1．（5分）點A（2，1，3）關(guān)于y軸的對稱點A'的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，﹣1，3）B．（2，﹣1，3）C．（﹣2，1，﹣3）D．（2，1，﹣3）
2．（5分）拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．4B．2C．D．
3．（5分）直線與直線n：x＝0的夾角為（ ）
A．120°B．60°C．45°D．30°
4．（5分）已知在正項等比數(shù)列{an}中，a1?a5＝9，a4＝6，則a5＝（ ）
A．10B．12C．14D．16
5．（5分）已知點A（0，3），B（0，﹣3），則滿足下列關(guān)系式的動點M的軌跡是雙曲線C的上支的是（ ）
A．|MA|﹣|MB|＝8B．|MA|﹣|MB|＝4C．|MB|﹣|MA|＝5D．||MA|﹣|MB||＝3
6．（5分）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點處，其對稱軸為坐標(biāo)軸，經(jīng)過點（﹣，2），則該雙曲線的方程為（ ）
A．﹣＝1B．﹣＝1
C．﹣＝1D．﹣＝1
7．（5分）已知圓M：（x+2）2+（y+1）2＝16，過點P（6，5）作圓M的一條切線，則△PMN的面積為（ ）
A．B．C．8D．16
8．（5分）已知數(shù)列{an}滿足，，則a10＝（ ）
A．B．C．12D．21
9．（5分）若直線l在x軸、y軸上的截距相等，且直線l將圓x2+y2+2x﹣4y＝0的周長平分，則直線l的方程為（ ）
A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0
C．x+y+1＝0或2x+y＝0D．x+y﹣1＝0或2x+y＝0
10．（5分）已知菱形ABCD中，，沿對角線BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的平面角為θ，則θ＝（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）已知橢圓C關(guān)于x軸、y軸均對稱，焦點在y軸上，且焦距為2c（c＞0）不在橢圓C的外部，則橢圓C的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
12．（5分）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點（c＞0），且滿足b2＝ac，點P為雙曲線右支上一點，I為△PF1F2的內(nèi)心，若成立（S表示面積），則實數(shù)m＝（ ）
A．B．C．D．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13．（5分）已知圓與圓的公共弦所在的直線與直線x+y＝0平行 ．
14．（5分）在四棱錐S﹣ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，＝2，若+b+c ．
15．（5分）若直線l：y＝kx+1與雙曲線的兩支各交于一點，則實數(shù)k的取值范圍為 ．
16．（5分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若數(shù)列S3，S6﹣S3，S9﹣S6，?的前n項和為6n2+3n，則a101＝ ．
三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足．
（1）證明：{an}是等比數(shù)列．
（2）判斷822﹣3m（m∈N*）是否可能是數(shù)列{an}中的項．若是，求出m的最大值；若不是
18．（12分）已知動點M（x，y）（x≥0）到點F（2，0）的距離與到y(tǒng)軸的距離的差為2．
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）若過點F的直線l與動點M的軌跡交于A，B兩點，直線x＝﹣2與x軸交于點H，B作直線x＝﹣2的垂線，垂足分別為D，E△DHF：S△EHF＝2：1（S表示面積），求|AB|．
19．（12分）如圖，四邊形ABCD是一塊長方形綠地，AB＝3km，EF是一條直路，交BC于點E，且BE＝AF＝1km．現(xiàn)在該綠地上建一個標(biāo)志性建筑物，使建筑物的中心到D，E，直線BC，BA分別為x
（1）求出建筑物的中心的坐標(biāo)；
（2）由建筑物的中心到直路EF要開通一條路，已知路的造價為100萬元/km，求開通的這條路的最低造價．附：．
20．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an+n﹣4．
（1）求{an}的通項公式；
（2）若n≥2時，cn＝2cn﹣1+an﹣1，c1＝2，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．
