一、選擇題：本大通共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 若直線經(jīng)過點和，則直線l的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由斜率公式求出直線的斜率，利用傾斜角與斜率的關(guān)系求解.
【詳解】設(shè)直線的斜率為，且傾斜角為，則，
則，而，故，
故選：D.
2. 已知數(shù)列，則6是這個數(shù)列的（ ）
A. 第6項B. 第12項C. 第18項D. 第36項
【答案】C
【解析】
【分析】利用數(shù)列的通項公式求解.
【詳解】數(shù)列的通項公式為，
令解得，
故選:C.
3. 若雙曲線的漸近線方程是，虛軸長為4，且焦點在x軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解.
【詳解】由題可得解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選:C.
4. 如圖，線段AB，BD在平面內(nèi)，，，且，則C，D兩點間的距離為（ ）
A. 19B. 17C. 15D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合勾股定理求解.
【詳解】
連接，因為，所以,
又因為，,所以，
所以,
故選:D.
5. “”是“曲線表示橢圓”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)曲線表示橢圓，可求得t的范圍，根據(jù)充分、必要條件的定義，即可得答案.
【詳解】因為曲線為橢圓，
所以，解得且，
所以“”是“且”的必要而不充分條件.
故選：B
6. 設(shè) R，向量= ()，= ，=，且， ，則 | | =（ ）
A. B. 3C. 3D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量平行垂直條件求出參數(shù)，再根據(jù)模長公式計算即可.
【詳解】∵，∴，即，∵，∴，即，
∴，∴，∴．
故選：A
7. 如果實數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】所求的取值范圍等價于求同時經(jīng)過點P和圓上的點的所有直線的斜率范圍，結(jié)合圖形根據(jù)直線與圓相切可求.
【詳解】令，即，
所求的取值范圍等價于求同時經(jīng)過點P和圓上的點的所有直線的斜率范圍，
從圖中可知，斜率取最大值時對應(yīng)的直線斜率為正且與圓相切，斜率取最小值時對應(yīng)的直線斜率為負(fù)且與圓相切，
則圓心到直線的距離，解得.
故的取值范圍為.
故選：A
8. 已知點為拋物線焦點，為拋物線上任意一點，則的最小值為（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將轉(zhuǎn)化為點P到準(zhǔn)線的距離，求最值.
【詳解】拋物線，準(zhǔn)線方程為，設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，
則，當(dāng)直線AP與準(zhǔn)線垂直時，等號成立.
故選：B.
9. 某牧場今年年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為，且在每年年底賣出100頭牛，牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)構(gòu)成數(shù)列，即，則大約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：）
A. 1429B. 1472C. 1519D. 1571
【答案】B
【解析】
【分析】由題意得數(shù)列遞推公式，再用構(gòu)造法求出通項，代入計算即可.
【詳解】由題可知，
設(shè)，
解得
即，
故數(shù)列是首項為，公比為1.1的等比數(shù)列.
所以，
則，
所以.
故選：B.
10. 若，則的最小值為（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)均值不等式，可得，，，，再利用不等式的基本性質(zhì)，兩邊分別相加求解.
【詳解】因為，
所以，
因為，
所以，
所以，
所以，
，
，
所以兩邊分別相加得
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，
所以的最小值為.
故選：C.
11. 已知數(shù)列 滿足=1，，且()，則數(shù)列{}的前18項和為（ ）
A. 54B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累乘法，求得其通項公式，根據(jù)三角函數(shù)的計算，求得數(shù)列的周期，整理數(shù)列的通項公式，利用并項求和，可得答案.
【詳解】由，則，
即，
顯然，滿足公式，即.
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；
則數(shù)列是以為周期的數(shù)列，由，則，
設(shè)數(shù)列的前項和為，
故選：D.
12. 已知雙曲線的右焦點為，過點作直線與交于兩點，若滿足的直線有且僅有1條，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】求出雙曲線的實軸長和通徑長，由題意，過點的最短弦長為，從而求出，以及雙曲線的離心率．
【詳解】雙曲線的實軸長為，通徑長為
由題意可得，過點的弦最短時，長為，解得，此時，則雙曲線的離心率為
故選：B
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 直線與直線之間的距離為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】確定兩直線是平行直線，故可根據(jù)平行線間的距離公式求得答案.
【詳解】直線可化為，
則直線與直線平行,
故直線與直線之間的距離為，
故答案為：.
14. 設(shè)、分別在正方體的棱、上，且，，則直線與所成角的余弦值為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與所成角的余弦值．
【詳解】、分別在正方體的棱、上，且，，
如圖以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，
，，
設(shè)直線與所成角為，
則直線與所成角的余弦值．
故答案為：．
15. 已知，是橢圓：（）的左，右焦點，A是橢圓的左頂點，點在過A且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則橢圓的離心率為______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】結(jié)合圖像，得到，再在中，求得，，從而得到，代入直線可得到，由此可求得橢圓的離心率.
