一、單選題
1．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，，的最大仰角為.當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)到桌面的最大高度是（ ）

A．B．C．D．
2．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)．若，則（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，，．若，，則的度數(shù)與的長分別為（ ）

A．10°，1B．10°，C．15°，1D．15°，
4．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，圖2由其主體圖案中相鄰兩個(gè)直角三角形組合而成．作菱形，使點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H．當(dāng)，，時(shí)，的長為（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形紙片，其中，現(xiàn)將紙片進(jìn)行如下操作：
第一步，如圖①將紙片對(duì)折，使與重合，折痕為，展開后如圖②；
第二步，再將圖②中的紙片沿對(duì)角線折疊，展開后如圖③；
第三步，將圖③中的紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，如圖④．則的長為（ ）

A．B．C．D．
6．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知BD是矩形ABCD的對(duì)角線，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，連結(jié)BE，DF．將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點(diǎn)A，C分別落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G，H處，連結(jié)GF．則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．BD＝10B．HG＝2C．D．GF⊥BC
7．（2021·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，于點(diǎn)D，．若E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則的長為（ ）
A．B．C．1D．
8．（2021·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將長、寬分別為12cm，3cm的長方形紙片分別沿AB，AC折疊，點(diǎn)M，N恰好重合于點(diǎn)P．若∠α＝60°，則折疊后的圖案（陰影部分）面積為（ ）
A．（36）cm2B．（36）cm2C．24 cm2D．36 cm2
9．（2021·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形．若．，則的值為（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使，連接CE，則的值為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
11．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)C在點(diǎn)之間），分別以為邊向同側(cè)作等邊三角形與等邊三角形，邊長分別為．與交于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)G，長為c．

（1）若四邊形的周長與的周長相等，則之間的等量關(guān)系為 ．
（2）若四邊形的面積與的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為 ．
12．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）希臘數(shù)學(xué)家海倫給出了挖掘直線隧道的方法：如圖，是兩側(cè)山腳的入口，從出發(fā)任作線段，過作，然后依次作垂線段，直到接近點(diǎn)，作于點(diǎn)．每條線段可測量，長度如圖所示．分別在，上任選點(diǎn)，作，，使得，此時(shí)點(diǎn)共線．挖隧道時(shí)始終能看見處的標(biāo)志即可．
（1） km．
（2）= ．
13．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為 ．
14．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，，以AB為邊向上作正方形ABCD．若圖像經(jīng)過點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式是，則圖像經(jīng)過點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式是 ．
15．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，．在其內(nèi)部作形狀、大小都相同的菱形和菱形，使點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊上，點(diǎn)M，N在對(duì)角線上．若，則的長為 ．
16．（2021·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）圖1是一種矩形時(shí)鐘，圖2是時(shí)鐘示意圖，時(shí)鐘數(shù)字2的刻度在矩形ABCD的對(duì)角線BD上，時(shí)鐘中心在矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O上．若，則BC長為 cm（結(jié)果保留根號(hào)）．
17．（2020·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）圖1是由七根連桿鏈接而成的機(jī)械裝置，圖2是其示意圖．已知O，P兩點(diǎn)固定，連桿PA=PC=140cm，AB=BC=CQ=QA=60cm，OQ=50cm，O，P兩點(diǎn)間距與OQ長度相等．當(dāng)OQ繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A，B，C的位置隨之改變，點(diǎn)B恰好在線段MN上來回運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)M或N時(shí)，點(diǎn)A，C重合，點(diǎn)P，Q，A，B在同一直線上（如圖3）．
（1）點(diǎn)P到MN的距離為 cm．
（2）當(dāng)點(diǎn)P，O，A在同一直線上時(shí)，點(diǎn)Q到MN的距離為 cm．
18．（2020·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）圖1是一個(gè)閉合時(shí)的夾子，圖2是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為AC，BD（點(diǎn)A與點(diǎn)B重合），點(diǎn)O是夾子轉(zhuǎn)軸位置，OE⊥AC于點(diǎn)E，OF⊥BD于點(diǎn)F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm， CE=DF， CE:AE=2:3.按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)．
(1)當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)的距離最大值時(shí)，以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的周長是 cm．
(2)當(dāng)夾子的開口最大（點(diǎn)C與點(diǎn)D重合）時(shí)，A，B兩點(diǎn)的距離為 cm．
三、解答題
19．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）某綜合實(shí)踐研究小組為了測量觀察目標(biāo)時(shí)的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個(gè)簡易測角儀，如圖1所示．