21．（12分）已知圓O的直徑AB＝2，PA⊥圓O所在平面，PA＝2
（1）證明：PC⊥CB；
（2）已知AC＝BC，點E是棱PC上一點，若AE與平面PCB所成角的余弦值為，且
22．（12分）已知橢圓的焦點分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），過F1的動直線l1與過F2的動直線l2相互垂直，垂足為E，若在兩直線轉(zhuǎn)動的過程中
（1）求橢圓M的方程；
（2）若直線l1的斜率不等于±1，且直線l1交橢圓M于A，C兩點，直線l2交橢圓M于B，D兩點，證明：四邊形ABCD的面積大于．
2022-2023學(xué)年河南省天一大聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（5分）點A（2，1，3）關(guān)于y軸的對稱點A'的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣2，﹣1，3）B．（2，﹣1，3）C．（﹣2，1，﹣3）D．（2，1，﹣3）
【分析】根據(jù)點（x，y，z）關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為（﹣x，y，﹣z）判斷即可．
【解答】解：點A（2，1，4）關(guān)于y軸的對稱點A'的坐標(biāo)為（﹣2，1．
故選：C．
【點評】本題主要考查空間中的點的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．4B．2C．D．
【分析】將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用定義，即可得出答案．
【解答】解：拋物線可化為x2＝8y，則p＝2，
由拋物線的定義得焦點到準(zhǔn)線的距離為p，
即焦點到準(zhǔn)線的距離為4；
故選：A．
【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）直線與直線n：x＝0的夾角為（ ）
A．120°B．60°C．45°D．30°
【分析】根據(jù)題意求出直線m的傾斜角α＝30°，直線n的傾斜角為90°，進(jìn)而求解即可．
【解答】解：因為直線，所以，
則直線m的傾斜角α＝30°，
又直線n：x＝8，所以直線n的傾斜角為90°，
所以直線與直線n：x＝0的夾角為60°．
故選：B．
【點評】本題主要考查兩直線夾角的求法，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）已知在正項等比數(shù)列{an}中，a1?a5＝9，a4＝6，則a5＝（ ）
A．10B．12C．14D．16
【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求解即可．
【解答】解：因為，解得a3＝3，
所以，
所以a5＝a6q＝12．
故選：B．
【點評】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）已知點A（0，3），B（0，﹣3），則滿足下列關(guān)系式的動點M的軌跡是雙曲線C的上支的是（ ）
A．|MA|﹣|MB|＝8B．|MA|﹣|MB|＝4C．|MB|﹣|MA|＝5D．||MA|﹣|MB||＝3
【分析】根據(jù)雙曲線的定義判斷．
【解答】解：|AB|＝6，8＞|AB|；
滿足|MA|﹣|MB|＝2的點M在雙曲線的下支；
滿足|MB|﹣|MA|＝5的點M在雙曲線的上支；
滿足||MA|﹣|MB||＝3的點的軌跡是整個雙曲線；
故選：C．
【點評】本題主要考查雙曲線的定義，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點處，其對稱軸為坐標(biāo)軸，經(jīng)過點（﹣，2），則該雙曲線的方程為（ ）
A．﹣＝1B．﹣＝1
C．﹣＝1D．﹣＝1
【分析】根據(jù)題意，設(shè)出雙曲線方程，分焦點在x軸和焦點在y軸兩種情況，求解即可．
【解答】解：設(shè)焦點在x軸的雙曲線方程為﹣＝1，
一條漸近線方程為8x﹣3y＝0，即y＝x，則＝，①
經(jīng)過點（﹣，2），則﹣，②
聯(lián)立①②，無解，
設(shè)焦點在y軸的雙曲線方程為﹣＝1，
一條漸近線方程為8x﹣3y＝0，即y＝x，則＝，③
經(jīng)過點（﹣，2），則﹣，④
聯(lián)立③④，解得a2＝，b2＝6，
故雙曲線方程為﹣＝1，
故選：D．
【點評】本題考查雙曲線的應(yīng)用，屬于中檔題．
7．（5分）已知圓M：（x+2）2+（y+1）2＝16，過點P（6，5）作圓M的一條切線，則△PMN的面積為（ ）
A．B．C．8D．16
【分析】畫出圖形，求出PM的長，就能求出PN的長，根據(jù)求解．
