一、單選題
1．已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于a，點E、F分別是、的中點，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的線性運算運算律可得，在根據(jù)數(shù)量積的定義求其值.
【詳解】由題意，和之間夾角均為，結(jié)合平面向量線性運算有

故選：C
2．若直線與圓有公共點，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因為直線與圓有公共點，
則圓心到直線的距離小于等于半徑可知，
故選D
3．圓和圓的公切線的條數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓的一般式判斷圓心與半徑，利用幾何法判斷兩圓位置關(guān)系，進而確定公切線的數(shù)量.
【詳解】兩個圓與，
圓圓心為，半徑為，圓圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，
，
兩圓相交，有條公切線.
故選：B.
4．若直線過點P（﹣3，﹣），且被圓x2+y2=25截得的弦長是8，則這條直線的方程是
A．3x+4y+15=0B．x=﹣3或y=﹣
C．x=﹣3D．x=﹣3或3x+4y+15=0
【答案】D
【詳解】試題分析：根據(jù)垂徑定理及勾股定理，由圓的半徑和截得的弦長的一半求出弦心距，即圓心到直線的距離等于所求的弦心距，分斜率存在和不存在兩種情況：當斜率存在時，設(shè)直線的斜率為k，根據(jù)P的坐標寫出直線的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于求出的弦心距列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，確定出所求直線的方程；當斜率不存在時，因為圓心到直線x=﹣3的距離等于弦心距3，顯然直線x=﹣3滿足題意，綜上，得到滿足題意的兩直線的方程．
解：由圓的方程x2+y2=25，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=5，
又直線被圓截得的弦長為8，根據(jù)垂徑定理得到圓心到直線的距離即弦心距為=3，
當所求直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：y+=k（x+3）即kx﹣y+3k﹣=0，
所以圓心到直線的距離d==3，
化簡得：9k=﹣9即k=﹣，所以所求直線的方程為：3x+4y+15=0；
當所求直線的斜率不存在時，顯然所求直線的方程為：x=﹣3，
綜上，滿足題意的直線方程為x=﹣3或3x+4y+15=0．
故選D
【解析】直線的一般式方程；直線與圓相交的性質(zhì)．
5．若兩條直線與互相垂直，則的值等于（ ）
A．B．或C．或或D．
【答案】C
【分析】根據(jù)即可得結(jié)果.
【詳解】由兩條直線垂直知，
即，
即，
解得，，．
故選：．
6．作直線與圓相切且在兩軸上的截距相等，這樣的直線有（ ）
A．4條B．3條C．2條D．1條
【答案】A
【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，討論直線截距為零和截距不為零，結(jié)合相切關(guān)系及點線距離公式分別求出對應(yīng)切線方程即可.
【詳解】化簡圓為：，
圓心，半徑，
若截距為0，設(shè)，則，
解得：或，
若截距不為0，設(shè)，則，
綜上，共有4條件滿足條件的直線l.
故選：A.
7．已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點P(4，2)，則以P為中點的弦所在直線的斜率為( )
A．－B．C．－2D．2
【答案】A
【分析】由于是弦的中點，根據(jù)點差法求出弦所在直線的斜率.
【詳解】設(shè)以為中點的弦的兩個端點分別為，
所以由中點坐標公式可得，
把兩點坐標代入橢圓方程得
兩式相減可得
所以，即所求的直線的斜率為.
故選A項.
【點睛】本題考查通過點差法求弦中點所在直線的斜率，屬于中檔題.
8．過橢圓的一個焦點作弦，若，，則的數(shù)值為（ ）
A．B．C．D．與弦斜率有關(guān)
【答案】B
【分析】利用橢圓的焦半徑公式，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理，將式子化簡整理可得．
【詳解】令，設(shè)，，
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
由，解得，則，所以；
當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
由，整理得：，
所以，，
又，，所以，
綜上，.
故選：B.
9．橢圓的兩焦點為，，以為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)橢圓與正三角形另兩條邊的交點分別是A，B，易得，，由此建立a，c的齊次式，進而可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)橢圓與正三角形另兩條邊的交點分別是A，B，
易得，，
∴，∴，
∴，
故選：D.
10．設(shè)橢圓的方程為，斜率為的直線不經(jīng)過原點，且與橢圓相交于，兩點，為線段的中點.下列說法正確的個數(shù)（ ）
①直線與垂直
②若點的坐標為，則直線方程為
③若直線方程為，則點的坐標為
④若直線方程為，則
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】設(shè)，利用點差法可得，判斷①錯誤；利用點差法的結(jié)論可以求出直線方程，進而判斷②正確；利用點差法的結(jié)論可以求出，判斷③錯誤；結(jié)合弦長的求解方法求出，判斷④正確；
【詳解】不妨設(shè)坐標為，則，兩式作差可得：
，設(shè)，則.
對①：，故直線不垂直，則①錯誤；
對②：：若點M坐標為,則，則，
又過點，則直線的方程為，即，故②正確.
對③：若直線方程為，故可得，即，又，
解得，即，故③錯誤；
對④：若直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，
可得：，解得，故，
則，故④正確；
故選：C.
二、填空題
11．直線與曲線有兩個公共點，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】首先確定直線和曲線的圖形特征，然后考查臨界值即可確定實數(shù)的取值范圍．
【詳解】解：如圖所示，是一個以原點為圓心，長度為半徑的半圓，
是一個斜率為的直線，
要使兩圖有兩個交點，連接和，直線必在以上的半圓內(nèi)平移，直到直線與半圓相切，則可求出兩個臨界位置直線的值，
當直線與重合時，；
當直線與半圓相切時，
圓心到的距離，
即，解得：或（舍去）．
所以的取值范圍是．
故答案為：

