一、單選題
1．北宋大科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個(gè)貨物，第二層比第一層多2個(gè)，第三層比第二層多3個(gè)，以此類推，記第n層貨物的個(gè)數(shù)為，則使得成立的n的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知數(shù)列滿足，存在正偶數(shù)使得，且對(duì)任意正奇數(shù)有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）.
A．B．
C．D．
3．在等比數(shù)列中．則能使不等式成立的正整數(shù)的最大值為（ ）
A．13B．14C．15D．16
4．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則滿足的n的最小正整數(shù)解為（ ）
A．15B．16C．3D．4
5．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且().記，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則使成立的最小正整數(shù)為（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．已知數(shù)列，的通項(xiàng)分別為，，現(xiàn)將和中所有的項(xiàng)，按從小到大的順序排成數(shù)列，則滿足的的最小值為（ ）
A．21B．38C．43D．44
7．已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，n的最大值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
8．?dāng)?shù)列滿足，且，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．已知正項(xiàng)數(shù)列，對(duì)任意的正整數(shù)m、n都有，則下列結(jié)論可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上的分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).下面我們用分形的方法得到一系列圖形，如圖1，在長度為的線段上取兩個(gè)點(diǎn)、，使得，以為邊在線段的上方做一個(gè)正方形，然后擦掉，就得到圖形2；對(duì)圖形2中的最上方的線段作同樣的操作，得到圖形3；依次類推，我們就得到以下的一系列圖形設(shè)圖1，圖2，圖3，…，圖，各圖中的線段長度和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
B．
C．恒成立
D．存在正數(shù)，使得恒成立
11．設(shè)分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和，下列說法正確的是（ ）
A．若，，則使的最大正整數(shù)的值為15
B．若（為常數(shù)），則必有
C．必為等差數(shù)列
D．必為等比數(shù)列
12．對(duì)于無窮數(shù)列，給出如下三個(gè)性質(zhì)：①；②，；③，，，定義：同時(shí)滿足性質(zhì)①和②的數(shù)列為“s數(shù)列”，同時(shí)滿足性質(zhì)①和③的數(shù)列為“t數(shù)列”，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則為“s數(shù)列”
B．若，則為“t數(shù)列”
C．若為“s數(shù)列”，則為“t數(shù)列”
D．若等比數(shù)列為“t數(shù)列”，則為“s數(shù)列”
三、填空題
13．“康托爾塵?！笔菙?shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：在一個(gè)單位正方形中，首先，將正方形等分成個(gè)邊長為的小正方形，保留靠角的個(gè)小正方形，記個(gè)小正方形的面積和為；然后，將剩余的個(gè)小正方形分別繼續(xù)等分，分別保留靠角的個(gè)小正方形，記所得的個(gè)小正方形的面積和為；……；操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康托爾塵埃．若，則需要操作的次數(shù)的最小值為 ．
14．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則 ，不等式成立的的最小值為 ．
15．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則存在正整數(shù)n，使得成立的實(shí)數(shù)組成的集合為
16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.有以下結(jié)論：
①數(shù)列是等差數(shù)列；②；③.
其中所有正確命題的序號(hào)是 .
17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，如果存在正整數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
18．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為-4，其前項(xiàng)和為，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的最小值為 ．
19．?dāng)?shù)列滿足，，實(shí)數(shù)為常數(shù)，①數(shù)列有可能為常數(shù)列；②時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列；③若，則；④時(shí)，數(shù)列遞減；則以上判斷正確的有 （填寫序號(hào)即可）
20．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若存在正整數(shù)，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題
21．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．
(1)若，求；
(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．
22．已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．
(1)證明：；
(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．
參考答案：
1．C
【分析】由題設(shè)及累加可得，應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及已知不等關(guān)系求n范圍，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意，，且，
累加可得，所以，
∴，得，即．
故選：C．
2．D
【分析】利用累加法求出，對(duì)分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論的單調(diào)性，結(jié)合能成立與恒成立的處理方法求出答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
所以，
易得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，
又當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，存在，即，
所以，此時(shí)有，所以，
又對(duì)于任意的正奇數(shù)，，即，
所以或恒成立，所以或，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：D．
3．C
【分析】首先可得，即可得到時(shí)，，時(shí)，，再根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)得到，，，，即可得到，從而得解.
【詳解】解：因?yàn)?，所以公比，則，
時(shí)，，時(shí)，，
又，所以，，，，
則，
又當(dāng)時(shí)，，
所以能使不等式成立的最大正整數(shù)是．
故選：C．
4．A
【分析】由遞推關(guān)系求得、，根據(jù)關(guān)系可得，由等差數(shù)列定義求出通項(xiàng)，最后應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，進(jìn)而求對(duì)應(yīng)n的范圍，即可得答案.
【詳解】由題設(shè)且，當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，可得，
所以，
當(dāng)時(shí)，，則，
由上，也成立，故是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，則，即，
又，
所以，即，故的n的最小正整數(shù)解為.