(1)如圖2，在點(diǎn)觀察所測物體最高點(diǎn)，當(dāng)量角器零刻度線上兩點(diǎn)均在視線上時(shí)，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為，設(shè)仰角為，請(qǐng)直接用含的代數(shù)式示．
(2)如圖3，為了測量廣場上空氣球離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在點(diǎn)分別測得氣球的仰角為，為，地面上點(diǎn)在同一水平直線上，，求氣球離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，）
20．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）問題：如何設(shè)計(jì)“倍力橋”的結(jié)構(gòu)？
探究：圖是“橋”側(cè)面示意圖，為橫梁與地面的交點(diǎn)，為圓心，是橫梁側(cè)面兩邊的交點(diǎn)．測得，點(diǎn)到的距離為．試判斷四邊形的形狀，并求的值．
探究2：若搭成的“橋”剛好能繞成環(huán)，其側(cè)面示意圖的內(nèi)部形成一個(gè)多邊形．
①若有12根橫梁繞成環(huán)，圖4是其側(cè)面示意圖，內(nèi)部形成十二邊形，求的值；
②若有根橫梁繞成的環(huán)（為偶數(shù)，且），試用關(guān)于的代數(shù)式表示內(nèi)部形成的多邊形的周長．

21．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角圍內(nèi)才能被識(shí)別），其示意圖如圖2，攝像頭的仰角、俯角均為，攝像頭高度，識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離．

(1)身高的小杜，頭部高度為，他站在離攝像頭水平距離的點(diǎn)C處，請(qǐng)問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識(shí)別．
(2)身高的小若，頭部高度為，踮起腳尖可以增高，但仍無法被識(shí)別．社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為（如圖3），此時(shí)小若能被識(shí)別嗎？請(qǐng)計(jì)算說明．（精確到，參考數(shù)據(jù)）
22．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小東在做九上課本123頁習(xí)題：“1：也是一個(gè)很有趣的比．已知線段AB（如圖1），用直尺和圓規(guī)作AB上的一點(diǎn)P，使AP：AB＝1：．”小東的作法是：如圖2，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，再以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作弧，交線段AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．小東稱點(diǎn)P為線段AB的“趣點(diǎn)”．
(1)你贊同他的作法嗎？請(qǐng)說明理由．
(2)小東在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作和探究：連結(jié)CP，點(diǎn)D為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的上方，構(gòu)造DPE，使得DPE∽CPB．
①如圖3，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求∠CPE的度數(shù)．
②如圖4，DE分別交CP，CB于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)D為線段AC的“趣點(diǎn)”時(shí)（CD＜AD），猜想：點(diǎn)N是否為線段ME的“趣點(diǎn)”？并說明理由．
23．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上（不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)F在邊BC上，且，連接EF，以EF為邊在正方形ABCD內(nèi)作正方形EFGH．
(1)如圖1，若，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，求正方形EFGH的面積，
(2)如圖2，已知直線HG分別與邊AD，BC交于點(diǎn)I，J，射線EH與射線AD交于點(diǎn)K．
①求證：；
②設(shè)，和四邊形AEHI的面積分別為，．求證：．
24．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）圭表（如圖是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表” 和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為“圭” ，當(dāng)正午太陽照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個(gè)根據(jù)某市地理位置設(shè)計(jì)的圭表平面示意圖，表垂直圭，已知該市冬至正午太陽高度角（即為，夏至正午太陽高度角（即為，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長）為4米．
(1)求∠BAD的度數(shù)．
(2)求表AC的長（最后結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
25．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算
(1)計(jì)算：6tan30°+（+1）0-.
(2)解方程組
26．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，的延長線交線段于點(diǎn)G，連結(jié)，，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)當(dāng)，時(shí)，求的長．
圖1是搭成的“倍力橋”，縱梁夾住橫梁，使得橫梁不能移動(dòng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固．
圖是長為，寬為的橫梁側(cè)面示意圖，三個(gè)凹槽都是半徑為的半圓．圓心分別為，縱梁是底面半徑為的圓柱體．用相同規(guī)格的橫梁、縱梁搭“橋”，間隙忽略不計(jì)．

