一、單選題
1．已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與模的公式即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所?
故選：A.
2．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次不等式結(jié)合對(duì)數(shù)求集合A，進(jìn)而結(jié)合交集的意義分析求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>令，且，解得，此時(shí)
所以.
故選：D
3．古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的直徑（D）的立方成正比”， 即，但歐幾里得未給出常數(shù)k的值. 現(xiàn)算出 k 的值，進(jìn)而可得（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)球的體積公式分析求解.
【詳解】因?yàn)椋淼茫?br>所以.
故選：D.
4．定義域?yàn)镽的函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)， 恒成立，設(shè) 則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題設(shè)可知函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合對(duì)稱性即可比較大小.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱，
所以，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋裕?br>所以.
故選：B
5．已知直線過(guò)點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)B在第一象限， 點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn). 若三角形OAB為鈍角三角形時(shí)，則直線的斜率的范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】找到三個(gè)極端位置的斜率值，并旋轉(zhuǎn)相關(guān)直線得到斜率范圍.
【詳解】當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，或，
此時(shí)的斜率或0.
當(dāng)從順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到軸之間時(shí)，三角形為鈍角三角形，此時(shí)；
當(dāng)從逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與直線平行之間時(shí)，三角形為鈍角三角形，此時(shí)，
綜上，，
故選：C.
故選：C.
6．在三棱錐中，，平面， D為BC 的中點(diǎn)且 當(dāng)為正三角形時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)球心與正三角形中心連線垂直于平面，結(jié)合線面垂直性質(zhì)確定球心位置，然后利用已知求出半徑即可得表面積.
【詳解】記球心為，正的中心為，的中點(diǎn)為E，
由正和球的性質(zhì)可知，平面，
因?yàn)槠矫?，平面，所以，?br>因?yàn)?，所以?br>所以，在平面中，，所以為矩形，
所以，
又，所以，
所以，
所以三棱錐外接球的表面積為.
故選：B
7．若關(guān)于 x 的方程 在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，， 則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用輔助角公式得，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出，代入計(jì)算即可.
【詳解】關(guān)于的方程，則，
當(dāng)，所以或，則或.
設(shè)，所以，則，
故選：A.
8．已知數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 ，不等式 對(duì)任意恒成立， 則實(shí)數(shù)m的最大值為（ ）
A．4B．6C．8D．2
【答案】B
【分析】利用的遞推公式，利用構(gòu)造法求通項(xiàng)公式，然后將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值問(wèn)題，然后分離常數(shù)，利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，整理得，
又得，，
所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，故，，
所以，
即，
因?yàn)椋?br>令，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
又，所以或時(shí)，，所以
所以，，解得.
所以實(shí)數(shù)m的最大值為6.
故選：B
二、多選題
9．小明參加唱歌比賽， 現(xiàn)場(chǎng)8位評(píng)委給分分別為: 15， 16， 18， 20， 20， 22， 24， 25.按比賽規(guī)則，計(jì)算選手最后得分成績(jī)時(shí)，要先去掉評(píng)委給分中的最高分和最低分. 現(xiàn)去掉這組得分中的最高分和最低分后，下列數(shù)字特征的值不會(huì)發(fā)生變化的是（ ）
A．平均數(shù)B．極差C．中位數(shù)D．眾數(shù)
【答案】ACD
【分析】根據(jù)給定的條件，利用平均數(shù)、極差、中位數(shù)、眾數(shù)的意義逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，去掉最高分和最低分之前，8個(gè)數(shù)據(jù)的平均分為，
去掉最高分和最低分之后， 6個(gè)數(shù)據(jù)的平均分為，A正確；
對(duì)于B，去掉最高分和最低分之前，8個(gè)數(shù)據(jù)的極差為10，去掉最高分和最低分之后，6 個(gè)數(shù)據(jù)的極差為8，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，去掉最高分和最低分之前，8個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為20，去掉最高分和最低分之后，6 個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為20，C正確；
對(duì)于D，去掉最高分和最低分之前，8個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)為20，去掉最高分和最低分之后，6 個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)為20，D正確.
故選：ACD
10．設(shè)拋物線C: 的焦點(diǎn)為F， 準(zhǔn)線為. 點(diǎn)A，B是拋物線C上不同的兩點(diǎn)，且，則（ ）
A． B．以線段為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切
C．線段的長(zhǎng)為定值D．線段的中點(diǎn) E 到準(zhǔn)線的距離為定值
【答案】AD
【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線的方程，令，由已知結(jié)合拋物線的定義可得，計(jì)算判斷AD；舉例說(shuō)明判斷BC.
【詳解】依題意，拋物線的焦點(diǎn)，方程為，則，A正確；
令，顯然，即，
取，則，即點(diǎn)，此時(shí)，
以線段為直徑的圓的圓心為，該圓心到準(zhǔn)線的距離為4，不等于圓半徑，
因此該圓與準(zhǔn)線不相切，B錯(cuò)誤；
以點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長(zhǎng)，當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，，
此時(shí)，C錯(cuò)誤；
線段的中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)E到準(zhǔn)線的距離為，D正確.
