一、單選題
1．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知平面內(nèi)有和點(diǎn)，，若半徑為，線段，，則直線與的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相交C．相切D．相交或相切
2．（2020·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知OT是Rt△ABO斜邊AB上的高線，AO=BO．以O(shè)為圓心，OT為半徑的圓交OA于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD，交AB于點(diǎn)D．則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．DC=DTB．AD=DTC．BD=BOD．2OC=5AC
3．（2020·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過點(diǎn)B作⊙O的切線交OA的延長線于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為1，則BD的長為（ ）
A．1B．2C．D．
4．（2020·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，D，P是上一點(diǎn)，則∠EPF的度數(shù)是（ ）
A．65°B．60°C．58°D．50°
5．（2019·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊三角形的邊長為8，以上一點(diǎn)為圓心的圓分別與邊，相切，則的半徑為（ ）
A．B．3C．4D．
6．（2019·浙江杭州·中考真題）如圖，P為⊙外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙于A、B兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2019·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知⊙O上三點(diǎn)A，B，C，半徑OC=1，∠ABC=30°，切線PA交OC延長線于點(diǎn)P，則PA的長為（ ）
A．2B． C．D．
二、填空題
8．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與邊相切，則此餐盤的半徑等于 cm．

9．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，E為邊上一點(diǎn)，以為直徑的半圓O與相切于點(diǎn)D，連接，．P是邊上的動點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長為 ．

10．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是外一點(diǎn)，，分別與相切于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，已知，則的度數(shù)是 ．

11．（2022·浙江舟山·中考真題）如圖，在扇形中，點(diǎn)C，D在上，將沿弦折疊后恰好與，相切于點(diǎn)E，F(xiàn)．已知，，則的度數(shù)為 ；折痕的長為 ．
12．（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙于點(diǎn)A，長邊與⊙相切于點(diǎn)B，角尺的直角頂點(diǎn)為C，已知，則⊙的半徑為 ．
13．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=2，BC=4，點(diǎn)O在BC上，以O(shè)B為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A，D是BC邊上的動點(diǎn)，當(dāng)△ACD為直角三角形時(shí)，AD的長為 ．
14．（2021·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知的半徑為1，點(diǎn)是外一點(diǎn)，且．若是的切線，為切點(diǎn)，連接，則 ．
15．（2021·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如示意圖，分別與相切于點(diǎn)C，D，延長交于點(diǎn)P．若，的半徑為，則圖中的長為 ．（結(jié)果保留）
16．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動，連結(jié)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，連接A′C，．在運(yùn)動過程中，點(diǎn)到直線距離的最大值是 ；點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，線段掃過的面積為 ．
三、解答題
17．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，連結(jié)．以為半徑的半圓與邊相切于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)．
(1)求證：．
(2)若．
①求半圓的半徑．
②求圖中陰影部分的面積．
18．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)O在邊上，以點(diǎn)O為圓心，為半徑的半圓與斜邊相切于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連結(jié)．

(1)求證：．
(2)已知，，求的長．
19．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，O為邊上一點(diǎn)，連結(jié)，以為半徑的半圓與邊相切于點(diǎn)D，交邊于點(diǎn)E．

(1)求證：；
(2)若，，①求半圓的半徑；②求圖中陰影部分的面積．
20．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)若，求的度數(shù)．
(2)若，求的長．
21．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)的位置刻畫圓上點(diǎn)的位置，如圖，是的直徑，直線是的切線，為切點(diǎn)．，是圓上兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合，且在直徑的同側(cè)），分別作射線，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)，的長為時(shí)，求的長．
(2)如圖2，當(dāng)，時(shí)，求的值．
(3)如圖3，當(dāng)，時(shí)，連接BP，PQ，直接寫出的值．
22．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，為半圓的直徑，為延長線上一點(diǎn)，切半圓于點(diǎn)，，交延長線于點(diǎn)，交半圓于點(diǎn)，已知，．如圖，連接，為線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線分別交，于點(diǎn)，，過點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)，．

