2023-2024學年四川省綿陽市南山中學實驗學校高二上學期期中數(shù)學試題含答案-試卷下載-教習網(wǎng)

考試時間:120分鐘總分:150分
一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1. 直線的傾斜角是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，即可求解．
【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，
直線可化為，
所以直線的斜率，
，
故選：D．
2. 已知空間向量，，且，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直得，即可求出的值.
【詳解】.
故選：B.
3. 已知直線，相互平行，則、之間的距離為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行得到關(guān)于a的方程，求出的值，再由兩平行線之間的距離公式計算即可.
【詳解】因為直線，相互平行，
所以，解得，
所以，即，
所以、之間的距離.
故選：A.
4. 已知某地、、三個村的人口戶數(shù)及貧困情況分別如圖（1）和圖（2）所示，當?shù)卣疄殪柟掏卣姑撠毠猿晒?，全面推進鄉(xiāng)村振興，決定采用分層隨機抽樣的方法抽取20%的戶數(shù)進行調(diào)查，則樣本容量和抽取村貧困戶的戶數(shù)分別是（）

A. 150，15B. 150，20C. 200，15D. 200，20
【答案】D
【解析】
【分析】將餅圖中的、、三個村的人口戶數(shù)全部相加，再將所得結(jié)果乘以得出樣本容量，得出村抽取的戶數(shù)，再乘以可得出村貧困戶的抽取的戶數(shù).
【詳解】將餅圖中的、、三個村的人口戶數(shù)全部相加，
再將所得結(jié)果乘以得出樣本容量為，
村抽取的戶數(shù)為戶，
則抽取村貧困戶戶數(shù)為戶．
故選：D.
5. 已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，焦距為4.若P為橢圓C上一點，且△PF1F2的周長為10，則橢圓C的離心率e為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義與焦距的性質(zhì)即可求解.
【詳解】依題意知，
焦距：，
由橢圓的定義得△PF1F2的周長為：，
解得：，所以離心率
故選：C.
6. 若圓經(jīng)過點，，且圓心在直線：上，則圓的方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求解的中垂線方程，然后求解圓的圓心坐標，求解圓的半徑，然后得到圓的方程.
【詳解】圓經(jīng)過點，，
可得線段的中點為，又，
所以線段的中垂線的方程為，
即，
由，解得，
即，圓的半徑，
所以圓的方程為.
故選：A.
7. 先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件“兩次擲出的點數(shù)之和是6”，事件“第一次擲出的點數(shù)是奇數(shù)”，事件“兩次擲出的點數(shù)相同”，則（）
A. A與互斥B. 與相互獨立
C. D. A與互斥
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)互斥的定義和相互獨立的公式即可求解.
【詳解】對于選項A：第一次擲出點數(shù)為3，第二次擲出點數(shù)為3，滿足事件A，也滿足事件B,因此A與能夠同時發(fā)生，所以A與不互斥，故選項A錯誤；
對于選項B：，，，所以，所以與相互獨立，即選項B正確；
對于選項C：，故選項C錯誤；
對于選項D：第一次擲出點數(shù)為3，第二次擲出點數(shù)為3，滿足事件A，也滿足事件C,因此A與C能夠同時發(fā)生，所以A與C不互斥，故選項D錯誤；
故選：B.
8. 若過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先計算出兩條動直線經(jīng)過的定點，即和，注意到兩條動直線相互垂直的特點，則有；再利用基本不等式放縮即可得出的最大值．
【詳解】解：由題意可知，動直線經(jīng)過定點，
動直線即，經(jīng)過點定點，
注意到動直線和動直線始終垂直，又是兩條直線的交點，
則有，．
故（當且僅當時取“”
故選：．
【點睛】本題是直線和不等式的綜合考查，特別是“兩條直線相互垂直”這一特征是本題解答的突破口，從而有是個定值，再由基本不等式求解得出．直線位置關(guān)系和不等式相結(jié)合，不容易想到，是個靈活的好題．
二、多項選擇題（每小題5分，共4小題，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9. 已知橢圓與橢圓，則下列說法錯誤的是（）
A. 長軸長相等B. 短軸長相等C. 離心率相等D. 焦距相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】分別求出這兩個橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，比較即可得到答案.
【詳解】由已知條件得橢圓中，，，，
則該橢圓的長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為；
橢圓中，焦點在軸上，，，，故這兩個橢圓只有焦距相等.
故選：.
10. 已知空間中三點，，，則下列結(jié)論錯誤的是（）
A. 與是共線向量B. 與同向的單位向量是
C. 與夾角的余弦值是D. 平面的一個法向量是
【答案】AC
【解析】
【分析】A：利用共線向量定義進行判斷；B：與同向的單位向量；C：利用向量夾角余弦公式判斷；D：設(shè)平面的法向量為，則，由此能求出結(jié)果．