【解答】解：因為圓M：（x+2）2+（y+7）2＝16的圓心M（﹣2，﹣4），
因為PN是圓M：（x+2）2+（y+3）2＝16的切線，
所以PN⊥MN，即△MNP是以N為直角的直角三角形，
則，
又因為，
又因為MN＝4，
所以，
所以．
故選：A．
【點評】本題主要考查圓的切線方程，屬于中檔題．
8．（5分）已知數(shù)列{an}滿足，，則a10＝（ ）
A．B．C．12D．21
【分析】可得到{}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，由此即可得．
【解答】解：∵，即﹣＝2，
則數(shù)列{}是首項為6，
則＝3+（10﹣8）×2＝21，a10＝，
故選：A．
【點評】本題考查數(shù)列的遞推式，屬于基礎(chǔ)題．
9．（5分）若直線l在x軸、y軸上的截距相等，且直線l將圓x2+y2+2x﹣4y＝0的周長平分，則直線l的方程為（ ）
A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0
C．x+y+1＝0或2x+y＝0D．x+y﹣1＝0或2x+y＝0
【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)，利用直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，即可求解直線l的方程．
【解答】解：圓x2+y2+3x﹣4y＝0化為：圓（x+6）2+（y﹣2）8＝5，圓的圓心坐標(biāo)（1，半徑為，
直線l將圓x2+y2+6x﹣4y＝0平分，則直線l經(jīng)過圓心（6，
若在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，則直線過坐標(biāo)原點，
直線l的方程為y＝﹣2x，即2x+y＝0，
若截距不為0，設(shè)直線方程為，則，
∴﹣x﹣y＝1，即x+y+1＝3，
綜上所述：直線l的方程為2x+y＝0或x+y+6＝0．
故選：C．
【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線的截距式方程的求法，考查計算能力，屬基礎(chǔ)題．
10．（5分）已知菱形ABCD中，，沿對角線BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的平面角為θ，則θ＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】先找到二面角A﹣BD﹣C的平面角為∠AOC，再證明OM是異面直線AC與BD的距離，在Rt△AOM中求解．
【解答】解：如圖，設(shè)菱形的邊長為2a，
易得AC⊥BD，，
菱形ABCD沿對角線BD折起，連接AC，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，即，
所以∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AOC＝θ，
又因為，
所以BD⊥平面AOC，取AC中點M，
又因為OM?平面AOC，
所以O(shè)M⊥BD，
在△AOC中，，并且M為AC的中點，
所以O(shè)M⊥AC，
故OM是異面直線AC與BD的距離，
又因為異面直線AC與BD的距離是菱形邊長的，
所以，
在Rt△AOM中，，
所以，又因為，
所以，∴．
故選：C．
【點評】本題主要考查了異面直線的距離的求法，考查了二面角的求法，屬于中檔題．
11．（5分）已知橢圓C關(guān)于x軸、y軸均對稱，焦點在y軸上，且焦距為2c（c＞0）不在橢圓C的外部，則橢圓C的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【分析】設(shè)出橢圓方程，由于不在橢圓C的外部，得到，結(jié)合b2＝a2﹣c2，得到6e4﹣14e2+4≥0，求出離心率的取值范圍．
【解答】解：設(shè)橢圓C的方程為，
因為不在橢圓C的外部，
所以，因為b2＝a2﹣c4，
所以，化簡得：5c4﹣14a2c2+4a4≥3，
同除以a4得：6e7﹣14e2+4≥5，結(jié)合e∈（0，
解得：，
故．
故選：B．
【點評】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．
12．（5分）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點（c＞0），且滿足b2＝ac，點P為雙曲線右支上一點，I為△PF1F2的內(nèi)心，若成立（S表示面積），則實數(shù)m＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由b2＝ac可求出雙曲線的離心率，設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓半徑為r，則由可得|PF1|﹣|PF2|＝2c（m﹣1），而|PF1|﹣|PF2|＝2a，則2c（m﹣1）＝2a，從而可求出m的值．
