲線，則（ ）
A．E關(guān)于原點(diǎn)對稱B．E關(guān)于y軸對稱
C．E關(guān)于直線對稱D．為E的一個頂點(diǎn)
【答案】ACD
【分析】用軸對稱和點(diǎn)對稱的定義逐一判斷即可.
【詳解】A:用和替換方程中的x和y，化簡后方程不變，故曲線E關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A正確；
B：用替換方程中的x，方程變?yōu)?，與原方程不同，故E不關(guān)于y軸對稱，故B錯誤；
C：用y替換方程中的x，同時用x替換方程中的y，方程不變，故E關(guān)于直線對稱，故C正確；
D：用替換y，同時用替換x，方程不變，故E關(guān)于直線對稱，聯(lián)立解得或由頂點(diǎn)的定義知，為E的一個頂點(diǎn)，故D正確.
故選：ACD.
10．已知函數(shù)，，，，它們的最小正周期均為，的一個零點(diǎn)為，則（ ）
A．的最大值為2
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C．和在上均單調(diào)遞增
D．將圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象
【答案】BCD
【分析】先由題意求得與的解析式，再利用三角恒等變換化簡，從而判斷AB，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象變換判斷CD，由此得解.
【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，，故，所以?br>所以，
又的一個零點(diǎn)為，
所以，即，
又，，故，所以，
所以，，
所以
，
故，故A錯誤；
又，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱， B正確；
對于，由，得，
所以在上單調(diào)遞增，
對于，由，得，
所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
將的圖象向左平移個單位長度，
得，故D正確.
故選：BCD．
11．已知F為拋物線的焦點(diǎn)，，是C上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為x軸正半軸上一點(diǎn)，過B作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，的中點(diǎn)為E，則（ ）
A．若，則四邊形的周長為
B．若，則的面積為
C．若，則E到y(tǒng)軸的最短距離為3
D．若直線過點(diǎn)，則為定值
【答案】BD
【分析】對于A，由條件可得垂直于軸，然后可得四邊形的周長，對于B，由條件可得點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，即可得的面積，對于C，過A，E分別作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，根據(jù)拋物線的定義可得，得解；對于D，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理，代入所求式子化簡得解.
【詳解】對于A，由題意知|，且軸，由拋物線的定義知，故，
所以，所以，
所以四邊形的周長為，故A錯誤；
對于B，，則，所以，
所以，故B正確；
對于C，過A，E分別作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)直線過點(diǎn)F時等號成立，所以點(diǎn)E到y(tǒng)軸的最小距離為，
故C錯誤；
對于D，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，得，消去x并整理，得，
則，且，，故
，即為定值，故D正確.
故選：BD.
12．如圖，已知正三棱臺的上、下底面的邊長分別為4和6，側(cè)棱長為2，以點(diǎn)為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為曲線，為上一點(diǎn)，則（ ）
A．的最小值為
B．存在點(diǎn)，使得
C．存在點(diǎn)及上一點(diǎn)，使得
D．所有線段所形成的曲面的面積為
【答案】ACD
【分析】把棱臺補(bǔ)成棱錐畫出圖形，由于曲線為圓的一部分，先證明平面，可知為圓心，選項(xiàng)A可以根據(jù)點(diǎn)到圓的最短距離可得；選項(xiàng)B，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得；選項(xiàng)C，根據(jù)線線平行的判定可知；選項(xiàng)D根據(jù)扇形面積公式可得,
【詳解】
延長正三棱臺的三條側(cè)棱交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接交于，
則為的中點(diǎn)，由題意得，
所以，，所以，，
所以，
所以，所以，
所以，
由正三棱臺的性質(zhì)可得，，，
又平面，所以平面ADE，
又平面ADE，所以，
又，平面，所以平面.