(1)求的長和關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．
(2)當(dāng)，且長度分別等于，，的三條線段組成的三角形與相似時(shí)，求的值．
(3)延長交半圓于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長．
23．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知，是半徑為1的的弦，的另一條弦滿足，且于點(diǎn)H（其中點(diǎn)H在圓內(nèi)，且）．

(1)在圖1中用尺規(guī)作出弦與點(diǎn)H（不寫作法，保留作圖痕跡）．
(2)連結(jié)，猜想，當(dāng)弦的長度發(fā)生變化時(shí)，線段的長度是否變化？若發(fā)生變化，說明理由：若不變，求出的長度；
(3)如圖2，延長至點(diǎn)F，使得，連結(jié)，的平分線交的延長線于點(diǎn)P，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連結(jié)，若．求證：．
24．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是一條不過圓心的弦，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，直徑交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn)．

(1)求證： ；
(2)若，求的值；
(3)連結(jié)交于點(diǎn)，若的半徑為5
①若，求的長；
②若，求的周長；
③若，求的面積．
25．（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑的⊙與交于點(diǎn)，連接．
(1)求證：；
(2)若⊙與相切，求的度數(shù)；
(3)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出劣弧的中點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡）
26．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知在Rt△ABC中，，D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的半圓O與邊AC相切，切點(diǎn)為E，過點(diǎn)O作，垂足為F．
(1)求證：；
(2)若，，求AD的長．
27．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖1，為銳角三角形的外接圓，點(diǎn)D在上，交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，滿足交于點(diǎn)G，，連結(jié)，．設(shè)．
(1)用含的代數(shù)式表示．
(2)求證：．
(3)如圖2，為的直徑．
①當(dāng)?shù)拈L為2時(shí)，求的長．
②當(dāng)時(shí)，求的值．
28．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)A，交邊BC于點(diǎn)C，D，∠B=90°，連接OD，AD．