12．若圓上恰有相異兩點到直線的距離等于1，則r的取值范圍是
【答案】
【分析】利用圓的性質(zhì)，結(jié)合點到直線的距離公式進行求解即可.
【詳解】該圓的圓心到直線的距離為，
因為圓上恰有相異兩點到直線的距離等于1，
所以有，
故答案為：
13．已知P是直線上的動點，是圓的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為 ．
【答案】
【分析】確定圓心為，半徑，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為，計算點到直線的距離得到答案.
【詳解】，即，圓心為，半徑，
，即最小時，面積最小.
，故四邊形面積的最小值為.
故答案為：
14．已知橢圓（）的離心率為，短軸長為2，點P為橢圓上任意一點，則的最小值是 .
【答案】
【分析】根據(jù)離心率以及短軸長，求得，再利用均值不等式，即可求得和的最小值.
【詳解】據(jù)題意，，解得，，于是，
所以
，
當且僅當，即，時等號成立.
故答案為：.
【點睛】本題考查橢圓中的最值，涉及橢圓定義以及均值不等式的使用，屬綜合中檔題.
15．已知橢圓：（）的左焦點為，經(jīng)過原點的直線與交于，兩點，總有，則橢圓離心率的取值范圍為 .
【答案】
【分析】設(shè)橢圓右焦點為，由對稱性知，，從而有，設(shè)，，由橢圓定義結(jié)合基本不等式得，在焦點三角形中應(yīng)用余弦定理，代入，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)可得離心率的范圍．
【詳解】如圖，設(shè)橢圓右焦點為，由對稱性知是平行四邊形，，
∵，∴，
設(shè)，，由橢圓定義知，則，當且僅當時等號成立，
在中，由余弦定理得，
又，，∴，解得．
故答案為：．
【點睛】本題考查求橢圓離心率的范圍，解題關(guān)鍵是把已知條件轉(zhuǎn)化為焦點中，，然后橢圓定義，余弦定理，基本不等式求得結(jié)論．
三、解答題
16．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，是棱PD的中點，且，．
（I）求證：； （Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）若是上一點，且直線與平面成角的正弦值為，求的值．
【答案】（I）見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）1．
【詳解】試題分析：(I)，，所以平面PAC；(II)建立空間直角坐標系，求出兩個法向量，平面MAB的法向量，是平面ABC的一個法向量，求出二面角；(III)設(shè)，平面MAB的法向量，解得答案．
試題解析：
證明：(I)連結(jié)AC．因為為在中，
，，
所以，所以．
因為AB//CD，所以．
又因為地面ABCD，所以．因為，
所以平面PAC．
(II)如圖建立空間直角坐標系，則．
因為M是棱PD的中點，所以．
所以，． 設(shè)為平面MAB的法向量，
所以，即，令，則，
所以平面MAB的法向量．因為平面ABCD，
所以是平面ABC的一個法向量．
所以．因為二面角為銳二面角，
所以二面角的大小為．
(III)因為N是棱AB上一點，所以設(shè)，．
設(shè)直線CN與平面MAB所成角為，
因為平面MAB的法向量，
所以．
解得，即，，所以．
四、未知
17．從圓外一點向圓作切線，為切點，且（為原點），求的最小值以及此刻點的坐標.
【答案】，.
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓的切線性質(zhì)求出的關(guān)系，再借助二次函數(shù)求解即可.
【詳解】圓：的圓心，半徑，
如圖，連結(jié)、，則，
由，得，整理得，即，
顯然點到直線的距離，即點在圓外，
因此，當且僅當時取等號，
所以的最小值為，此時點的坐標是.
五、解答題
18．已知橢圓的一個焦點為，上頂點為，原點O到直線的距離為.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若點T在圓上，點A為橢圓的右頂點，是否存在過點A的直線l交橢圓C于點B（異于點A），使得成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】(1) (2) 存在滿足條件的直線，其方程為.
【分析】（1）根據(jù)條件列方程組，解得即可，（2）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達定理解得B點坐標，再根據(jù)條件得T點坐標，代入圓方程，解得直線斜率，即得結(jié)果.
【詳解】解：（1）由橢圓的一個焦點為知:，即.①.
又因為直線的方程為，即，所以.
由①解得.
故所求橢圓的標準方程為.
（2）假設(shè)存在過點的直線適合題意，則結(jié)合圖形易判斷知直線的斜率必存在，
于是可設(shè)直線的方程為，
由，得.（*）
因為點是直線與橢圓的一個交點，且
所以，所以，
即點.
所以，即.
因為點在圓上，所以，
化簡得，解得，所以.
經(jīng)檢驗知，此時（*）對應(yīng)的判別式，滿足題意.
故存在滿足條件的直線，其方程為.
【點睛】本題考查橢圓標準方程以及直線與橢圓位置關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

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