2023-2024學(xué)年四川省德陽市什邡中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的四則運算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.
【詳解】由，得，
則，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第一象限．
故選：A．
2. 在△ABC中，，，，則（）
A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用余弦定理直接求解即可.
【詳解】因為△ABC中，，，，
所以由余弦定理知，，即，
化簡整理得，
解得或（舍去）.
故選：C
3. 已知點和點，則以線段為直徑的圓的標準方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求圓心與半徑可得標準方程.
【詳解】因為點和點為直徑端點，
所以中點，即為圓心，
由，
則圓的半徑，
故圓的標準方程為.
故選：C.
4. 國家射擊運動員甲在某次訓(xùn)練中10次射擊成績單位：環(huán)，6，9，7，4，8，9，10，7，5，則這組數(shù)據(jù)第70百分位數(shù)為（）
A. 7B. 8C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】由百分位數(shù)的概念和計算公式可直接求解.
【詳解】將10次射擊成績按照從小到大順序排序為：4，5，6，7，7，7，8，9，9，10，
因為，所以第70百分位數(shù)為，
故選：.
5. 若，，直線與直線互相垂直，則ab的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)兩直線垂直得到a和b之間的關(guān)系：；再利用基本不等式即可求出ab的最大值.
【詳解】由直線與直線互相垂直，
所以，即.
又，，所以，
當且僅當，即，時等號成立，
所以ab的最大值為．
故選：C．
6. 過原點的直線與雙曲線交于A，B兩點，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點F，若△ABF的面積為，則雙曲線的漸近線方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得四邊形為矩形，設(shè)，，根據(jù)雙曲線定義和△ABF的面積可得，故可求的值.
【詳解】如圖，因為以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點F，
所以AB為直徑的圓的方程為，圓也過左焦點，
所以AB與相等且平分，所以四邊形為矩形，
所以．設(shè)，，則，
所以．因為，所以．
因為△ABF的面積為，所以，得，所以，
得，所以，所以，得，
所以雙曲線的漸近線方程為．
故選：D．

7. 已知O為坐標原點，P是橢圓E：上位于x軸上方的點，F(xiàn)為右焦點.延長PO，PF交橢圓E于Q，R兩點，，，則橢圓E的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由橢圓的對稱性，及，得四邊形為矩形，設(shè)，利用橢圓的定義，及條件所給出的長度關(guān)系，可表示出，，，利用勾股定理，求出m，推斷出點P的位置，求出離心率.
【詳解】
如圖，設(shè)左焦點為，連接，，，
由題，，關(guān)于原點對稱，所以四邊形為平行四邊形，
又因為，所以四邊形為矩形.
設(shè)，則，
又因為，則，，，
在中，，即，
解得或（舍去），故點P為橢圓的上頂點.
由，所以，即，所以離心率.
故選：B.
【點睛】解題時注意數(shù)形結(jié)合，抓住橢圓的對稱性，將圖形關(guān)系用含a，b，c的代數(shù)式表示出來，即可求解離心率.
8. 在矩形中，，將沿對角線翻折至的位置，使得平面平面，則在三棱錐的外接球中，以為直徑的截面到球心的距離為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如圖，取的中點為，連接，過作，垂足為，連接，可證為三棱錐的外接球的球心，利用解直角三角形可求，據(jù)此可求球心到以為直徑的截面的距離.
【詳解】如圖，取的中點為，連接，過作，垂足為，連接.
因三角形為直角三角形，故，
同理，故，
所以為三棱錐的外接球的球心，而，

因為，平面，平面平面，
平面平面，故平面，
而平面，故.
在直角三角形中，，故，
故，
在直角三角形中，，
故，故.
設(shè)球心到以為直徑的截面的距離為，
則，
故選：B.
【點睛】思路點睛：三棱錐外接球的球心，可根據(jù)球心的定義來判斷（即球心到各頂點的距離相等），而球面截面圓的半徑、球心到截面的距離、球的半徑可構(gòu)成直角三角形.
二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）
9. 圓和圓的交點為，，則有（）
A. 公共弦所在直線方程為
B. 線段中垂線方程為
C. 公共弦的長為
D. 為圓上一動點，則到直線距離的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】兩圓方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A；求出垂直平分線的方程判斷B；利用垂徑定理計算弦長判斷C；求出圓到直線的距離的最大值判斷D．
【詳解】圓的圓心，半徑，
的圓心，半徑，
顯然，即圓與圓相交，
對于A，將方程與相減，
得公共弦AB所在直線的方程為，即，A正確；
對于B，由選項A知，直線的斜率，則線段AB中垂線的斜率為，
而線段中垂線過點，于是線段AB中垂線方程為，即，B正確；
對于C，點到直線距離為，
因此，C錯誤；
對于D，P為圓上一動點，圓心到直線的距離為，
因此點P到直線AB距離的最大值為，D正確．
故選：ABD
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）