故選：A
5．C
【分析】根據(jù)之間的關(guān)系證明為等比數(shù)列，然后再證明也是等比數(shù)列，由此求解出.根據(jù)不等式結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解出的取值范圍，從而確定出的最小整數(shù)值.
【詳解】解析：由，可知，
∴，即.
時(shí)，，∴，∴，∴，
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.
∴.又，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.
∴.
又，∴，即，
∴.又，∴的最小值為7.
故選：C.
6．C
【分析】由數(shù)列的通項(xiàng)公式列出數(shù)列，同時(shí)得出前項(xiàng)和公式，將選項(xiàng)由小至大代入不等關(guān)系中，選出符合條件的最小值即可.
【詳解】由題，，則數(shù)列為，……
，則數(shù)列為，……
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則，，
當(dāng)時(shí)，，，則，不符合條件；
當(dāng)時(shí)，，則， 不符合條件；
以此類推，因?yàn)?，則前21項(xiàng)中，有的前16項(xiàng)，的前5項(xiàng)，且,
當(dāng)時(shí)，，不符合條件，故排除A；
因?yàn)?，則前38項(xiàng)中，有的前32項(xiàng)，的前6項(xiàng)，且,
當(dāng)時(shí)，，不符合條件，故排除B；
因?yàn)?，則前43項(xiàng)中，有的前37項(xiàng)，的前6項(xiàng)，且，
當(dāng)時(shí)，，符合條件，
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將兩個(gè)數(shù)列合并排序時(shí)，不妨考慮直接列舉觀察規(guī)律，結(jié)合選項(xiàng)，得到結(jié)果.
7．B
【分析】先求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式，然后利用分組求和求出，再對(duì)進(jìn)行賦值即可求解.
【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列
所以
因?yàn)槭且?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
所以
由得：
當(dāng)時(shí)，即
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以n的最大值是.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用分組求和求出，再通過賦值法即可求出使不等式成立的的最大值.
8．B
【分析】分析可知數(shù)列是等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分析數(shù)列的單調(diào)性，可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋仁絻蛇呁瑫r(shí)乘以可得，
所以，且，
所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)和公差都為，則，所以，，
因?yàn)?
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列從第二項(xiàng)開始單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，故?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，，則的最小值為.
故選：B.
9．D
【分析】ABC選項(xiàng)，可以通過令，從而得到矛盾，對(duì)于D，可通過特例判斷其有可能成立.
【詳解】對(duì)于A，可取，此時(shí)，所以，與為正項(xiàng)數(shù)列矛盾，舍去；
對(duì)于C，可取，此時(shí)，所以，與為正項(xiàng)數(shù)列矛盾，舍去；
對(duì)于B，可取，則，
所以，即，
故累加后可得，整理得到，
時(shí)，也符合該式，從而.
此時(shí)
，
故成立，
若成立，取，則，
但此時(shí)，，不成立，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于D，
可令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，滿足題干條件，
此時(shí)，，故D選項(xiàng)可能成立
故選： D
【點(diǎn)睛】對(duì)于數(shù)列相關(guān)的不等問題，要結(jié)合題干條件進(jìn)行適當(dāng)變形，利用基本不等式或?qū)Ш瘮?shù)進(jìn)行求解.
10．BC
【分析】推導(dǎo)出，利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判斷AC選項(xiàng)正誤，利用分組求和法可判斷B選項(xiàng)的正誤，利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】由題意可得，，，
以此類推可得，則，
所以，
，所以，數(shù)列不是等比數(shù)列，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，恒成立，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，恒成立，則數(shù)列單調(diào)遞增，
所以，數(shù)列無最大值，因此，不存在正數(shù)，使得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的典型方法：
（1）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；
（2）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；
（3）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，用累加法求解；
（4）當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，用累乘法求解.
11．BCD
【分析】A由已知可得，且，再應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及得，即可判斷；B由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有，即可判斷；C、D根據(jù)等差、等比數(shù)列片段和的性質(zhì)直接判斷.
【詳解】令的公差為，則，
所以，故，且，
使，則，
而，即，故，
所以使的最大正整數(shù)的值為30，A錯(cuò)；
令的公比為且，則（公比不能為1），
所以，即，B對(duì)；
根據(jù)等差、等比數(shù)列片段和的性質(zhì)知：必為等差數(shù)列，必為等比數(shù)列，C、D對(duì).
故選：BCD
12．ABD
【分析】根據(jù)“s數(shù)列”和“t數(shù)列”的定義逐一對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，，
，又，
數(shù)列為“s數(shù)列”，故A正確.
對(duì)于B，，，又，
，又，
數(shù)列為“t數(shù)列”， 故B正確.
對(duì)于C，若，，
又，所以數(shù)列為“s數(shù)列”，但，故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，若等比數(shù)列為“t數(shù)列”，則，，
即（公比為）.