參考答案：
1．D
【分析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，利用解直角三角形可得，，根據(jù)點(diǎn)到桌面的最大高度，即可求得答案．
【詳解】如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，

在中，，
在中，，
點(diǎn)到桌面的最大高度，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形解決問題．
2．D
【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出，推出則有等邊三角形，即，然后運(yùn)用余切函數(shù)即可解答．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、余切的定義等知識(shí)點(diǎn)，求出是解答本題的關(guān)鍵．
3．C
【分析】過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，由題意易得，然后可得，，，進(jìn)而可得，最后問題可求解．
【詳解】解：過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，如圖所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、圓周角定理及三角函數(shù)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、圓周角定理及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
4．C
【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)和解直角三角形求出，，繼而求出再根據(jù)，即可求．
【詳解】解：∵在菱形中，，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形、菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形性質(zhì)和解直角三角形求出、、是解題關(guān)鍵．
5．D
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，等面積法求得，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，

∵折疊，
∴
∴在以為圓心，為直徑的圓上，
∴，
∴
∵矩形，其中，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問題，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理，正切的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
6．D
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及勾股定理即可判斷A，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得，進(jìn)而判斷B，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，進(jìn)而判斷C選項(xiàng)，根據(jù)勾股定理求得的長，根據(jù)平行線線段成比例，可判斷D選項(xiàng)
【詳解】BD是矩形ABCD的對(duì)角線，AB＝6，BC＝8，
故A選項(xiàng)正確，
將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，
，
,
故B選項(xiàng)正確，
,
∴EG∥HF，
故C正確
設(shè)，則，
，
即
，同理可得
若
則
，
，
不平行，
即不垂直，
故D不正確．
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
7．C
【分析】根據(jù)條件可知△ABD為等腰直角三角形，則BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC長，再根據(jù)中位線定理可知EF=。
【詳解】解：因?yàn)锳D垂直BC，
則△ABD和△ACD都是直角三角形，
又因?yàn)?br>所以AD=，
因?yàn)閟in∠C=，
所以AC=2，
因?yàn)镋F為△ABC的中位線，
所以EF==1，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識(shí)，根據(jù)條件分析利用定理推導(dǎo)，是解決問題的關(guān)鍵．
8．A
【分析】過點(diǎn)C作，過點(diǎn)B作，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出，，分別解直角三角形求出AB和AC的長度，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作，過點(diǎn)B作，
∵長方形紙片分別沿AB，AC折疊，點(diǎn)M，N恰好重合于點(diǎn)P，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、解直角三角形，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．A
【分析】根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)求解．
【詳解】∵在中，，
∴
在中，，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理和三角函數(shù)．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．
10．D
【分析】由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得出，在結(jié)合題意可得，即證明，從而得出，即易證，得出．再由等腰三角形的性質(zhì)可知，，即證明，從而可間接推出．最后由，即可求出的值，即的值．
【詳解】∵在中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴在和中，，
∴，
∴，
∵為等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形與相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形．熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．
11．
【分析】由題意可得：為等邊三角形，四邊形為平行四邊形，，（1）分別求得四邊形的周長與的周長，根據(jù)題意，求解即可；（2）分別求得四邊形的面積與的面積，根據(jù)題意，求解即可．
【詳解】解：等邊三角形與等邊三角形中，，
∴和為等邊三角形，，
∴，四邊形為平行四邊形，
又∵等邊三角形與等邊三角形
∴，，，
∴，
（1）平行四邊形的周長為：，
的周長為：
由題意可得：
即：；
（2）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，如下圖：