A.
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
C. 函數(shù)在的值域為
D. 要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由圖象信息求出表達式，從而即可判斷A；注意到是的對稱中心當且僅當，由此即可判斷B；直接由換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求值域?qū)Ρ燃纯膳袛郈；直接按題述方式平移函數(shù)圖象，求出新的函數(shù)解析式，對比即可判斷.
【詳解】如圖所示：

由圖可知，又，
所以，所以，
又函數(shù)圖象最高點為，
所以，即，
所以，解得，
由題意，所以只能，故A選項正確；
由A選項分析可知，而是的對稱中心當且僅當，
但，從而函數(shù)的圖象不關(guān)于對稱，故B選項錯誤；
當時，，，
而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當時，，
所以函數(shù)在值域為，故C選項正確；
若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，
則得到的新的函數(shù)解析式為，故D選項正確.
故選：ACD.
11. 如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，為的中點，，則（）

A. 平面B. 平面平面
C. 三棱錐的體積為D. 異面直線和所成的角的余弦值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】A項，通過證明線線平行即可得出結(jié)論；B項，通過證明平面，即可得出結(jié)論；C項，通過等積法即可求出三棱錐的體積；D項，將異面直線和所成的角轉(zhuǎn)化為同一個平面上兩條直線的夾角，即可求出異面直線和所成的角的余弦值.
【詳解】由題意，在四棱錐中，
連接交于點，連接，過點作于點，

在中，，點為中點，
在中，為中點，
∴∥,
∴異面直線和所成的角即為（或其補角），
∵面，平面，
∴平面，A正確；
在四棱錐中，平面，
又，
∴，
∵平面，平面，，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面，B正確；
在中，，，
∴∥，，
∴是等腰直角三角形，，
∵平面，
∴平面平面，
∵平面平面，平面，
∴平面.
∵為的中點，
∴三棱錐的體積為：
，C錯誤；
在Rt中，，
∴，
在Rt中，，
在Rt中，為的中點，
∴，
在Rt中，，D正確.
故選：ABD.
12. 已知雙曲線的左、右頂點分別為A，B，P是C上任意一點，則下列說法正確的是（）
A. C的漸近線方程為
B. 若直線與雙曲線C有交點，則
C. 點P到C的兩條漸近線的距離之積為
D. 當點P與A，B兩點不重合時，直線PA，PB的斜率之積為2
【答案】AC
【解析】
【分析】由雙曲線漸近線方程可判斷A，通過對比直線與雙曲線的漸近線斜率之間的關(guān)系可求解B，結(jié)合點到直線的距離公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，結(jié)合雙曲線方程化簡可得定值，則D可判斷.
【詳解】雙曲線，則，
對于A，C的漸近線方程為，A正確；
對于B，由雙曲線的漸近線方程為可知，
若直線與雙曲線C有交點，則，B錯誤；
對于C，設(shè)點，則，
點P到C的兩條漸近線的距離之積為，C正確；
對于D，易得，，設(shè)，則，
所以直線PA，PB的斜率之積為，D錯誤．
故選：AC.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知，則__________．
【答案】##
【解析】
【分析】首先求的值，再用表示齊次分式，即可求解.
【詳解】，
.
故答案為：
14. 已知，，直線過點且與線段相交，那么直線的斜率的取值范圍是__________________
【答案】
【解析】
【分析】畫出圖形，由題意得所求直線的斜率滿足或，用直線的斜率公式求出和的值，解不等式求出直線的斜率的取值范圍．
【詳解】如圖所示：

由題意得，所求直線的斜率滿足或，
即，或，或，
故答案為：．
15. 已知命題：，使得，若是真命題，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】分離變量可得，結(jié)合能成立的思想和二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.
【詳解】由得：；
，使得，；
為開口方向向上，對稱軸為的拋物線，
當時，，
的取值范圍為.
故答案為：.
16. 已知為單位向量，若，則的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由題設(shè)以為x、y軸構(gòu)建平面直角坐標系，，令結(jié)合已知有，又，將問題轉(zhuǎn)化為求點到上點距離的范圍，即可得結(jié)果.
【詳解】由為單位向量，且，故，
以為x、y軸構(gòu)建平面直角坐標系，如下圖示，則，
令，則，又，
所以，即，
故的終點在圓心為，半徑為1的圓上，
而，故，
所以，只需確定點到上點距離的范圍即可，而到的距離為，
故，則.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)建平面直角坐標系，將問題化為求定點到圓上點距離的范圍，進而求目標式的范圍.
四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17. 已知向量與的夾角為60°，＝1，．
（1）求及；
（2）求.
【答案】（1）2，1；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用模長坐標公式求，再由數(shù)量積的定義求；
（2）應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求即可.
【小問1詳解】
由題設(shè)，則
【小問2詳解】
由，
所以.
18. 夜幕降臨，華燈初上，豐富多元的夜間經(jīng)濟，通過夜間商業(yè)和市場，更好滿足了民眾個性化、多元化、便利化的消費需求，豐富了購物體驗和休閑業(yè)態(tài)．打造夜間經(jīng)濟，也是打造城市品牌、促進產(chǎn)業(yè)融合、推動消費升級的新引擎．為不斷創(chuàng)優(yōu)夜間經(jīng)濟發(fā)展環(huán)境，近朋，某市商務(wù)局對某熱門夜市開展“服務(wù)滿意度大調(diào)查”，隨機邀請了100名游客填寫調(diào)查問卷，對夜市服務(wù)評分，并繪制如下頻率分布直方圖，其中為非常不滿意，為不滿意，為一般，為基本滿意，為非常滿意，為完美．