又球A的半徑為，故在側(cè)面上的截面圓的半徑，
故曲線是以點(diǎn)為圓心，以2為半徑的兩段圓弧和（如圖所示，其中，為上到點(diǎn)距離為2點(diǎn)）．
，故的最小值為，故正確；
因?yàn)槠矫妫?，則在線段上，又在和上，
由圖知，二者無公共點(diǎn)，故不存在點(diǎn)，使得，故B錯誤；
當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時，AP∥平面，過點(diǎn)，，作平面必與有公共點(diǎn)，
故存在以及上的點(diǎn)，使得，故C正確；
易求得，所以和的長均為，所有線段所形成的曲
面的展開圖為兩個扇形，其面積和為，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題
13．已知平面向量滿足，，則 .
【答案】/0.25
【分析】利用模長公式，數(shù)量積的定義及運(yùn)算法則，求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?，又，所以?br>所以.
故答案為：.
14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】設(shè)，轉(zhuǎn)換為直線與圓有公共點(diǎn)即可.
【詳解】設(shè)，則，由題意知，直線與圓有公共點(diǎn)，
故，解得，故的取值范圍為.
故答案為：.
15．已知函數(shù)，若對不相等的正數(shù)，有成立，則的最小值為 .
【答案】
【分析】對于函數(shù)整理變形，再利用，可得，利用基本不等式求解最小值.
【詳解】，
由不相等的正實(shí)數(shù)，且，
則，
則，
因?yàn)椋?br>所以，
故，則，
又，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，
故的最小值為.
故答案為：
16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與C在第一、第三象限分別交于點(diǎn)A，B，若，則C的離心率的取值范圍是 .
【答案】
【分析】設(shè)，，由圓和橢圓的性質(zhì)和已知條件可得，，，則有，通過構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求出值域，得的取值范圍，可求離心率的取值范圍.
【詳解】設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以.
又A，B均在以線段為直徑的圓上，所以四邊形為矩形，即．
因?yàn)椋?，?
因?yàn)?，，所以，?
因?yàn)?，設(shè)，，則，.
對勾函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即.
當(dāng)時，解得，即，解得；
當(dāng)時，解得，即，即，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．
四、解答題
17．如圖，在中，，，過B，C分別作AB，AC的垂線交于點(diǎn)D.
(1)若，求；
(2)若，求CD.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1），由得，在和中，由余弦定理表示，結(jié)合，可求；
（2）時，由余弦定理求出，在中由正弦定理得，又，可得和，在中正弦定理求.
【詳解】（1）由題意，得，所以，
，，，由得.
在中，由余弦定理，得，
即，
在中，由余弦定理，得，
即，
兩式聯(lián)立消去，得，所以.
（2）因?yàn)?，，所以?br>在中由余弦定理，，得.
在中，由正弦定理，得，所以，
又，所以，
所以，
在中，，所以.
18．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，的前n項(xiàng)和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由得，所以是等差數(shù)列，求得及；
（2）用裂項(xiàng)求和求得，數(shù)列單調(diào)遞增求得范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時，，由知，所以.
當(dāng)時，，代入，得，
兩邊同除以，得，
所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，所以.
又，所以.
（2）證明：由（1）得，
當(dāng)時，
，
而當(dāng)，2時，，也滿足上式，所以.
因?yàn)?，，所以?br>易知數(shù)列單調(diào)遞增，所以，
所以.
19．已知動點(diǎn)P到點(diǎn)的距離是到直線的距離的倍，記動點(diǎn)P的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)能否作一條直線l，使得l與交于B，C兩點(diǎn)，且A是線段BC的中點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)不存在過點(diǎn)A的直線滿足條件，理由見解析
【分析】（1）設(shè)，由已知條件列等式求軌跡方程；
（2）假設(shè)直線存在，利用點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題.
【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以?br>點(diǎn)P到直線的距離，
由題意知，即，
化簡，得，即的方程為.
（2）假設(shè)存在直線滿足條件，設(shè)，，則
，，
所以，即，
因?yàn)锳為線段BC的中點(diǎn)，所以，，即，，
所以，所以，即l的斜率為4，
所以直線l的方程為，即.