【詳解】對于A：，
與不是共線向量，故A錯誤；
對于B：，則與同向的單位向量是，故B正確；
對于C：，
∴，故C錯誤；
對于D：，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，得，故D正確．
故選：AC．
11. 光線自點射入，經(jīng)傾斜角為的直線反射后經(jīng)過點，則反射光線經(jīng)過的點為（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先求點關(guān)于直線的對稱點，得出反射后的直線，再對選項逐一檢驗
【詳解】由題意知，，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，
則，解得，所以反射光線所在的直線方程為，
所以當時，；當時，，
故選：BC
12. 對于平面直角坐標系內(nèi)任意兩點，定義它們之間的一種“折線距離”：，則下列命題正確的是（）
A. 若，則
B. 若為定點，為動點，且滿足，則點的軌跡是一個圓
C. 若為定點，為動點，且滿足，則點的軌跡是一個橢圓
D. 若點線段上，則
【答案】AD
【解析】
【分析】由新定義直接計算可判斷A，設(shè)，，結(jié)合新定義可判斷BC，設(shè)且，結(jié)合新定義可判斷D
【詳解】由題意可得：當，，時
，所以A正確；
不妨設(shè)，，由題意可得，此時表示的幾何圖形是正方形，
所以BC錯誤；
設(shè)且，
所以
，所以D正確．
故選：AD
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.）
13. 已知直線：與直線：互相垂直，則它們的交點坐標為_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用互相垂直求出，然后兩直線聯(lián)立即可求出交點坐標.
【詳解】因為直線：與直線：互相垂直，
所以，解得，
聯(lián)立，解得直線和的交點坐標為，
故答案為：
14. 如圖，在平行六面體中，設(shè)，N是的中點，則向量_________．（用表示）
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量的加減法運算法則及數(shù)乘運算求解即可.
【詳解】由向量的減法及加法運算可得，
，
故答案為：
15. 某單位為了解該單位黨員開展學習黨史知識活動情況，隨機抽取了部分黨員，對他們一周的黨史學習時間進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：
則該單位黨員一周學習黨史時間的第60百分位數(shù)是______．
【答案】9
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求出結(jié)果．
【詳解】黨員人數(shù)一共有，
，那么第60百分位數(shù)是第24和25個數(shù)的平均數(shù)，
第24和25個數(shù)分別為9，9，所以第60百分位數(shù)是，
故答案為：9．
16. 已知點在直線上運動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，若求的最大值，轉(zhuǎn)化為求的最大值，再根據(jù)點關(guān)于線對稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合從而得解.
【詳解】如圖所示，
圓的圓心為，半徑為3，
圓的圓心為，半徑為1，
可知，
所以，
若求的最大值，轉(zhuǎn)化為求的最大值，
設(shè)關(guān)于直線的對稱點為B，設(shè)B坐標為，
則，解得，故B，
因為，可得，
當P，B，A三點共線，即P點為時，等號成立，
所以的最大值為.
故答案為：.
四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17. 求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）長軸在x軸上，長軸的長為12，離心率為；
（2）經(jīng)過點和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由長軸長及離心率求橢圓參數(shù)a、c，進而求參數(shù)b，即可寫出橢圓方程.
（2）由題設(shè)知P，Q分別是橢圓的短軸和長軸的一個端點，即可得a、b，結(jié)合頂點坐標特征寫出橢圓方程.
【小問1詳解】
由已知,，，得：，，從而.
所以橢圓的標準方程為.
【小問2詳解】
由橢圓的幾何性質(zhì)知，以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點，
所以點P，Q分別是橢圓的短軸和長軸的一個端點，于是有，.
又短軸、長軸分別在x軸和y軸上，所以橢圓的標準方程為.
18. 已知，以點為圓心的圓被軸截得的弦長為.
（1）求圓的方程；
（2）若過點的直線與圓相切，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，可直接計算出圓的半徑；
（2）根據(jù)直線的斜率是否存在分類討論，斜率不存在時，可得到直線方程為的直線滿足題意，斜率存在時，利用直線與圓相切，即到直線的距離等于半徑，然后解出關(guān)于斜率的方程即可.
【小問1詳解】
不妨設(shè)圓的半徑為，根據(jù)垂徑定理，可得：
解得：
則圓的方程為：
【小問2詳解】
當直線的斜率不存在時，則有：
故此時直線與圓相切，滿足題意
當直線的斜率存在時，不妨設(shè)直線的斜率為，點的直線的距離為
直線的方程為：
則有：
解得：，此時直線的方程為：
綜上可得，直線的方程為：或