（1）求的值及估計分位數(shù)：
（2）調(diào)查人員為了解游客對夜市服務(wù)的具體意見，對評分不足60分的調(diào)查問卷抽取2份進行細致分析，求恰好為非常不滿意和不滿意各一份的概率．
【答案】18. ；分位數(shù)為.
19.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1，求出；判斷出分位數(shù)所在區(qū)間，再設(shè)出分位數(shù)，列出方程即可求解；（2）列舉出基本事件的所有樣本點即所求事件樣本點，按古典概型即可求解.
【小問1詳解】
由，解得；
由低于90分的頻率為，則分位數(shù)在內(nèi)，
設(shè)樣板數(shù)據(jù)的分位數(shù)約為分，
則，解得,即分位數(shù)為.
【小問2詳解】
非常不滿意的游客有人，設(shè)編號為,
不滿意的游客有人，設(shè)編號為，
則基本事件的總數(shù)有：
工15種，
事件“恰好為非常不滿意和不滿意各一份”有：
工8種，
故.
19. 已知圓：，直線：，與圓相交于，兩點，．
（1）求實數(shù)的值；
（2）當時，求過點并與圓相切的直線方程．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圓的半徑以及直線與圓相交所得的弦長求解出圓心到直線的距離，由此列出關(guān)于的方程即可求解出結(jié)果；
（2）分別考慮直線的斜率存在與不存在兩種情況，直線斜率不存在時直接求解，直線斜率存在時利用圓心到直線的距離等于半徑進行求解.
【小問1詳解】
因為圓的半徑，，
所以圓心到直線的距離，
所以，所以，
所以或.
【小問2詳解】
因為，所以，
當直線的斜率不存在時，直線方程為，
圓心到的距離為，所以與圓相切；
當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，
因為直線與圓相切，所以，
所以，所以直線方程為，
所以過點并與圓相切的直線方程為或.
20. 已知向量．
（1）若，求的值；
（2）記，在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c．且滿足，求函數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）通過向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合二倍角公式轉(zhuǎn)化求解即可；
（2）利用正弦定理，結(jié)合三角形的內(nèi)角和通過的范圍，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)值的范圍即可．
【詳解】解：（1）
所以；
（2），
由正弦定理得，
，
．
，
．
，
，
，
．
．
又，
．
故函數(shù)的取值范圍是．
21. 如圖，平面，.
（1）求證：平面；
（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正切值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）兩種方法，一是通過題意，得到平面的法向量，然后結(jié)合，通過計算
可得，從而得到平面；二是通過證明、，得到平面平面，進而推出平面；
（2）通過建立空間直角坐標系，設(shè)出平面和平面的法向量，并結(jié)合題意條件，求解出的長，然后根據(jù)平面，求解出，即可.
【小問1詳解】
依題意，可以建立以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向的空間直角坐標系（如圖），可得，.設(shè)，則.
（1）法一：證明：依題意，平面，，
平面，，
又，，
平面，
是平面的法向量，又，
可得，又因為直線平面，
所以平面.
法二：，平面，平面，
平面.
同理平面，，
平面平面，
又平面，
所以平面.
【小問2詳解】
設(shè)為平面的法向量，則即
不妨令，可得.
同理可得平面的一個法向量為
由題意，有，
解得.
. 平面，
為直線與平面所成角，
.
22. 已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，點在橢圓上.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點的直線與橢圓相交于，兩點，記的面積為，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于，，的方程即可求解；
（2）設(shè)直線方程（有兩種方法，一種設(shè)；另一種設(shè)），與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理及基本不等式即可求出面積的最大值.
【小問1詳解】
因為，所以，則，
所以的標準方程為，
因為點在上，所以，
解得，從而，.
所以的標準方程為.
【小問2詳解】
易知點在的外部，則直線的斜率存在且不為0，
設(shè)，，，
聯(lián)立方程組消去得，
由得，由根與系數(shù)的關(guān)系知
所以，
化簡得.
設(shè)點到直線的距離為，則，
所以的面積
令，得，所以，
因為，所以，
當且僅當，即時，等號成立.
因為滿足，所以的最大值為.
評分細則：
第二問另解：
（2）設(shè)，，，
聯(lián)立方程組，消去得.
由得，由根與系數(shù)的關(guān)系知.
所以，
化簡得.
設(shè)點到直線的距離為，則，
所以的面積.
令，得，
所以，
因為，所以，
當且僅當，即時，等號成立.
因為滿足，所以的最大值為.

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