【詳解】由題意知，直線的方程為：，
由為等腰三角形，，得，
過作垂直于軸，如圖，則在中，，
故，，
所以，即，
代入直線，得，即，
所以所求的橢圓離心率為.
故答案為：.
.
16. 首項為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項和為，現(xiàn)有下列4個命題：
①若，則；
②若，則；
③若，則中最大；
④若，則使的的最大值為11．
其中所有真命題的序號是__________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】①由題意可以推出，不能推出，判斷①錯誤；②由題意可得，判斷出②正確；③由題意可得，判斷出③正確；④由題意可得，進(jìn)而，判斷出④正確．
【詳解】若，則，不能推出，即不能推出，故①錯誤；
若，則，即，則，故②正確；
若，則，
所以，則中最大，故③正確；
若，則，
即，
因為首項為正數(shù)，則公差小于0，則，
則，，
則使的的最大值為11，故④正確．
故答案為：②③④．
三、解答題：本大題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知是數(shù)列的前項和，且，，設(shè)．
（1）若是等比數(shù)列，求；
（2）若是等差數(shù)列，求的前項和，
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等比數(shù)列的通項公式的求法求解即可；
（2）由等差數(shù)列的通項公式的求法，結(jié)合公式法求數(shù)列的前項和即可．
【小問1詳解】
解：已知是數(shù)列的前項和，且，，，
則，
又是等比數(shù)列，設(shè)公比為,則，即；
【小問2詳解】
解：已知是等差數(shù)列，設(shè)公差為,
又，，則，
則，即，
則，
則，
則，
即的前項和．
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓M的圓心在直線上，且圓M與直線相切于點．
（1）求圓M的方程；
（2）過的直線l被圓M截得的弦長為，求直線l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知得出點與直線垂直的直線方程，根據(jù)圓切線的性質(zhì)得出該直線過圓心，與已知過圓心方程聯(lián)立即可得出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心到切線的距離得出圓的半徑，即可得出圓的方程；
（2）根據(jù)弦長得出點到直線l的距離，分類討論直線l的斜率，設(shè)出方程，利用點到直線的距離列式，即可得出答案.
【小問1詳解】
過點與直線垂直的直線方程為：，即
則直線過圓心，
解得，即圓心為，
則半徑，
則圓M的方程為：；
【小問2詳解】
過的直線l被圓M截得的弦長為，
則點到直線l的距離，
若直線l的斜率不存在，則方程為，此時圓心到直線l的距離為1，不符合題意；
若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：，
則，解得，
則直線l方程為：或.
19. 如圖， 和所在平面垂直，且．
（1）求證：；
（2）若，求平面和平面的夾角的余弦值．
【答案】（1）見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中點，可得，根據(jù)可得，由線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理可證明；
（2）作于點,以點為原點，所在直線分別為軸建立空間坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量即可求解.
【小問1詳解】
取的中點，連接，
因為，所以.
因為為公共邊，
所以，所以,所以.
因為平面，所以平面，
因為平面,所以.
【小問2詳解】
當(dāng)可設(shè),
作于點,連接，易證兩兩垂直，
以點為原點，所在直線分別為軸建立空間坐標(biāo)系，
則,
設(shè)平面的法向量為，
,
所以，
令,可得，則.
易知平面，所以平面的法向量為，
設(shè)平面和平面的夾角為，
則,
故平面和平面的夾角的余弦值為.
20. 已知直線與拋物線交于A，B兩點．
（1）若，直線的斜率為1，且過拋物線C的焦點，求線段AB的長；
（2）若交AB于，求p的值．
【答案】（1）8； （2）.
【解析】
【分析】（1）焦點為，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)弦長公式即可求解；
（2）設(shè)直線的方程為，根據(jù)題意可得，且在直線上，從而可得直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得，代入即可求解.
【小問1詳解】
若，則拋物線，焦點為，
故直線的方程為.
設(shè)，
聯(lián)立，消去，可得，
，故.
故.
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，，
因為交AB于，所以，且，
所以，直線的方程為.
又在直線上，所以,解得.
所以直線的方程為.
由，消去，可得，
則.
因為，
所以，
即，解得.
21. 已知等比數(shù)列的前項和為，且．
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小問1詳解】
，，，故，即．
，令，得到．
是等比數(shù)列，公比為3，且，，．
【小問2詳解】
，
，．
兩式相減，得
，
故
22. 已知橢圓，離心率為，點在橢圓上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記為橢圓的左頂點，直線的斜率為1且過點，若直線與橢圓交于點（均不與重合），設(shè)直線的斜率分別是，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；
（2）求出直線方程，設(shè)，利用韋達(dá)定理求得，再結(jié)合斜率公式計算整理即可得出答案.
【小問1詳解】
由題設(shè)得，又，
解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
由題意設(shè)直線，
聯(lián)立，消去得，
故，
所以
．
故的值為．

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