故選：AD
11．已知向量滿足，設(shè)，則（）
A．B．在方向上的投影向量為
C．的最小值為D．無(wú)最大值
【答案】BCD
【分析】對(duì)于AB，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得解；對(duì)于CD，利用向量的幾何意義建立直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上點(diǎn)到直線的距離的問(wèn)題，從而得解.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，?br>所以，即，
即，則，故A錯(cuò)誤；
又，，所以，
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>所以在方向上的投影向量為，故B正確；
對(duì)于CD，建立直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)，
因?yàn)?，所以，整理得?br>即點(diǎn)的軌跡是：圓心為，半徑為2的圓，
則，則點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，
則，無(wú)最大值，故CD正確.
故選：BCD.
12．已知正方體的棱長(zhǎng)為，是空間中的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若點(diǎn)在正方形內(nèi)部，異面直線與OB所成角為θ，則θ的取值范圍為
B．若點(diǎn)在正方形內(nèi)部，且則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
C．若，則的最小值為
D．若，平面 截正方體 所得截面面積的最大值為
【答案】AC
【分析】選項(xiàng)A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角求解線線角及范圍；選項(xiàng)B，利用垂直關(guān)系，將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得到點(diǎn)軌跡；選項(xiàng)C，由向量關(guān)系得動(dòng)點(diǎn)的位置，利用展開圖將空間折線段之和最小值轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩點(diǎn)之間距離最短求解即可；選項(xiàng)D，由向量關(guān)系得三點(diǎn)共線，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，利用特殊位置求解截面面積大于，故排除.
【詳解】選項(xiàng)A，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，
則
，因?yàn)椋?br>所以，，
故，則θ的取值范圍為，故A正確；
選項(xiàng)B，由在正方形內(nèi)部，且，連接，，
由平面，則，
在中，，則，
又點(diǎn)O 在正方形內(nèi)部，
故點(diǎn)的軌跡以為圓心，為半徑的四分之一圓弧，
所以點(diǎn)O軌跡的長(zhǎng)度為，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，如圖，取的靠近的四等分點(diǎn)，的靠近的四等分點(diǎn)，
連接，所以，
則四邊形是平行四邊形，所以，
由，則，
即，則，故點(diǎn)在線段上，
又，四邊形為平行四邊形，
又平面，則平面，則，
四邊形為矩形，且，
將矩形沿展開至與矩形共面，如圖，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，故C項(xiàng)正確；
選項(xiàng)D，由，
得，則有，
故點(diǎn)在線段上，
如圖，連接，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，由
故四邊形是平行四邊形，
則四點(diǎn)共面，即四點(diǎn)共面，
則此時(shí)平面 截正方體 所得截面即為平行四邊形，
又，則截面面積為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題
13．已知兩個(gè)等差數(shù)列， 的前n項(xiàng)和分別為， . 若 則 .
【答案】2
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即得.
【詳解】等差數(shù)列， 的前n項(xiàng)和分別為，，，
所以.
故答案為：2
14．在三棱臺(tái)中，已知平面， ， 則該三棱臺(tái)的體積為 .
【答案】/
【分析】取的中點(diǎn)，證得平面，得到，求得，即棱臺(tái)的高為，再由棱臺(tái)的體積公式，即可求解.
【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，所以且?br>可得四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫?，可得平面?br>又因?yàn)槠矫妫裕?br>在直角中，由，可得，即棱臺(tái)的高為，
因?yàn)?，可得，且?br>所以的面積為，的面積為，
則棱臺(tái)的體積為.
故答案為：.
15．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足 ，若直線l過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)M的軌跡相切，則直線l的方程為 .
【答案】或.
【分析】消去參數(shù)可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，然后根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程求出斜率，即可的直線方程.
【詳解】由消去得，
所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，
由題意直線斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，即，
由題知，，解得，
所以，直線l的方程為或.
故答案為：或
16．若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意整理得，令，可知，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)分析可得，進(jìn)一步整理得對(duì)任意的恒成立，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求其最值結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解.
【詳解】因?yàn)?，則，整理得，
令，可得，即，
令，則，
令，解得；令，解得；
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，且，
可知有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
若，則或，
對(duì)于可知，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于0，故不合題意；
所以，即，整理得對(duì)任意的恒成立，
令，則，
且，令，解得；令，解得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
可得，結(jié)合解得，
所以實(shí)數(shù)m的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第一步同構(gòu)將原式整理得，把看成整體處理求其取值范圍；
第二步根據(jù)題意分析可得，整理得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解.
四、解答題
17．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且滿足
(1)求角C的大小；
(2)若，點(diǎn)D為AB 的中點(diǎn)，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意利用正余弦定理邊角轉(zhuǎn)化分析求解；
（2）根據(jù)（1）中關(guān)系可得，進(jìn)而可知，利用兩角和差公式運(yùn)算求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得?br>整理得，
由余弦定理可得，
且，所以.
（2）由（1）可得：，則，即，
可知，即，可得，，
所以.
18．如圖， 在四棱錐中， 四邊形ABCD是直角梯形，平面ABCD，，∥， ，點(diǎn) E 是 PB 的中點(diǎn).