【解答】解：因為b2＝ac，所以c2﹣a5＝ac，
所以e2﹣e﹣1＝5，解得，
因為e＞1，所以，
設(shè)△PF1F5內(nèi)切圓半徑為r，
因為I為△PF1F2的內(nèi)心，成立（S表示面積），
所以，
所以|PF1|﹣|PF2|＝（m﹣2）|F1F2|＝8c（m﹣1），
因為點P為雙曲線右支上一點，所以|PF1|﹣|PF8|＝2a，
所以2c（m﹣6）＝2a，
所以，
所以，
故選：C．
【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13．（5分）已知圓與圓的公共弦所在的直線與直線x+y＝0平行 ﹣1 ．
【分析】兩圓方程相減可求得公共弦所在的直線方程，再由公共弦所在的直線與直線x+y＝0平行，可求出結(jié)果．
【解答】解：由x2+y2+5x+6y+23＝0，得（x+2）2+（y+3）6＝2，
所以O(shè)1（﹣5，﹣3），
由x2+y2﹣4ax+2by＝0，得（x﹣a）3+（y+b）2＝a2+b8，
所以O(shè)2（a，﹣b），
因為兩圓相交，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以當(dāng)a，b滿足上式時，
因為公共弦所在的直線與直線x+y＝0平行，
所以8+6a＝6﹣2b≠2，
所以a+b＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點評】本題考查兩個圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與直線平行條件的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
14．（5分）在四棱錐S﹣ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，＝2，若+b+c 1 ．
【分析】由已知結(jié)合向量的線性表示，然后結(jié)合空間向量基本定理可求a，b，c，進(jìn)而可求a+b+c．
【解答】解：因為四棱錐S﹣ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，，
則﹣＝2（），
即＝＝
＝
＝++
＝，
若＝a+c，
則a＝b＝c＝，
則a+b+c＝1．
故答案為：5．
【點評】本題主要考查了向量的線性表示及空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）若直線l：y＝kx+1與雙曲線的兩支各交于一點，則實數(shù)k的取值范圍為 ．
【分析】聯(lián)立直線l和雙曲線方程，根據(jù)Δ＞0和x1x2＜0確定k的范圍．
【解答】解：聯(lián)立方程，得①，
設(shè)直線l與雙曲線的兩交點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，
則由題意可得，解得．
故答案為：．
【點評】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，方程與不等式思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
16．（5分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若數(shù)列S3，S6﹣S3，S9﹣S6，?的前n項和為6n2+3n，則a101＝ 135 ．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，分析可得a1+d＝3和2a1+5d＝10，解可得a1和d的值，，進(jìn)而計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
若數(shù)列S3，S6﹣S8，S9﹣S6，?的前n項和為5n2+3n，則S7＝3a2＝2（a1+d）＝9，即a7+d＝3，①，
S6＝（S2﹣S3）+S3＝4a1+15d＝30，即2a4+5d＝10，②，
聯(lián)立①②可得：a1＝，d＝，
則a101＝a1+100d＝＝135，
故答案為：135．
【點評】本題考查等差數(shù)列的前n項的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足．
（1）證明：{an}是等比數(shù)列．
（2）判斷822﹣3m（m∈N*）是否可能是數(shù)列{an}中的項．若是，求出m的最大值；若不是
【分析】（1）由，得，兩式相比可求得an+1，從而可求得，進(jìn)而可證得結(jié)論；