(1)若∠ACB=20°，求的長（結(jié)果保留）．
(2)求證：AD平分∠BDO．
29．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，為半圓O的直徑，C為延長線上一點(diǎn)，切半圓于點(diǎn)D，，交延長線于點(diǎn)E，交半圓于點(diǎn)F，已知．點(diǎn)P，Q分別在線段上（不與端點(diǎn)重合），且滿足．設(shè)．
(1)求半圓O的半徑．
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
(3)如圖2，過點(diǎn)P作于點(diǎn)R，連結(jié)．
①當(dāng)為直角三角形時(shí)，求x的值．
②作點(diǎn)F關(guān)于的對稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求的值．
30．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，以為直徑的與相切于點(diǎn)A，點(diǎn)C在左側(cè)圓弧上，弦交于點(diǎn)D，連接．點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)為E，直線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．
(1)求證：；
(2)當(dāng)點(diǎn)E在上，連接交于點(diǎn)P，若，求的值；
(3)當(dāng)點(diǎn)E在射線上，，以點(diǎn)A，C，O，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形中有一組對邊平行時(shí)，求的長．
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．
【詳解】解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OA=3cm，線段OB=2cm，
即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，
∴點(diǎn)A在⊙O外．點(diǎn)B在⊙O上，
∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
2．D
【分析】根據(jù)切線的判定知DT是⊙O的切線，根據(jù)切線長定理可判斷選項(xiàng)A正確；可證得△ADC是等腰直角三角形，可計(jì)算判斷選項(xiàng)B正確；根據(jù)切線的性質(zhì)得到CD=CT，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DOC=∠TOC，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C正確；
【詳解】解：如圖，連接OD．
∵OT是半徑，OT⊥AB，
∴DT是⊙O的切線，
∵DC是⊙O的切線，
∴DC=DT，故選項(xiàng)A正確；
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵DC是切線，
∴CD⊥OC，
∴∠ACD=90°，
∴∠A=∠ADC=45°，
∴AC=CD=DT，
∴AD=CD=DT，故選項(xiàng)B正確；
∵OD=OD，OC=OT，DC=DT，
∴△DOC≌△DOT（SSS），
∴∠DOC=∠DOT，
∵OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90°，
∴∠AOT=∠BOT=45°，
∴∠DOT=∠DOC=22.5°，
∴∠BOD=∠ODB=67.5°，
∴BO=BD，故選項(xiàng)C正確；
∵OA=OB，∠AOB=90°，OT⊥AB，
設(shè)⊙O的半徑為2，
∴OT=OC=AT=BT=2，
∴OA=OB=2，
∴，
2OC5AC故選項(xiàng)D錯誤；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形、靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
3．D
【分析】連接OB，由題意可知，∠OBD=90°；再說明△OAB是等邊三角形，則∠AOB =60°；再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠ODB=30°，最后解三角形即可求得BD的長．
【詳解】解：連接OB
∵菱形OABC
∴OA=AB
又∵OB=OA
∴OB=OA=AB
∴△OAB是等邊三角形
∵BD是圓O的切線
∴∠OBD=90°
∴∠AOB=60°
∴∠ODB=30°
∴在Rt△ODB中,OD=2OB=2,BD=OD·sin∠ODB=2× =
故答案為D．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，其中證明△OAB是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵．
4．B
【分析】連接OE，OF．求出∠EOF的度數(shù)即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，E，F(xiàn)是切點(diǎn)，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF=∠EOF=60°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
5．A
【分析】連接，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】設(shè)與的切點(diǎn)為，
連接，，
∵等邊三角形的邊長為8，
∴，，
∵圓分別與邊，相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的半徑為，
故選A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的半徑，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線進(jìn)行求解.
6．B
【分析】根據(jù)切線長定理即可得到答案.
【詳解】因?yàn)镻A和PB與⊙相切，根據(jù)切線長定理，所以PA＝PB＝3，故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查切線長定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線長定理.
7．B
【分析】連接OA，由圓周角定理可求出∠AOC=60°，再根據(jù)∠AOC的正切即可求出PA的值．
【詳解】解：連接OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵PA是圓的切線，
∴∠PAO=90°，
∵tan∠AOC =
∴PA= tan60°×1=
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的知識，根據(jù)圓周角定理可求出∠AOC=60°是解答本題的關(guān)鍵．
8．10
【分析】連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則點(diǎn)為餐盤與邊的切點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得，，，則四邊形是矩形，，得，，，設(shè)餐盤的半徑為，則，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
【詳解】由題意得：，，
如圖，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

則，
餐盤與邊相切，
點(diǎn)為切點(diǎn)，
四邊形是矩形，
，，，
四邊形是矩形，，
，，，
設(shè)餐盤的半徑為，
則，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
餐盤的半徑為，
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
9．或
【分析】連接，勾股定理求出半徑，平行線分線段成比例，求出的長，勾股定理求出和的長，分和兩種情況進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：連接，

∵以為直徑的半圓O與相切于點(diǎn)D，
∴，，
∴
設(shè)，則，
在中：，即：，
解得：，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵為等腰三角形，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
∵，
∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，
∴，

不存在的情況；
綜上：的長為或．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理，等腰三角形的定義．熟練掌握切線的性質(zhì)，等腰三角形的定義，確定點(diǎn)的位置，是解題的關(guān)鍵．
10．/度
【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，根據(jù)圓周角定理即可求解．
【詳解】解：如圖，

