一、單選題
1．若，則實(shí)數(shù)的值等于（ ）
A．B．3
C．D．3或
【答案】A
【分析】分類討論結(jié)合集合中元素的性質(zhì)求解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，不滿足集合中元素的互異性；
當(dāng)時(shí)，即或（舍），此時(shí)
故選：A
2．設(shè)全集，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合.
【詳解】由已知可得，，
因此，.
故選：B.
3．若實(shí)數(shù)，滿足，且.則下列四個(gè)數(shù)中最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式的性質(zhì)比較大小即可.
【詳解】由題知：，且，所以，，故排除D.
因?yàn)?，故排除A.
因?yàn)?，故排除C.
故選：B
4．已知函數(shù)，則的值為（ ）
A．B．C．3D．0
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接求解即可
【詳解】由題意得
故選：C.
5．若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)運(yùn)算求解即可
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)開口向上，對(duì)稱軸為，
若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，
則，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是；
故選：A．
6．若不等式的解集為，則函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為（ ）
A．和B．
C．D．和
【答案】A
【分析】不等式的解集為，可得方程的兩個(gè)根為，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，即可得出結(jié)果.
【詳解】若不等式的解集為，
則方程的兩個(gè)根為且，
，解得，
則函數(shù)，
令，解得或，
故函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為和.
故選：A.
7．若關(guān)于x的不等式在上有解則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意只需求函數(shù)在上的最大值即可得答案.
【詳解】解：依題意，，令，
故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的最大值；
因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為，且，
故，故，
故選：A.
8．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意先求出函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)且關(guān)于直線對(duì)稱，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性即可求解.
【詳解】∵當(dāng)時(shí)，恒成立，
∴當(dāng)時(shí)，，即，
∴函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，
∵函數(shù)是偶函數(shù)，即，
∴函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，∴，
又函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，∴，
即，∴，
故選：C.
二、多選題
9．下列說(shuō)法中正確的為（ ）
A．若：，，則：，
B．若：，，則：，
C．若：，，則：，
D．若：，，則：，
【答案】BD
【分析】根據(jù)全稱命題的否定為存在量詞命題，存在量詞命題的否定為全稱命題即得.
【詳解】對(duì)于A，B選項(xiàng)，若：，，則：，，所以B正確；
對(duì)于C，D選項(xiàng)，若：，，則：，，故D正確.
故選：BD.
10．下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】AB
【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)及特值法即可作出判斷
【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，，所以，故正確；
對(duì)于，因?yàn)?，所以?br>又，所以，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋裕?br>又，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，滿足，
但，此時(shí)，故D錯(cuò)誤，
故選：AB
11．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(xiàn)(x)＝，則F(x)（ ）
A．最小值－1B．最大值為7－C．無(wú)最小值D．無(wú)最大值
【答案】BC
【分析】首先根據(jù)解析式得到它們的函數(shù)圖象，結(jié)合F(x)的定義畫出其函數(shù)圖象，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】由的解析式可得函數(shù)圖象如下：
∴作出F(x)的圖象，如下圖示，
由圖知：F(x)有最大值而無(wú)最小值，且最大值為7－
故選：BC.
12．已知是定義在區(qū)間，上的奇函數(shù)，且（1），若，，，時(shí)，有．若對(duì)所有，，，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍可能是（ ）
A．(－∞，－6]B．(－6，6)C．(－3，5]D．[6，＋∞)
【答案】AD
【分析】先判斷的單調(diào)性，求得的最大值，化簡(jiǎn)不等式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組，由此求得的取值范圍.
【詳解】任取，
，
由于，結(jié)合可知，
即，所以在上遞增.
所以.
由可得，
即對(duì)任意恒成立.
構(gòu)造函數(shù)，則，
即，解得或.
故選：AD
【點(diǎn)睛】求解多變量的不等式恒成立問(wèn)題，可考慮減少變量來(lái)進(jìn)行求解.
三、填空題
13．已知冪函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義以及單調(diào)性，建立方程與不等式，可得答案.
【詳解】由題意可得，解得.
故答案為：.
14．函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)? .
【答案】
【分析】利用抽象函數(shù)的定義域可得出關(guān)于的不等式組，即可求得函數(shù)的定義域.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>對(duì)于函數(shù)，則有，解得.
因此，函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：
15．已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)已知命題的否定為真命題，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，即可求解.