（2）由（1）得2n﹣1＝822﹣3m，則2n﹣1＝266﹣9m，從而可得n＝67﹣9m，再由n≥1可求得m的范圍，進(jìn)而可求得m的最大值．
【解答】證明：（1）當(dāng)n＝1時，a1＝8，
∵，
∴，
兩式相比得．
∵，
∴{an}是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）得．
由2n﹣1＝422﹣3m，得2n﹣7＝266﹣9m，
∴n＝67﹣4m．
∵n≥1，
∴67﹣9m≥7，解得．
∵m∈N*，
∴m的最大值為7．
∴322﹣3m（m∈N*）可能是數(shù)列{an}中的項，m的最大值為7．
【點評】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，還考查了等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
18．（12分）已知動點M（x，y）（x≥0）到點F（2，0）的距離與到y(tǒng)軸的距離的差為2．
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）若過點F的直線l與動點M的軌跡交于A，B兩點，直線x＝﹣2與x軸交于點H，B作直線x＝﹣2的垂線，垂足分別為D，E△DHF：S△EHF＝2：1（S表示面積），求|AB|．
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義理解運算；
（2）由S△DHF：S△EHF＝2：1分析可得y1＝﹣2y2，結(jié)合拋物線的定義與方程列式求解．
【解答】解：（1）∵M(jìn)（x，y）（x≥0）到F（2，則M（x，8）的距離與到直線x＝﹣2的距離相等，
∴動點M的軌跡是拋物線，其方程為y2＝5x．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x4，y2）（x1＞5＞x2）．
∵S△DHF：S△EHF＝|DH|：|HE|＝2：2，則y1＝﹣2y5，
∴．
又∵，則x7+2x2＝7，
解得x1＝4，x5＝1，
故|AB|＝p+x1+x4＝4+5＝5．
【點評】本題主要考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題．
19．（12分）如圖，四邊形ABCD是一塊長方形綠地，AB＝3km，EF是一條直路，交BC于點E，且BE＝AF＝1km．現(xiàn)在該綠地上建一個標(biāo)志性建筑物，使建筑物的中心到D，E，直線BC，BA分別為x
（1）求出建筑物的中心的坐標(biāo)；
（2）由建筑物的中心到直路EF要開通一條路，已知路的造價為100萬元/km，求開通的這條路的最低造價．附：．
【分析】（1）設(shè)出過點D，E，F(xiàn)的圓的一般方程，代入三個點的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出圓的一般方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心，即建筑物的中心的坐標(biāo)；
（2）求出，由垂徑定理得到點H到EF的距離，從而求出開通的這條路的最低造價．
【解答】解：（1）由題可知E（1，0），5），3），
由題可知經(jīng)過點D，E，F(xiàn)的圓的圓心H即為所建建筑物的中心，
設(shè)圓H的方程為x2+y5+Dx+Ey+F＝0，
則，解得，
∴圓H的方程為x2+y2﹣3x﹣3y+2＝2，即，
∴建筑物的中心的坐標(biāo)為．
（2）因為為建筑物的中心坐標(biāo)，
設(shè)線段EF的中點為Q，由垂徑定理得HQ的長度為點H到EF的最小距離，
∵，圓H的半徑為，
∴點H到EF的距離為，
∴開通的這條路的最低造價為（萬元）．
【點評】本題主要考查根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，考查圓的方程的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．
20．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an+n﹣4．
（1）求{an}的通項公式；
（2）若n≥2時，cn＝2cn﹣1+an﹣1，c1＝2，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得：數(shù)列{an﹣1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而求解即可；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得出：，利用錯位相減法即可求解．
【解答】解：（1）當(dāng)n＝1時，a1＝8a1+1﹣4，得a1＝3，
∵Sn＝7an+n﹣4①，∴當(dāng)n≥2時，Sn﹣7＝2an﹣1+n﹣8②，