在中，，，，
∴
則平行四邊形的面積為
在中，，，，
∴
則的面積為：
由題意可得：
化簡可得：
故答案為：；
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活利用等邊三角形的性質(zhì)求得對(duì)應(yīng)線段的長度．
12． 1.8
【分析】（1）由圖可知CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，代入CD－EF－GJ計(jì)算即可得到答案；
（2）連接AB，過點(diǎn)A作AT⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)T，∠ATB＝90°，共線,得到∠MBQ＝∠ABT，由題意可知BT和AT的長度，即可求得∠ABT的正切，進(jìn)一步即可得到答案．
【詳解】解：（1）由圖可知，CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，
∴CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8（km）；
故答案為：1.8
（2）連接AB，過點(diǎn)A作AT⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)T，∠ATB＝90°，
∵點(diǎn)共線,
∴∠MBQ＝∠ABT，
由題意可知，BT＝DE＋FG－CB－AJ＝4.9＋3.1－3－2.4＝2.6,
AT＝CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8，
∴tan∠ABT＝，
∴tan∠MBQ ＝＝，
∴k＝．
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角函數(shù)、對(duì)頂角相等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
13．
【分析】先求解 再利用線段的和差可得答案．
【詳解】解：由題意可得：

同理：

故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角的正切的應(yīng)用，二次根式的減法運(yùn)算，掌握“利用銳角的正切求解三角形的邊長”是解本題的關(guān)鍵．
14．
【分析】過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)，，結(jié)合正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，得到≌≌，然后表示出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出，即可求出答案．
【詳解】解：過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖：
∵，
設(shè)，，
∴點(diǎn)A為（，0），點(diǎn)B為（0，）；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可證：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），
∵點(diǎn)C在函數(shù)的函數(shù)圖像上，
∴，即；
∴，
∴經(jīng)過點(diǎn)D的反比例函數(shù)解析式為；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)，余角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的表示出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而進(jìn)行解題．
15．/
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，可以求得AC、AM和MN的長，然后即可計(jì)算出MN的長．
【詳解】解：連接DB交AC于點(diǎn)O，作MI⊥AB于點(diǎn)I，作FJ⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)J，如圖所示，
∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=1，
∴AB=BC=CD=DA=1，∠BAC=30°，AC⊥BD，
∵△ABD是等邊三角形，
∴OD=，
∴AC=2AO=，
∵AE=3BE，
∴AE=，BE=，
∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，
∴BE=BF=，∠FBJ=60°，
∴FJ=BF?sin60°=，
∴MI=FJ=，
∴，
同理可得，
∴MN=AC-AM-CN=
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，求出AC、AM和MN的長．
16．
【分析】根據(jù)題意即可求得∠MOD=2∠NOD，即可求得∠NOD=30°，從而得出∠ADB=30°，再解直角三角形ABD即可．
【詳解】解：∵時(shí)鐘數(shù)字2的刻度在矩形ABCD的對(duì)角線BD上，時(shí)鐘中心在矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，
∴∠MOD=2∠NOD，
∵∠MOD+∠NOD=90°，
∴∠NOD=30°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=90°，AD=BC，
∴∠ADB=∠NOD=30°，