19. 南山實驗高二年級的同學們學習完《統(tǒng)計與概率》章節(jié)后，統(tǒng)一進行了一次測試，并將所有測試成績（滿分100分）按照進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中．
（1）求出;
（2）估計測試成績的平均分；
（3）按照人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法，從成績在內(nèi)的學生中抽取4人，再從這4人中任選2人，求這2人成績都在內(nèi)的概率．
【答案】（1），
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率之和即可求解，
（2）根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可求解，
（3）由列舉法列舉所有基本事件，即可由古典概型概率公式求解.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖可知，即，
又，所以，．
【小問2詳解】
測試成績的平均分為：
【小問3詳解】
成績在和內(nèi)的人數(shù)之比為，
故抽取的4人中成績在內(nèi)的有3人，設(shè)為，，，成績在內(nèi)的有1人，設(shè)為，
再從這4人中選2人，這2人的所有可能情況為，，，，，，共6種，
這2人成績均在內(nèi)的情況有，，，共3種，
故這2人成績都在內(nèi)的概率為
20. 為了保證我國東海油氣田海域海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺O的北偏西45°方向km處設(shè)立觀測點A，在平臺O的正東方向12km處設(shè)立觀測點B，規(guī)定經(jīng)過O、A、B三點的圓以及其內(nèi)部區(qū)域為安全預(yù)警區(qū)．如圖所示：以O(shè)為坐標原點，O的正東方向為x軸正方向，建立平面直角坐標系．
（1）試寫出A，B的坐標，并求兩個觀測點A，B之間的距離；
（2）某日經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在該平臺O正南10km C處，有一艘輪船正以每小時km的速度沿北偏東45°方向行駛，如果航向不變，該輪船是否會進入安全預(yù)警區(qū)？如果不進入，請說明理由；如果進入，則它在安全警示區(qū)內(nèi)會行駛多長時間？
【答案】（1）；
（2）會駛?cè)氚踩A(yù)警區(qū)，行駛時長為半小時
【解析】
【分析】（1）先求出A，B的坐標，再由距離公式得出A，B之間的距離；
（2）由三點的坐標列出方程組得出經(jīng)過三點的圓的方程，設(shè)輪船航線所在的直線為，再由幾何法得出直線與圓截得的弦長，進而得出安全警示區(qū)內(nèi)行駛時長.
【小問1詳解】
由題意得，∴；
【小問2詳解】
設(shè)圓的方程為，
因為該圓經(jīng)過三點，∴，得到.
所以該圓的方程為：，
化成標準方程為：.
設(shè)輪船航線所在的直線為，則直線的方程為：，
圓心（6，8）到直線的距離，
所以直線與圓相交，即輪船會駛?cè)氚踩A(yù)警區(qū).
直線與圓截得的弦長為，行駛時長小時.
即在安全警示區(qū)內(nèi)行駛時長為半小時.
21. 甲、乙兩人組成“九章隊”參加青島二中數(shù)學學科周“最強大腦”比賽，每輪比賽由甲、乙各猜一個數(shù)學名詞，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．
（1）求甲兩輪至少猜對一個數(shù)學名詞的概率；
（2）求“九章隊”在兩輪比賽中猜對三個數(shù)學名詞的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的乘法概率公式計算即可；
（2）兩人分別猜兩次，總共四次中有一次沒猜對，分四種情況計算可得答案.
【小問1詳解】
設(shè)甲兩輪至少猜對一個數(shù)學名詞為事件，
.
【小問2詳解】
設(shè)事A＝“甲第一輪猜對”，B＝“乙第一輪猜對”，C＝“甲第二輪猜對”，D＝“乙第二輪猜對”，E＝““九章隊”猜對三個數(shù)學名詞”，
所以，
則，
由事件的獨立性與互斥性，得
，
故“九章隊”在兩輪活動中猜對三個數(shù)學名詞的概率為．
22. 如圖，等腰梯形中，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

（1）證明：面面；
（2）若為上的一點，點到面的距離為，求的值及平面和平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見詳解；
（2），
【解析】
【分析】（1）先證，利用線線垂直證線面垂直，由線面垂直的性質(zhì)可判定面面垂直；
（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量計算點面距離及二面角即可.
【小問1詳解】

如圖所示，在梯形中，取中點，連接，
易知四邊形為平行四邊形，可得，即，
又，平面，
所以平面，
因為平面，
所以面面；
【小問2詳解】

取的中點，則，
因為，所以，結(jié)合（1）結(jié)論，
可以以O(shè)為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，
設(shè)，
即，
設(shè)面一個法向量為，
則有，令，
即，則點到面的距離為，即；
易知平面的一個法向量可為，
設(shè)平面和平面夾角為，易知,
所以.黨史學習時間（小時）
7
8
9
10
11
黨員人數(shù)
6
10
9
8
7

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