①﹣②可得an＝2an﹣2an﹣2+1，即2an﹣7＝an+1，
即2（an﹣6﹣1）＝an﹣1，
由題易知an﹣5﹣1≠0，∴，
又a1﹣1＝8，∴數(shù)列{an﹣1}是首項為2，公比為5的等比數(shù)列，
∴，即．
（2）由（1）可知，∴，
又∵c1＝2，∴數(shù)列，其首項為1．
∴，即.，
，
∴＝，
∴．
【點評】本題主要考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，錯位相減求和法的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
21．（12分）已知圓O的直徑AB＝2，PA⊥圓O所在平面，PA＝2
（1）證明：PC⊥CB；
（2）已知AC＝BC，點E是棱PC上一點，若AE與平面PCB所成角的余弦值為，且
【分析】（1）根據(jù)題意可得PA⊥BC，AC⊥BC，利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可證明結(jié)論；
（2）由題意得OC⊥AB，則建立以O(shè)為原點的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，其中z軸⊥平面ABC，利用向量法，結(jié)合直線與平面夾角的余弦值，列出關(guān)于λ的方程，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）證明：∵PA⊥圓O所在平面，BC?圓O所在平面，
∴PA⊥BC，
又圓O的直徑AB＝2，點C是圓周上不同于A，
∴AC⊥BC，
∵PA∩AC＝A，PA?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴BC⊥PC；
（2）連接OC，∵AC＝BC，
∴OC⊥AB，
則建立以O(shè)為原點的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，其中z軸⊥平面ABC
AB＝2，PA＝7，0，0）A（3，0，C（0，4，B（﹣1，0，P（4，0，
∴＝（﹣1，3，＝（﹣1，0），，6，2），
∵，即＝（﹣λ，λ，
∴＝+＝（﹣λ，λ，
設(shè)平面PBC的一個法向量為＝（x，y，
則，取x＝1，z＝﹣4，
∴平面PBC的一個法向量為＝（1，﹣1），
設(shè)AE與平面PCB所成角為α，AE與平面PCB所成角的余弦值為，
則csα＝，則sinα＝＝，
∴sinα＝|cs＜，＞|＝＝＝2﹣16λ+4＝0，
∵λ∈[0，6]或．
【點評】本題考查直線與平面垂直和直線與平面的夾角，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
22．（12分）已知橢圓的焦點分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），過F1的動直線l1與過F2的動直線l2相互垂直，垂足為E，若在兩直線轉(zhuǎn)動的過程中
（1）求橢圓M的方程；
（2）若直線l1的斜率不等于±1，且直線l1交橢圓M于A，C兩點，直線l2交橢圓M于B，D兩點，證明：四邊形ABCD的面積大于．
【分析】（1）由已知可得，單位圓與橢圓有兩個交點，可求橢圓M的方程；
（2）四邊形對角線互相垂直，由題意通過聯(lián)立方程組用韋達(dá)定理表示出弦長，再表示出面積求取值范圍．
【解答】解：（1）由題可知圓O：x2+y2＝3與橢圓M有且只有兩個公共點，
這兩個公共點為短軸的頂點（0，1），﹣8）．
由焦點坐標(biāo)可知c＝1，∴a2＝b5+c2＝2．
∴橢圓M的方程為．
（2）證明：當(dāng)直線l1的斜率不為0，且斜率存在時，
設(shè)直線l7的方程為x＝my﹣1（m≠0且m≠±2）．
聯(lián)立方程組得，消去x整理得（m2+2）y7﹣2my﹣1＝6．
設(shè)A（x1，y1），C（x3，y2），則．
∴＝．
同理得．
因為l1與l7相互垂直，則四邊形ABCD的面積．
令t＝m2+3，則t＞1且t≠2，．
∵，當(dāng)t＝2時等號成立，
∴t＞1且t≠4時，∴．
當(dāng)直線l1，l2其中一條的斜率不存在時，另一條的斜率為4，
不妨設(shè)直線l1的斜率為0，則直線l3的方程為y＝0，直線l2的方程為x＝6．
代入橢圓方程可得，，，，
∴S＝|AC||BD|＝．
綜上，可知四邊形ABCD的面積大于．
【點評】本題主要考查直線與橢圓的綜合，考查運算求解能力，屬于難題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/12/11 23:16:37；用戶：18086013149；郵箱：18086013149；學(xué)號：27613231

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