∵，分別與相切于點(diǎn)，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，求得是解題的關(guān)鍵．
11． 60°/60度
【分析】根據(jù)對稱性作O關(guān)于CD的對稱點(diǎn)M，則點(diǎn)D、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上，再結(jié)合切線的性質(zhì)和垂徑定理求解即可．
【詳解】作O關(guān)于CD的對稱點(diǎn)M，則ON=MN
連接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N
∵將沿弦折疊
∴點(diǎn)D、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上
∵將沿弦折疊后恰好與，相切于點(diǎn)E，F(xiàn)．
∴ME⊥OA，MF⊥OB
∴
∵
∴四邊形MEOF中
即的度數(shù)為60°；
∵，
∴（HL）
∴
∴
∴
∵M(jìn)O⊥DC
∴
∴
故答案為：60°；
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
12．/
【分析】設(shè)圓的半徑為rcm，連接OB、OA，過點(diǎn)A作AD⊥OB，垂足為D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r?6）2＋82，求出r即可．
【詳解】解：連接OB、OA，過點(diǎn)A作AD⊥OB，垂足為D，如圖所示：
∵CB與相切于點(diǎn)B，
∴，
∴，
∴四邊形ACBD為矩形，
∴，，
設(shè)圓的半徑為rcm，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理可得：，
即r2＝（r?6）2＋82，
解得：，
即的半徑為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于半徑r的方程，是解題的關(guān)鍵．
13．或
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可．
【詳解】解：連接OA，
①當(dāng)D點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，∠CAD為90°，
設(shè)圓的半徑=r，
∴OA=r，OC=4-r，
∵AC=2，
在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，
解得：r=，
即AD=AO=；
②當(dāng)∠ADC=90°時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
∵AO?AC=OC?AD，
∴AD=，
∵AO=，AC=2，OC=4-r=，
∴AD=，
綜上所述，AD的長為或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．
14．
【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，得，根據(jù)圓的性質(zhì)，得，再通過勾股定理計(jì)算，即可得到答案．
【詳解】∵是的切線，為切點(diǎn)
∴
∴
∵的半徑為1
∴
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓、勾股定理的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓、圓的切線、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．
15．
【分析】連接OC、OD，利用切線的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求得，再利用弧長公式求得答案．
【詳解】連接OC、OD，
∵分別與相切于點(diǎn)C，D，
∴，
∵，，
∴，
∴的長=（cm），
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查圓的切線的性質(zhì)定理，四邊形的內(nèi)角和，弧長的計(jì)算公式，熟記圓的切線的性質(zhì)定理及弧長的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
16．
【分析】（1）通過分析點(diǎn)A′的運(yùn)動軌跡，是以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓上，從而求解；
（2）畫出相應(yīng)的圖形，從而利用扇形面積和三角形面積公式計(jì)算求解
【詳解】解：（1）由題意可得點(diǎn)A′的運(yùn)動軌跡是以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓上，
∵點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動，，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
∴∠ACA′最大為90°
當(dāng)CA′⊥AB時(shí)，點(diǎn)A′到直線AB的距離最大，如圖
過點(diǎn)B作BE⊥AC
∵，，，
∴在Rt△ABE中，BE=1，AE=，
在Rt△BCE中，BE=CE=1
∴CA′=CA=
又∵CA′⊥AB
∴在Rt△ACF中，CF=
∴A′F=A′C-CF=
即點(diǎn)到直線距離的最大值是；
點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，線段掃過的面積為：
==
故答案為：；
【點(diǎn)睛】本題考查軌跡，含30°直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
17．(1)見解析
(2)①2；②
【分析】（1）根據(jù)切線長定理可直接得出結(jié)論；
（2）①證明，可得，根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)求出，可得，然后可得答案；
②利用勾股定理求出，然后根據(jù)列式計(jì)算即可．
【詳解】（1）證明：，點(diǎn)在圓上，
是圓的切線，
是圓的切線，
；
（2）解：①如圖，連結(jié)．
∵，
∴．
∵，，
．
．
．
，
．
∴在中，．
，
，
，
∴半圓的半徑為2；
②在中，．
，
．
，
，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，切線長定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形面積計(jì)算等知識，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
18．(1)見解析
(2)
【分析】（1）連結(jié)，根據(jù)切線的性質(zhì)得，再根據(jù)“”證明，可得答案；
（2）先求出，可得，根據(jù)特殊角三角函數(shù)求出，進(jìn)而求出答案.
【詳解】（1）如圖，連結(jié)，

∵半圓O與相切于點(diǎn)D，
∴．
∵，
∴.
∵，，
∴．
∴．
（2）如圖，∵，，
∴.
∵，
∴.
∵，
在中，，
∴.
在中，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，特殊角的三角函數(shù)值等，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
19．(1)證明過程見解析
(2)①2；②
【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)得出，證明，再由全等三角形的判定即可得出結(jié)論；
（2）①證出，再由直角三角形的性質(zhì)即可求解；
②由勾股定理求出，，由三角形面積公式和扇形的面積公式求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
∵是的切線，點(diǎn)D為切點(diǎn)，
∴，
∵，，，
∴，
∴；