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的矩形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)；理解題意靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)得出∠NOD=30°是解題的關(guān)鍵．
17． 160
【分析】（1）如圖3中，延長PO交MN于T，過點(diǎn)O作OH⊥PQ于H．解直角三角形求出PT即可．
（2）如圖4中，當(dāng)O，P，A共線時(shí)，過Q作QH⊥PT于H．設(shè)HA=xcm．解直角三角形求出HT即可．
【詳解】解：（1）如圖3中，延長PO交MN于T，過點(diǎn)O作OH⊥PQ于H．
由題意：OP=OQ=50cm，PQ=PA﹣AQ=14﹣=60=80（cm），PM=PA+BC=140+60=200（cm），PT⊥MN，
∵OH⊥PQ，
∴PH=HQ=40（cm），
∵cs∠P==，
∵=，
∴PT=160（cm），
∴點(diǎn)P到MN的距離為160cm，
故答案為160．
（2）如圖4中，當(dāng)O，P，A共線時(shí)，過Q作QH⊥PT于H．設(shè)HA=xcm．
由題意AT=PT﹣PA=160﹣140=20（cm），OA=PA﹣OP=140﹣50=90（cm），OQ=50cm，AQ=60cm，
∵QH⊥OA，
∴QH2=AQ2﹣AH2=OQ2﹣OH2，
∴602﹣x2=502﹣（90﹣x）2，
解得x=，
∴HT=AH+AT=（cm），
∴點(diǎn)Q到MN的距離為cm．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
18． 16
【分析】（1）當(dāng)E、O、F三點(diǎn)共線時(shí)，E、F兩點(diǎn)間的距離最大，此時(shí)四邊形ABCD是矩形，可得AB=CD=EF=2cm，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出周長即可．
（2）當(dāng)夾子的開口最大（點(diǎn)C與D重合）時(shí)，連接OC并延長交AB于點(diǎn)H，可得，AH=BH，利用已知先求出，在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的長，由，求出AH，從而求出AB=2AH的長．
【詳解】（1）當(dāng)E、O、F三點(diǎn)共線時(shí)，E、F兩點(diǎn)間的距離最大，此時(shí)四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=EF=2cm，
∴以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的周長為2+6+2+6=16cm．
（2）當(dāng)夾子的開口最大（點(diǎn)C與D重合）時(shí)，連接OC并延長交AB于點(diǎn)H，
∴，AH=BH，
∵AC=BD=6cm，CE∶AE=2∶3，
∴，
在Rt△OEF中，，
∵，，
∴AB=2AH=．
故答案為16，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與旋轉(zhuǎn)的結(jié)合，做題時(shí)準(zhǔn)確理解題意利用已知的直角三角形進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
19．(1)
(2)
【分析】（1）如圖所示，鉛垂線與水平線相互垂直，從而利用直角三角形中兩銳角互余即可得到答案；
（2）根據(jù)題意，，在中，，由等腰直角三角形性質(zhì)得到；在中，，由，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：如圖所示：

由題意知，
在中，，則，即，
；
（2）解：如圖所示：

，
在中，，由等腰直角三角形性質(zhì)得到，
在中，，
由，
即，
解得，
氣球離地面的高度．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及直角三角形性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)和正切函數(shù)測高等，熟練掌握解直角三角形的方法及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．
20．探究1：四邊形是菱形，；探究2：①；②
【分析】探究1：根據(jù)圖形即可判斷出形狀；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可求出長度，利用勾股定理即可求出長度，從而求出值．
探究2：①根據(jù)十二邊形的特性可知，利用特殊角正切值求出長度，最后利用菱形的性質(zhì)求出的長度，從而求得值．②根據(jù)正多邊形的特性可知的度數(shù)，利用特殊角正切值求出和長度，最后利用菱形的性質(zhì)求出的長度，從而求得值．
【詳解】解：探究1：四邊形是菱形，理由如下：
由圖1可知，，，
為平行四邊形．
橋梁的規(guī)格是相同的，
∴橋梁的寬度相同，即四邊形每條邊上的高相等，
∵的面積等于邊長乘這條邊上的高，
每條邊相等，
為菱形．
②如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

由題意，得，．
∴．
在中，，
∴．
∴．
故答案為：．
探究2：①如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

由題意，得，
．
．
又四邊形是菱形，
∴．
∴．
故答案為：．
②如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