(1)證明: 平面平面 PBC；
(2)若平面 PAD 與平面 ABCD 所成銳二面角的正切值為2，求直線PD 與平面ACE 所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意證明平面 PAC，進(jìn)而可得面面垂直；
（2）建系，設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合面面夾角求得，進(jìn)而利用空間向量求線面夾角.
【詳解】（1）不妨設(shè)，則，可得，
即，可得，
又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，則，
且，平面 PAC，可得平面 PAC，
且平面 PBC，所以平面平面 PBC.
（2）取的中點(diǎn)，可知，
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
由題意可知：平面的法向量，
設(shè)平面 PAD 與平面 ABCD 所成銳二面角為，則，
由，解得（舍負(fù)），
則，解得，
則，可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
則，
所以直線PD 與平面ACE 所成角的正弦值.
19．已知遞增等比數(shù)列中，，成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
(2)若設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得的最小正整數(shù)n的值.
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列通式和等差中項(xiàng)的應(yīng)用求出值，再求出，最后利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可；
（2），利用錯(cuò)位相減法即可得到，根據(jù)其單調(diào)性即可得到答案.
【詳解】（1）由題，即，因?yàn)椋?br>所以，解得或1，
又因?yàn)榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列，
所以，所以公比，所以，
.
（2），
，
，
作差:，
所以，由，所以為單調(diào)遞增數(shù)列.
又，
所以的最小值為8.
20．已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)， 求的極值；
(2)若曲線與曲線存在2 條公切線， 求a的取值范圍.
【答案】(1)極大值為，無(wú)極小值；
(2).
【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性求出極值.
（2）設(shè)出公切線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程，與方程聯(lián)立，借助判別式建立關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)解求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，顯然，
求導(dǎo)得，由，得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以在取得極大值，無(wú)極小值.
（2）設(shè)曲線上切點(diǎn)，則切線斜率為，方程為，
依題意，切線與曲線相切，于是方程有兩個(gè)相等的正實(shí)根，
而，則，且，即有，
由公切線有兩條，得關(guān)于的方程:有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
令，則與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由，求導(dǎo)得，由，得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因此，函數(shù)的圖象如圖，
觀察圖象知，當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以a的取值范圍是.
21．重慶南山風(fēng)景秀麗，可以俯瞰渝中半島，是徒步休閑的好去處. 上南山的步道很多，目前有標(biāo)識(shí)的步道共有 18條. 某徒步愛好者俱樂(lè)部發(fā)起一項(xiàng)活動(dòng)，若挑戰(zhàn)者連續(xù)12天每天完成一次徒步上南山(每天多次上山按一次計(jì)算) 運(yùn)動(dòng)，即可獲得活動(dòng)大禮包. 已知挑戰(zhàn)者甲從11月1號(hào)起連續(xù)12天都徒步上南山一次，每次只在涼水井步道和清水溪步道中選一條上山. 甲第一次選涼水井步道上山的概率為 而前一次選擇了涼水井步道，后一次繼續(xù)選擇涼水井步道的概率為 前一次選擇清水溪步道，后一次繼續(xù)選擇清水溪步道的概率為 ，如此往復(fù). 設(shè)甲第n(n=1，2，…， 12)天走涼水井步道上山的概率為 .
(1)求 和；
(2)求甲在這12 天中選擇走涼水井步道上山的概率小于選擇清水溪步道上山概率的天數(shù).
【答案】(1)，；
(2)11天.
【分析】（1）利用互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式列式計(jì)算，結(jié)合構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)求解.
（2）利用（1）的結(jié)論，解不等式即可.
【詳解】（1）甲第二天走涼水井步道上山的概率為，依題意，；
由題意得，
整理得，而，
因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）由題意知，選擇走涼水井步道上山的概率小于走清水溪步道上山概率只需，
即，有，即，
當(dāng)為偶數(shù)，恒成立；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有即可，而當(dāng)時(shí)，，顯然不成立；
當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)成立，又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)成立，
因此有11天符合要求，
所以甲在這12 天中選擇走涼水井步道上山的概率小于選擇清水溪步道上山概率的天數(shù)是11天.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.
22．已知點(diǎn)是橢圓E: 上的動(dòng)點(diǎn)，離心率設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，且
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，問(wèn)面積是否存在最大值，若存在，求出最大值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，最大值為.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出，求出橢圓E的方程.
（2）由（1）求出，設(shè)出直線的方程，分別與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及三角形面積公式，將的面積表示為的函數(shù)，再探討函數(shù)最大值即得.
【詳解】（1）由，得，解得，由離心率，得，解得，
所以的方程為.
（2）由（1）知，，顯然直線和直線都不垂直于y軸，
設(shè)直線和直線的方程為，設(shè)，
由消去x得，則，
同理得，顯然，
則，即有，即；
同理得，即，
由橢圓對(duì)稱性，不妨設(shè)，
于是，
因此
，而，
于是，
設(shè)，下面證明，
只證，即證，
即證明，即，
因?yàn)榉匠痰呐袆e式小于0，則恒成立，
因此恒成立，即，
所以面積的最大值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．

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