（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴半圓O的半徑為2；
②在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式、銳角三角函數(shù)及勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解．
（2）根據(jù)是的切線，可得，在中，勾股定理求得，根據(jù)，可得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：∵于點(diǎn)，
∴，
∴．

（2）∵是的切線，是的半徑，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴
∴，即，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)扇形的弧長公式即可求出度數(shù)，利用切線的性質(zhì)和解直角三角形即可求出的長．
（2）根據(jù)等弧所對圓周角相等推出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理推出，利用直角三角形的性質(zhì)即可求出，通過等量轉(zhuǎn)化和余弦值可求出答案．
（3）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)證明和，從而推出和，利用已知條件將兩個比例線段相除，根據(jù)正弦值即可求出答案
【詳解】（1）解：如圖1，連接，設(shè)的度數(shù)為．

，的長為，
．
，即．
．
直線是的切線，
．
∴．
（2）解：如圖2，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

為直徑，
．
．
，
．
，，
．
，，
．
．
（3）解：，理由如下：
如圖3，連接BQ，

，，
，，
，
，
．
，
，
．①
，，
，
．②
，
得，．
，
．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形以及三角函數(shù)、切線的性質(zhì)定理、扇形的弧長公式，角平分線性質(zhì)定理等，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理和相關(guān)計(jì)算公式．
22．(1)，
(2)或或
(3)
【分析】（1）如圖1，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，證明，得出，即可得出；證明四邊形是平行四邊形，得出，代入數(shù)據(jù)可得；
（2）根據(jù)三邊之比為，可分為三種情況．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別列出比例式，進(jìn)而即可求解．
（3）連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)，得出，由，可得，代入（1）中解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖1，連接．

∵切半圓于點(diǎn)，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
如圖2，，
∴．

∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）∵，，三邊之比為（如圖2），
∴可分為三種情況．
i）當(dāng)時(shí)，
，，
解得，
∴．
ii）當(dāng)時(shí)，
，，
解得，
∴．
iii）當(dāng)時(shí)，
，，
解得，
∴．
（3）如圖3，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，即的長為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式，分類討論，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
23．(1)作圖見解析
(2)線段是定長，長度不發(fā)生變化，值為
(3)證明見解析
【分析】（1）以為圓心，大于長為半徑畫弧，交點(diǎn)為，連接，與交點(diǎn)為，與交點(diǎn)為，則，分別以為圓心，大于長為半徑畫弧，交點(diǎn)為，連接，則，以為圓心，長為半徑畫弧與交點(diǎn)為，則，以為圓心，長為半徑畫弧，交直線于，以為圓心，大于長為半徑畫弧，交點(diǎn)為，連接，則，與交點(diǎn)為，與交點(diǎn)為，即、點(diǎn)即為所求；
（2）如圖2，連結(jié)，連接并延長交于，連結(jié)，，過作于，于，證明四邊形是正方形，則可證是等腰直角三角形，則，由，可知，由是的直徑，可得，則是等腰直角三角形，；
（3）如圖3，延長、，交點(diǎn)為，由題意知是的中位線，則，，由，可得，證明，則，即，如圖3，作的外接圓，延長交外接圓于點(diǎn)，連結(jié)、，由是的平分線，可得，則，證明，則，即，由，可得，進(jìn)而結(jié)論得證．
【詳解】（1）解：如圖1，、點(diǎn)即為所求；

（2）當(dāng)弦的長度發(fā)生變化時(shí)，線段的長度不變；
如圖2，連結(jié)，連接并延長交于，連結(jié)，，過作于，于，則四邊形是矩形，

∵，，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴線段是定長，長度不發(fā)生變化，值為；
（3）證明：如圖3，延長、，交點(diǎn)為，