由題意，形成的多邊形為正邊形，
外角．
在中，．
又，
∴．
形成的多邊形的周長為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是一道生活實(shí)際應(yīng)用題，考查的是菱形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解題的關(guān)鍵在于將生活實(shí)際和有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)有效結(jié)合以及熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．
21．(1)
(2)能，見解析
【分析】（1）根據(jù)正切值求出長度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性質(zhì)求出的長度，從而求出蹲下的高度．
（2）根據(jù)正切值求出長度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性質(zhì)求出的長度，即可求出長度，與踮起腳尖后的高度進(jìn)行比較，即可求出答案．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)，，交水平線于點(diǎn)，如圖所示，

在中，．
．
，
．
．
，，
小杜下蹲的最小距離．
（2）解：能，理由如下：
過點(diǎn)作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)，，交水平線于點(diǎn)，如圖所示，

在中，．
，
，
．
，
．
小若墊起腳尖后頭頂?shù)母叨葹椋?br>小若頭頂超出點(diǎn)N的高度．
小若墊起腳尖后能被識(shí)別．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有銳角三角函數(shù)中的正切值、矩形的性質(zhì)、三角形的全等，解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)生活實(shí)際題結(jié)合數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)．解題的重點(diǎn)在于熟練掌握相關(guān)概念、性質(zhì)和全等方法．
22．(1)贊同，理由見解析，
(2)①，②點(diǎn)N是線段ME的“趣點(diǎn)”，理由見解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證明 再利用 從而可得結(jié)論；
（2）①由題意可得： 再求解 證明 從而可得答案；②先證明可得 再證明 從而可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：贊同，理由如下：
等腰直角三角形ABC，




∴點(diǎn)P為線段AB的“趣點(diǎn)”．
（2）①由題意可得：



DPE∽CPB，D，A重合，


②點(diǎn)N是線段ME的“趣點(diǎn)”，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)D為線段AC的“趣點(diǎn)”時(shí)（CD＜AD），
而









同理可得：



點(diǎn)N是線段ME的“趣點(diǎn)”．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，理解新定義的含義，掌握特殊的幾何圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
23．(1)5
(2)①見解析；②見解析
【分析】（1）由中點(diǎn)定義可得，從而可求，然后根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式可求正方形EFGH的面積；
（2）①根據(jù)余角的性質(zhì)可證，進(jìn)而可證，然后利用相似三角形的性質(zhì)和等量代換可證結(jié)論成立；
②先證明，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義整理可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得
，
∴正方形EFGH的面積為5．
（2）解：①由題意知，
∴，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
②由①得，
又∵，，
∴，
設(shè)的面積為．
∵∠K=∠K， ∠KHI=∠A=90°，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
24．(1)47°
(2)3.3米
【分析】（1）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和解答即可；
（2）分別求出和的正切值，用表示出和，得到一個(gè)只含有的關(guān)系式，再解答即可．
【詳解】（1）解：，，
，
答：的度數(shù)是．
（2）解：在Rt△ABC中，，
∴．
同理，在Rt△ADC中，有．
∵，
∴．
∴，
∴（米）．
答：表AC的長是3.3米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)和三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握建模思想來解決．
25．(1)1
(2)
【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)化簡，然后進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）利用加減消元法解二元一次方程組即可．
【詳解】（1）解：原式＝；
（2），
①＋②得3x＝6，
∴x＝2，
把x＝2代入②，得y＝0，
∴原方程組的解是．
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，二次根式的性質(zhì)，解二元一次方程組，解決本題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)熟練運(yùn)算．
26．(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，，結(jié)合O是的中點(diǎn)，利用“AAS”得出，得出，即可證明是平行四邊形；
（2）根據(jù)，E是中點(diǎn)，得出，即可得出，即，根據(jù)，得出CD=2，根據(jù)勾股定理得出AC的長，即可得出DE，根據(jù)平行四邊形的性，得出．
【詳解】（1）解：（1）∵E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，
∴，
∴，，
∵O是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）∵，E是中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四邊形DEFG為平行四邊形，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，根據(jù)題意證明
，是解題的關(guān)鍵．

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