【詳解】因?yàn)槊}“，”是假命題，
所以其否定“任意，”是真命題，
即在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，不等式化為恒成立，
當(dāng)時(shí)，若在R上恒成立，
則，解得，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：
16．已知函數(shù)滿足對(duì)任意，且，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得在上單調(diào)遞減，列不等式組求解即可.
【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，且，都有成立，
所以在上單調(diào)遞減.
所以，解得.
故答案為:.
四、解答題
17．已知集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）用集合交集，補(bǔ)集的運(yùn)算可得；
（2）由條件可得是Q的真子集，再分集合是否為空集討論求出結(jié)果即可
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，集合，可得或，
因?yàn)椋?br>（2）若“”是“”的充分不必要條件，所以是Q的真子集，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，滿足是的真子集，
當(dāng)時(shí)，則滿足且不能同時(shí)取等號(hào)，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
18．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若時(shí)，不等式無(wú)解，求t的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根據(jù)給定條件利用換元法計(jì)算作答.
(2)利用(1)的結(jié)論借助均值不等式求出的最小值即可作答.
【詳解】（1）函數(shù)，設(shè)，則，
則，則，
所以函數(shù)的解析式.
（2）由(1)知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
因此，當(dāng)時(shí)，，
若時(shí)，不等式無(wú)解，即恒成立，則有，
所以t的取值范圍為.
五、證明題
19．已知函數(shù)，滿足條件.
(1)求的解析式；
(2)用單調(diào)性的定義證明在上單調(diào)遞增，并求在上的最值.
【答案】(1)
(2)證明見解析，.
【分析】（1）根據(jù)，代入得到方程組，解得即可；
（2）利用定義法證明，再根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最值.
【詳解】（1）因?yàn)椋遥?br>所以解得
所以；
（2）由，
設(shè)任意的且，
則
因?yàn)榍遥裕?br>所以，則在上單調(diào)遞增，
所以.
六、應(yīng)用題
20．某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家節(jié)水號(hào)召，決定對(duì)污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來(lái)水的使用量.經(jīng)測(cè)算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設(shè)備.這種凈水設(shè)備的購(gòu)置費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與設(shè)備的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2.預(yù)計(jì)安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與設(shè)備占地面積之間的函數(shù)關(guān)系為.將該企業(yè)的凈水設(shè)備購(gòu)置費(fèi)與安裝后4年需繳水費(fèi)之和合計(jì)為（單位：萬(wàn)元）.
(1)要使不超過(guò)7.2萬(wàn)元，求設(shè)備占地面積的取值范圍；
(2)設(shè)備占地面積為多少時(shí)，的值最小？
【答案】(1)
(2)設(shè)備占地面積為時(shí)，的值最小.
【分析】（1）由題意解不等式，即可求得；
（2）利用基本不等式即可求解.
【詳解】（1）由題意得.
要滿足題意,則，
即，解得：.
即設(shè)備占地面積的取值范圍為.
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以設(shè)備占地面積為時(shí)，的值最小.
七、解答題
21．已知冪函數(shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若函數(shù)，，是否存在實(shí)數(shù)，使得的最小值為0？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)存在，且.
【分析】（1）結(jié)合冪函數(shù)的定義、單調(diào)性求得的值.
（2）求得的解析式，對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合的最小值為來(lái)求得的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)是冪函數(shù)，
，
解得或.
由于在定義域內(nèi)遞增，所以不符合，
當(dāng)時(shí)，，符合題意.
（2），，
圖象開口向上，對(duì)稱軸為，
當(dāng)，即時(shí)，在上遞增，.
當(dāng)，即時(shí)，，不符合題意.
當(dāng)，即時(shí)，在上遞減，，不符合題意.
綜上所述，存在使得的最小值為.
八、證明題
22．已知函數(shù)f(x)對(duì)?x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)證明函數(shù)f(x)在R上的奇偶性；
(2)證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性；
(3)當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)函數(shù)為奇函數(shù)，證明見解析；
(2)函數(shù)為R上的減函數(shù)，證明見解析；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)題意賦值以及奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義即可證出；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義即可判斷并證明；
（3）先利用賦值法可求出，從而原不等式可化為，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，然后通過(guò)分離參數(shù)求最值即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
令，所以，即，
令，所以，即，
所以函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）不妨設(shè)，所以，而，所以，，即，故函數(shù)為R上的減函數(shù)．
（3）由（1）可知，函數(shù)為奇函數(shù)，而，所以，故原不等式可等價(jià)于，而函數(shù)為R上的減函數(shù)，所以，又，所以，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．

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