∵，
∴點(diǎn)H為的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，
∴是的中位線，
∴，，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
如圖3，作的外接圓，延長交外接圓于點(diǎn)，連結(jié)、，
∵是的平分線，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了作垂線，同弧或等弧所對的圓周角相等，正弦，正方形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，中位線，直徑所對的圓周角為直角，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
24．(1)見解析
(2)
(3)①；②；③
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)是三等分點(diǎn)，得出，根據(jù)是的直徑，可得，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，即可證明；
（2）如圖1，連接，證明，則，設(shè)，則，在中由勾股定理得，得出，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解；
（3）①如圖1，連接，勾股定理確定，根據(jù)，可得；
②如圖2，連接，設(shè)，則，解得．則，證明，，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
③如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則．設(shè)，則，證明，得出則，得出，則，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)是三等分點(diǎn)，
∴．
由是的直徑
∴，
∵是的切線，
∴．
∴．
（2）如圖1，連結(jié)，∵，

∴．
由，則，
又∵，
∴，
∴．
設(shè)，則，
∵，
∴．
在中由勾股定理得，
∴，
∴．
∴．
（3）①如圖1，連結(jié)，∵，

∴．
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
②如圖2，連結(jié)，

∵，
∴．
∵，
∴．
設(shè)，則，
由勾股定理得，
即，
解得．
∴
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
③如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則．

設(shè)，則，
由勾股定理得，
，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
可得方程，
解得（舍去）．
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定熟練掌握是解題的關(guān)鍵．
25．(1)證明見詳解
(2)
(3)作圖見詳解
【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角、等腰三角形的三線合一即可證明；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)可以得到，然后在等腰直角三角形中即可求解；
（3）根據(jù)等弧所對的圓周角相等，可知可以作出AD的垂直平分線，的角平分線，的角平分線等方法均可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵與相切，
∴，
又∵，
∴．
（3）如下圖，點(diǎn)就是所要作的的中點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、切線的性質(zhì)、以及尺規(guī)作圖、等弧所對的圓周角相等，理解圓的相關(guān)知識并掌握基本的尺規(guī)作圖方法是解題的關(guān)鍵．
26．(1)見解析
(2)1
【分析】（1）連接OE，根據(jù)已知條件和切線的性質(zhì)證明四邊形OFCE是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）可知，再由直角三角形中“30°角所對的直角邊是斜邊的一般”的性質(zhì)，可推導(dǎo)，最后由計(jì)算AD的長即可．
【詳解】（1）解：如圖，連接OE，
∵AC切半圓O于點(diǎn)E，
∴OE⊥AC，
∵OF⊥BC，，
∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°．
∴四邊形OFCE是矩形，
∴OF＝EC；
（2）∵，
∴，
∵，OE⊥AC，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形性質(zhì)等知識，正確作出輔助線并靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
27．(1)
(2)見解析
(3)①3；②
【分析】（1）根據(jù)，即可求解；
（2）由（1）的結(jié)論，、證即可；
（3）①通過角的轉(zhuǎn)換得，即可求的長；②連結(jié)，證，設(shè)，則，由相似的性質(zhì)即可求解；
【詳解】（1）∵，①
又∵，②
②-①，得2，
∴．
（2）由（1）得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
（3）①∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴在中，，
∵為的直徑，
∴．
∴．
∴與的度數(shù)之比為3∶2．
∴與的的長度之比為3∶2，
∵，
∴．
②如圖，連結(jié)．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
設(shè)與的相似比為k，
∴．
∵，
∴設(shè)，則，
∴，
，
∴，
由，得，
解得，（舍），
∴，，
∴，
在中，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形的全等、三角形的相似，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
28．(1)
(2)見解析
【分析】（1）連接，由，得，由弧長公式即得的長為；
（2）根據(jù)切于點(diǎn)，，可得，有，而，即可得，從而平分．
【詳解】（1）解：連接OA，

∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴，
．
（2）證明：，
，
切于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
平分．
【點(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的計(jì)算及圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式及圓的切線的性質(zhì)．
29．(1)
(2)
(3)①或；②
【分析】（1）連接OD，設(shè)半徑為r，利用，得，代入計(jì)算即可；
（2）根據(jù)CP=AP十AC，用含x的代數(shù)式表示 AP的長，再由（1）計(jì)算求AC的長即可；
（3）①顯然，所以分兩種情形，當(dāng) 時(shí)，則四邊形RPQE是矩形，當(dāng) ∠PQR＝90°時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥BE于點(diǎn)H， 則四邊形PHER是矩形，分別根據(jù)圖形可得答案；
②連接，由對稱可知，利用三角函數(shù)表示出和BF的長度，從而解決問題．
【詳解】（1）解：如圖1，連結(jié)．設(shè)半圓O的半徑為r．
∵切半圓O于點(diǎn)D，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，即半圓O的半徑是．
（2）由（1）得：．
∵，
∴．
∵，
∴．
（3）①顯然，所以分兩種情況．
?。┊?dāng)時(shí)，如圖2．
∵，
∴．
∵，
∴四邊形為矩形，
∴．
∵，
∴，
∴．
ⅱ）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，如圖3，
則四邊形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：，
∴．
綜上所述，x的值是或．
②如圖4，連結(jié)，
由對稱可知，
∵BE⊥CE，PR⊥CE，
∴PR∥BE，
∴∠EQR=∠PRQ，
∵，，
∴EQ=3-x，
∵PR∥BE，
∴，
∴，
即：，
解得：CR=x+1，
∴ER=EC-CR=3-x，
即：EQ= ER
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴
∴，
∴．
∵是半圓O的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)等知識，利用三角函數(shù)表示各線段的長并運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
30．(1)證明過程見解析
(2)
(3)或或或
【分析】（1）設(shè)CD與AB相交于點(diǎn)M，由與相切于點(diǎn)A，得到，由，得到，進(jìn)而得到，由平行線的性質(zhì)推導(dǎo)得，，，最后由點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)為E得到即可證明．
（2）過F點(diǎn)作于點(diǎn)K，設(shè)AB與CD交于點(diǎn)N，連接DF，證明得到，再證明得到；最后根據(jù)及得到和，最后根據(jù)平行線分線段成比例求解．
（3）分四種情形：如圖1中，當(dāng)時(shí)，如圖2中，當(dāng)時(shí)，如圖3中，當(dāng)時(shí)，如圖4中，當(dāng)時(shí)，分別求解即可．．
【詳解】（1）證明：如圖，設(shè)CD與AB相交于點(diǎn)M，
∵與相切于點(diǎn)A，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)為E，
∴，
∴．
（2）解：過F點(diǎn)作于點(diǎn)K，設(shè)AB與CD交于點(diǎn)N，連接DF，如下圖所示：
由同弧所對的圓周角相等可知：，
∵為的直徑，且，由垂徑定理可知：，
∴，
∵點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)為E，
∴，
∴，即，
∴，
由同弧所對的圓周角相等可知：，且，
∴，
∴，
∵，AB與CD交于點(diǎn)N，
∴．
∵，，
∴，
∴，設(shè)KE=2x，EN=5x，
∵點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)為E，
，，，
又，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：分類討論如下：
如圖1中，當(dāng)時(shí)，連接，，設(shè)，則，
∵，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∵，
，
，
；
如圖2中，當(dāng)時(shí)，連接，設(shè)交點(diǎn)．
設(shè)，
∵，
，
，
，，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
；
如圖3中，當(dāng)時(shí)，連接，，
設(shè)，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
、，
、，
、，
，
；
如圖4中，當(dāng)時(shí)，連接，，．
設(shè)，
∵，
，
，
，
，
，
由，
，
，
，
，
，
．
綜上所述，滿足條件的的長為或或或，
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓的相關(guān)性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．

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第6章反比例函數(shù)（浙教版-中考真題精選）-浙江省2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期數(shù)學(xué)同步培優(yōu)單元：

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第3章數(shù)據(jù)分析初步（浙教版-中考真題精選）-浙江省2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期數(shù)學(xué)同步培優(yōu)單：

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第3章投影與三視圖（浙教版中考真題精選）-浙江省2023-2024學(xué)年九年級下冊數(shù)學(xué)期末培優(yōu)單元練：

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