聯(lián)立方程，得，消去y并整理得，
，
所以直線l與無公共點(diǎn)，這與直線l與交于B，C兩點(diǎn)矛盾，
故不存在過點(diǎn)A的直線滿足條件.
20．如圖，在三棱柱中，，，D，E分別是CB，CA的中點(diǎn)，.
(1)若平面平面，求點(diǎn)到平面ABC的距離；
(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)點(diǎn)距離公式可得點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)面面垂直得法向量垂直，即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，根據(jù)線面垂直即可求解距離，
（2）根據(jù)法向量的夾角即可求解.
【詳解】（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，因?yàn)?，，?br>所以，則，，，.
設(shè)平面的一個法向量，則，即
令，則，，所以，
設(shè)平面的一個法向量，則，即令，則，，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫妫裕?br>所以，即，所以，
所以，所以點(diǎn)在z軸上，即平面ABC，
因?yàn)槠矫鍭BC，所以，
又，，所以，
故到平面ABC的距離為.
（2）由（1）知，由，則，
因?yàn)?，所以?br>所以，，所以.
由（1）知平面的一個法向量，平面的一個法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
即平面與平面的夾角的余弦值為.
21．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，存在，使得，求M的最大值；
(2)已知m，n是的兩個零點(diǎn)，記為的導(dǎo)函數(shù)，若，且，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，求出最值，得到，求出答案；
（2）根據(jù)零點(diǎn)得到方程組，相減求出，求導(dǎo)得到，化簡換元后得到只需證，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，證明出結(jié)論/
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則的定義域?yàn)?，且?br>當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以在上的最大值為，最小值為，
由題意知，
故M的最大值為.
（2）證明：由題意知，，
所以，
所以.
因?yàn)椋?br>所以
，
所以要證，只要證，
因?yàn)?，所以只要證，
令，則，即證，
令，則，
因?yàn)椋裕?br>所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以.
【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題，經(jīng)常使用的方法有：比值代換，構(gòu)造差函數(shù)，對數(shù)平均不等式，變更結(jié)論等，若不等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，再利用導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求解.
22．已知橢圓的長軸長為，離心率為，斜率為k的直線l與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)A，B.
(1)求的方程；
(2)若直線l的方程為，點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)N（與M不重合）在橢圓上，求t的值；
(3)設(shè)，直線PA與橢圓的另一個交點(diǎn)為C，直線PB與橢圓的另一個交點(diǎn)為D，若點(diǎn)C，D和點(diǎn)三點(diǎn)共線，求k的值.
【答案】(1)
(2)
(3).
【分析】（1）根據(jù)長軸，離心率及求出橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為，列出方程組，求出，代入橢圓方程，求出值，舍去不合要求的值；
（3）設(shè)和直線PA的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，同理設(shè)，得到，根據(jù)三點(diǎn)共線得到方程，求出答案.
【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，
因?yàn)闄E圓的長軸長為，離心率為，
所以，，所以，
所以.
故橢圓的方程為.
（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為，
則，解得，則，
由N在橢圓P上，可得，
整理得，解得或.
當(dāng)時，點(diǎn)與點(diǎn)M重合，舍去，
當(dāng)時，點(diǎn)，滿足要求.
（3）設(shè)，，，，則，.
又，設(shè)PA的斜率為，則，直線PA的方程為，
由消去y并整理得，
則，所以.
又，所以，
所以，則，
同理可求得.又，
則，
.
由點(diǎn)C，D和點(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，
則，
可得，則.
【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，處理三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共圓，或兩直線傾斜角互補(bǔ)或相等問題時，往往會轉(zhuǎn)化為斜率之和為0或斜率相等或轉(zhuǎn)化為向量來進(jìn)行解決，進(jìn)而列出方程，代入計(jì)算即可.

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