（1）若公比，因?yàn)?，所以，所以，所以?br>此時(shí)
因?yàn)?，，，所以?br>即，所以為“s數(shù)列”；
（2）若公比， 由得，由性質(zhì)③知 ，，即，
所以，但此時(shí)與性質(zhì)③不符，所以時(shí)不是“t數(shù)列”.
綜上，若等比數(shù)列為“t數(shù)列”，則為“s數(shù)列”，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
本題解題的關(guān)鍵是牢牢抓住數(shù)列為“s數(shù)列”和數(shù)列為“t數(shù)列”所滿足的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)逐一進(jìn)行驗(yàn)證.
13．
【分析】分別求出，進(jìn)而可得，可得是等比數(shù)列，再利用等邊數(shù)列求和公式求，利用單調(diào)性解不等式即可得答案.
【詳解】是個(gè)邊長為的小正方形面積之和，所以 ，
是個(gè)邊長為的小正方形面積之和，所以；
是個(gè)邊長為的小正方形面積之和，所以；
所以，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
所以即，
所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
而不成立，
，即，
所以需要操作的次數(shù)的最小值為次，
故答案為：.
14． 14 13
【分析】①根據(jù)，得，代入即可得解；②根據(jù)，得，對(duì)分奇偶討論即可得解.
【詳解】令，得，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
所以.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
即，因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以的最小值為；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，?br>因?yàn)闉榕紨?shù)，所以的最小值為.
綜上所述，的最小值為.
故答案為： ，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：討論m的奇偶性求出對(duì)應(yīng)通項(xiàng)公式為關(guān)鍵.
15．
【分析】先累加求得，再分析二次不等式有解可得或，再分析的最小值即可
【詳解】由題，，累加可得，故，顯然，故要存在正整數(shù)n，使成立，即，即或，故存在正整數(shù)n，使或，故或，即或，故直接分析的最小值即可.又，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，綜上有，故或.
故答案為：
16．①②③
【分析】由條件求得，可判斷①，由①得，可判斷②；由判斷③，可得答案．
【詳解】對(duì)于①，由條件知，當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)任意正整數(shù)，有，
又時(shí)，求得，所以是等差數(shù)列，故①正確；
對(duì)于②，由①可得，，所以或，
所以，當(dāng)時(shí)，成立；
當(dāng)時(shí)，，故②正確；
對(duì)于③僅需考慮，同號(hào)的情況即可，可設(shè)，均為正，（否則將數(shù)列各項(xiàng)同時(shí)變?yōu)橄喾磾?shù)，仍滿足條件），
由②得，，
此時(shí)，，
從而
，故③正確；
綜上，正確的序號(hào)①②③.
故答案為：①②③.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，不等式的證明，屬于難度題．
17．
【詳解】根據(jù)題意可得，，
又；
易知，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為遞減的等比數(shù)列且各項(xiàng)為正；偶數(shù)項(xiàng)為遞增的等比數(shù)列且各項(xiàng)為負(fù)，于是不等式成立即存在正整數(shù)使得成立，
只需要，即即可.
故．
故答案為：.
18．15
【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得的解析式，結(jié)合基本不等式求解實(shí)數(shù)的最小值即可.
【詳解】解：由題意得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因?yàn)?，?，
所以實(shí)數(shù)的最小值為.
故答案為：15.
19．①②③④
【分析】對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，①數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，，可解出；②時(shí)，取倒數(shù)可以證明；③，表示出，解出的范圍可得；④時(shí)，表示出，則且單調(diào)遞增，所以遞減.
【詳解】對(duì)于①：時(shí)，，又因?yàn)椋詳?shù)列為常數(shù)列，①正確．
對(duì)于②：時(shí)，兩邊取倒數(shù)，得，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以②正確.
對(duì)于③：令，，再令，，，即，解得，，所以③正確．
對(duì)于④，令，，歸納猜想，于是，所以④正確．
綜上，①②③④都正確．
故答案為：①②③④.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到等差數(shù)列的證明和單調(diào)性的判斷，同時(shí)涉及不等式求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力和分析問題的能力，屬于中檔題.
20．
【分析】首先根據(jù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，并求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，不等式轉(zhuǎn)化為，判斷數(shù)列的單調(diào)性，求得最大值，以及的取值范圍.
【詳解】由①，可得②.由②-①可得，即，由可得，，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以，設(shè)，則，當(dāng) ，即時(shí)，遞增，當(dāng)，即時(shí)，遞減，故的最大值為.
若存在正整數(shù)，使得不等式成立，則
故，故實(shí)數(shù)的取值范圍.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用、數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是根據(jù)與的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式化簡條件，求出，再求；
(2)由等比數(shù)列定義列方程，結(jié)合一元二次方程有解的條件求的范圍.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因?yàn)椋?，成等比?shù)列，
所以，
，
，
由已知方程的判別式大于等于0，
所以，
所以對(duì)于任意的恒成立，
所以對(duì)于任意的恒成立，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由，可得
當(dāng)時(shí)，，
又
所以
22．(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；
（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．

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